线性代数第I阶段学习计划.docx
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线性代数第I阶段学习计划
2013届钻石卡学员I阶段
学习计划——线性代数
（数学一）
考研产品部公共课教研中心
数学教研室
线性代数
第十五单元（课前或课后学习内容）
计划对应教材：
工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版
线性代数第一章行列式
第1章第1节二阶与三阶行列式（P1——P4）
第1章第2节全排列及其逆序数（P4——P5）
第1章第3节
阶行列式的定义（P5——P8）
第1章第4节对换（P8——P9）
第1章第5节行列式的性质（P9——P15）
第1章第6节行列式按行（列）展开（P16——P21）
第1章第7节克拉默法则（P21——P25）
本单元中我们应当学习——
1．行列式的概念和性质，行列式按行（列）展开定理．
2．用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．
3．用克莱姆法则解齐次线性方程组．
学习时间
学习章节
学习知识点
习题章节
必做题目
巩固习题（选做）
备注
0.5h
第1章第1节
二阶与三阶行列式
行列式的概念：
元、行标、列标、主对角线、副对角线
二、三阶行列式计算的对角线法则
第1章
习题
1
（1）
（2）（3）（4）★
补充习题：
1,2
——
0.5h
第1章第2节
全排列及其逆序数
全排列、逆序、奇排列、偶排列的概念
逆序数的计算
第1章
习题
2
——
0.5h
第1章第3节
n阶行列式的定义
n阶行列式的定义
对角行列式、上（下）三角形行列式
第1章
习题
3
补充习题：
3
对角行列式、上（下）三角形行列式值的结论需要记住，以后直接使用
0.5h
第1章第4节
对换
对换、相邻对换的概念
定理1及其推论的内容
第1章
习题
定理1和推论的内容记住，以后直接使用，证明过程均不用看。
2h
第1章第5节
行列式的性质
性质1——性质6及各个推论
自己证明性质3——性质6
利用行列式的性质计算行列式
第1章
习题
4
（1）★
（2）（3）（4）★,5
（1）,6
（1）
（2）★（3）,
7,
补充习题：
4--8
1.例10的结论要记住，以后直接使用；
2.通过例11学会利用递推公式计算行列式
2h
第1章第6节
行列式按行（列）展开
余子式、代数余子式的概念
定理3（行列式按行（列）展开法则）及其推论
范德蒙行列式的定义与结论
第1章
习题
5
（2）,6（4）★,
8
（1）
（2）★（3）（5）★
（6）★,9
6（5）,8（4）
补充习题：
9,10
熟记范德蒙行列式的特点与计算公式
2h
第1章第7节
克拉默法则
克拉默法则
齐次线性方程组、非齐次线性方程组的概念，零解、非零解的概念
定理4，定理4’，定理5，定理5’
第1章
习题
10
（1）
（2）,11★,12★
补充习题：
11--13
熟悉定理4、定理4’、定理5、定理5’的结论。
计划对应课程讲义：
线性代数第一讲行列式
学习时间
教学内容
学习内容
页码
重点例题
备注
0.5h
第一讲
一、行列式的概念
排列与逆序数、
阶行列式的定义.
P1-P2
1.了解n阶行列式的定义；
2.熟记上（下）三角行列式等的计算公式．
1.5h
第一讲
二、行列式的性质
行列式的转置、线性性质、反对称性质、三角形法的基础.
P2-P4
例1.2、例1.3
1.掌握行列式的基本性质；
2.行和（或列和）相等的行列式及爪型行列式的计算方法.
1.5h
第一讲
三、行列式的展开定理
余子式与代数余子式、行列式的展开定理.
P5-P6
例1.4、例1.5、例1.6、
例1.7
1.理解余子式与代数余子式的定义；
2.掌握行列式的展开定理；
3.熟记范德蒙行列式的形式和结果；
4.会用递推法计算三条线型行列式，重点掌握例1.7.
0.5h
第一讲
四、克莱姆法则
克莱姆法则.
P6-P7
例1.8、例1.9
1.掌握齐次和非齐次线性方程的克莱姆法则，会用克莱姆法则判定线性方程组解的状态．
测验对应资料：
《考研数学学习进程监控习题汇编》第二篇第一章行列式
测试时间
测试内容
对应资料
测试形式
备注（此处记录测试过程中出现的错题）
2h
第二篇第一章行列式
《考研数学学习进程监控习题汇编》
闭卷自测
自行记录测试分数及错题，并进行答疑.
第十六单元（课前或课后学习内容）
计划对应教材：
工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版
线性代数第二章矩阵及其运算
第2章第1节矩阵（P29——P32）
第2章第2节矩阵的运算（P33——P42）
第2章第3节逆矩阵（P42——P47）
第2章第4节矩阵分块法（P47——P54）
线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组
第3章第1节矩阵的初等变换（P57——P65）
本单元中我们应当学习——
1．矩阵的概念，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵的概念和性质．
2．矩阵的线性运算、乘法运算、转置以及它们的运算规律.
3.方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.
4．逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件.
5.伴随矩阵的概念，用伴随矩阵求逆矩阵．
6．分块矩阵及其运算．
7．矩阵初等变换的概念，初等矩阵的性质，矩阵等价的概念．
学习时间
学习章节
学习知识点
习题章节
必做题目
巩固习题（选做）
备注
0.5h
第2章第1节
矩阵
m×n矩阵，n阶方阵，行向量，列向量的概念
同型矩阵，矩阵相等，零矩阵的概念
单位矩阵，对角矩阵的概念
第2章
习题
注意：
P32第三行开始至本节最后的内容，考研是不要求的。
2h
第2章第2节
矩阵的运算
矩阵的加法、数乘的定义和运算律
矩阵乘法的定义和运算律，矩阵的方幂
纯量阵（数量矩阵）的概念
矩阵转置的定义和运算律
对称矩阵的定义和特点
方阵的行列式和运算律
伴随矩阵的定义和性质
第2章
习题
1
（1）
（2）（3）（4）,2,4,6,7,
8,9★,25★
1（5）,5
补充习题：
14--17
考研不要求的内容：
“六、共轭矩阵”
1.5h
第2章第3节
逆矩阵
逆矩阵的定义
定理1、定理2及推论
方阵逆矩阵的运算律
矩阵方程（例12）
矩阵的m次多项式
第2章
习题
10
（1）（3）★,11
（1）（4）★,12
（1）
14★,16★,22★,23,24★,
10
（2）（4）11
（2）（3）12
（2）,
15,17,18,19,20,21,
——
2h
第2章第4节
矩阵分块法
分块矩阵的运算律（i）——（v）
按行分块和按列分块
线性方程组表示的变形形式：
式（12）（13）（14）
第2章
习题
26,27
（1）★
（2）,28
（1）
（2）
补充习题：
18--20
——
学习时间
学习章节
学习知识点
习题章节
必做题目
巩固习题（选做）
备注
2h
第3章第1节
矩阵的初等变换
初等变换的定义
矩阵等价的定义和性质
行阶梯形矩阵的特点，行最简形矩阵的特点
定理1
初等矩阵的概念和性质（性质1，性质2）
方阵可逆的充分必要条件
第3章
习题
1
（1）
（2）（3）（4）,2,3,4
（1）
（2）★,5
（1）
（2）,6
补充习题：
21--25
——
计划对应课程讲义：
线性代数第二讲矩阵（上）
学习时间
教学内容
学习内容
页码
重点例题
备注
0.2h
第二讲
一、矩阵的定义
矩阵定义、同型矩阵与矩阵相等、几类特殊的矩阵.
P10-P11
1.了解矩阵的概念；
2．注意矩阵相等和行列式相等之间的区别和联系.
1h
第二讲
二、矩阵的运算
矩阵的线性运算、矩阵的乘法、矩阵的转置、对称矩阵、方阵的行列式、方阵的幂.
P11-P17
例2.1、例2.2、例2.3、例2.4、例2.5、例2.6、例2.7、例2.8
1.注意矩阵运算与行列式运算的区别；
2.熟练掌握矩阵运算的相关公式；
3.重点注意矩阵乘法不满足交换律和消去律.
1.5h
第二讲
三、逆矩阵
可逆矩阵的定义、矩阵可逆的条件、可逆矩阵的性质.
P18-P20
例2.9、例2.10、例2.11、例2.12
1.会使用逆矩阵的定义、矩阵可逆的条件证明矩阵是可逆的；
2.掌握求解逆矩阵的方法；
3.掌握逆矩阵的有关公式．
1h
第二讲
四、矩阵的初等变换和初等矩阵
初等变换的定义、初等矩阵、利用初等变换求逆矩阵、矩阵等价的定义、矩阵等价的三种说法、矩阵等价的性质.
P20-P23
例2.13、例2.14
1.掌握初等变换与初等矩阵之间的关系；
2.会用初等变换求数字型矩阵的逆矩阵．
第十七单元（课前或课后学习内容）
计划对应教材：
工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版
线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组
第3章第2节矩阵的秩（P65——P71）
第3章第3节线性方程组的解（P71——P78）
线性代数第四章向量组的线性相关性
第4章第1节向量组及其线性组合（P81——P86）
第4章第2节向量组的线性相关性（P87——P90）
第4章第3节向量组的秩（P90——P94）
本单元中我们应当学习——
1．矩阵的秩的概念，用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵．
2．
维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．
3．向量组线性相关、线性无关的概念，向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．
4．向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念和求解．
5．向量组等价的概念，矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系.
学习时间
学习章节
学习知识点
习题章节
必做题目
巩固习题（选做）
备注
1h
第3章第2节
矩阵的秩
矩阵的秩的定义、满秩矩阵
定理2及其推论
矩阵秩的基本性质：
①——⑧
第3章
习题
7,8,9,10
（1）
（2）（3）,11,12★
补充习题：
26--29
——
2h
第3章第3节
线性方程组的解
定理3与求解线性方程组的步骤
定理4——定理6
第3章
习题
13
（1）
（2）,14
（1）（3）,15,
16
（1）
（2）（3）,17★,18★,20★,
21★
13（3）（4）,14
（2）（4）,19,
——
学习时间
学习章节
学习知识点
习题章节
必做题目
巩固习题（选做）
备注
1.5h
第4章第1节
向量组及其线性组合
向量、向量组的定义
线性组合、线性表示、向量组等价的定义
定理1，矩阵等价与向量组等价之间的关系
定理2及其推论，定理3
单位坐标向量的定义（见例3）
第4章
习题
1,2★,3★
补充习题：
30,31
——
1.5h
第4章第2节
向量组的线性相关性
线性相关、线性无关的概念
定理4
定理5及其证明
第4章
习题
4,5,6,7,8★,9,10★
补充习题：
32--35
——
2h
第4章第3节
向量组的秩
最大线性无关组定义与等价定义
向量组的秩与矩阵的秩之间的关系
会求矩阵的最大线性无关组
第4章
习题
12
（1）
（2）★,13,14,15,16,18,19
17,
补充习题：
36,37
——
计划对应课程讲义：
线性代数第二讲矩阵（下）
学习时间
教学内容
学习内容
页码
重点例题
备注
1h
第二讲
五、分块矩阵
分块矩阵定义、运算、两种常用的分块法.
P24-P27
例2.15、例2.16
1.掌握分块矩阵的运算，重点注意分块矩阵的乘法和转置；
2.熟练掌握分块对角矩阵的运算．
线性代数第三讲向量（上）
学习时间
教学内容
学习内容
页码
重点例题
备注
0.5h
第三讲
一、n维向量的概念与运算
n维向量的定义、线性运算.
P28-P29
1.向量为特殊的矩阵，向量的线性运算和矩阵的线性运算是一样的.
1h
第三讲
二、线性组合、线性表出
线性组合、线性表示、向量组等价.
P29-P30
1.一个向量可否由一组向量线性表示的问题实质上就是非齐次方程组是否有解的问题，要学会这种转化.
1.5h
第三讲
三、线性相关性
线性相关与线性无关的定义、向量组线性相关性的基本性质.
P30-P32
例3.2、例3.3、例3.4
1.会用定义的方法证明抽象向量组的线性相关性；
2.理解线性相关性与齐次线性方程组解的存在性问题．
1.5h
第三讲
四、向量组的极大无关组与秩
向量组的极大无关组的定义、向量组秩的性质.
P33-P34
例3.5
1.掌握极大线性无关组与秩的定义及性质，会用初等变换法求解具体向量组的极大线性无关组与表出方式；
2.向量组线性相关性和向量组的秩之间的关系（向量组秩的性质1）是判定向量组线性相关性的常用方法.
测验对应资料：
《考研数学学习进程监控习题汇编》第二篇第二章矩阵
《考研数学客观题能力训练习题集粹》第二篇第一章行列式、矩阵
测试时间
测试内容
对应资料
测试形式
备注（此处记录测试过程中出现的错题）
2h
第二篇第二章矩阵
《考研数学学习进程监控习题汇编》
闭卷自测
自行记录测试分数及错题，并进行答疑.
2h
第二篇第一章行列式、矩阵
《考研数学客观题能力训练习题集粹》
闭卷自测
自行记录测试分数及错题，并进行答疑.
第十八单元（课前或课后学习内容）
计划对应教材：
工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版
线性代数第四章向量组的线性相关性
第4章第4节线性方程组的解的结构（P94——P102）
第4章第5节向量空间（P102——P106）
本单元中我们应当学习——
1．齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，非齐次线性方程组有解的充分必要条件．
2．齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.
3．非齐次线性方程组解的结构及通解．
4．用初等行变换求解线性方程组的方法．
5．
维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．
6．基变换和坐标变换公式，过渡矩阵．
学习时间
学习章节
学习知识点
习题章节
必做题目
巩固习题（选做）
备注
2h
第4章第4节
向量组及其线性组合
齐次线性方程组的解向量的性质：
性质1、性质2
齐次线性方程组的基础解系，定理7
非齐次线性方程组的解向量的性质：
性质3、性质4
齐次、非齐次线性方程组的通解
第4章
习题
20
（1）★,23★,24★,
25★,26
（1）★,27★,
28★,30★,31
（1）★
（2）★,
20
（2）,21,22,26
（2）,
29,32,33
——
1h
第4章第5节
向量空间
向量空间的定义，向量空间的基、维数
向量在基下的坐标，基变换公式、坐标变换公式、过渡矩阵
第4章
习题
34,35,36,37,38
——
计划对应课程讲义：
线性代数第三讲向量（下）
学习时间
教学内容
学习内容
页码
重点例题
备注
1h
第三讲
五、矩阵的秩
阶子式、矩阵的秩、矩阵秩的基本性质.
P35-P36
1.矩阵秩的性质3,4,5要求会证明，性质8是常用的一条性质，需要熟记.
1h
第三讲
六、向量空间
向量的内积、施密特正交法、向量空间的基本概念.
P36-P38
例3.6、例3.7
1.理解内积、正交矩阵的定义与性质，掌握施密特正交法；
2.向量空间的基本概念中，基、维数、坐标、过渡矩阵是重要概念，尤其需要注意.
线性代数第四讲线性方程组（上）
学习时间
教学内容
学习内容
页码
重点例题
备注
0.2h
第四讲
一、线性方程组的三种表达形式、解与通解
线性方程组的三种表示形式、解与通解.
P40-P41
1.了解方程组的三种表达式及解与通解的概念．
1.5h
第四讲
二、齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构
引例、解的判定、解的结构.
P41-P43
例4.1、例4.2
1.理解齐次线性方程组解的判定定理；
2.齐次线性方程组的基础解系是重点内容，需要熟记基础解系的定义以及基础解系中所含向量个数；
3.掌握齐次线性方程组的求解步骤．
第十九单元（课前或课后学习内容）
计划对应教材：
工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版
线性代数第五章相似矩阵及二次型
第5章第1节向量的内积、长度及正交性（P111——P116）
第5章第2节方阵的特征值与特征向量（P117——P121）
第5章第3节相似矩阵（P121——P124）
本单元中我们应当学习——
1．内积的概念，线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．
2．规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质．
3．矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，求矩阵的特征值和特征向量.
4．相似矩阵的概念、性质，矩阵可相似对角化的充分必要条件，将矩阵化为相似对角矩阵的方法.
学习时间
学习章节
学习知识点
习题章节
必做题目
巩固习题（选做）
备注
1h
第5章第1节
向量的内积、长度及正交性
向量内积的定义和性质，向量长度的定义与性质
两个向量正交，正交向量组，定理1
规范正交基，施密特正交化过程
正交矩阵的定义和性质
正交变换
第5章
习题
1★,2
（1）
（2）,3
（1）
（2）★,4★,5
补充习题：
38--41
注意：
P115第四行至第十一行不必看，考研不要求
2h
第5章第2节
方阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值和特征向量的定义
特征方程、特征多项式，特征值和特征向量的计算
特征值的性质：
例8
特征向量的性质：
定理2
第5章
习题
6
（1）
（2）★（3）,7,8★,9★,10,11,12,13★
补充习题：
42--45
——
2h
第5章第3节
相似矩阵
相似矩阵的定义及性质（定理3及其推论）
矩阵的相似对角化，定理4及其推论
第5章
习题
14,15★,16★,17★
补充习题：
46--49
——
计划对应课程讲义：
线性代数第四讲线性方程组（下）
学习时间
教学内容
学习内容
页码
重点例题
备注
2h
第四讲
三、非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
引例、解的判定、解的结构.
P44-P45
例4.3、例4.4
1.理解非齐次线性方程组解的判定定理；
2.掌握非齐次线性方程组的求解步骤；
3.抽象方程组的求解一般从解的结构出发考虑.
1h
第四讲
四、公共解，同解问题
公共解、同解的定义、求法
P46
例4.5、例4.9
1.齐次线性方程组公共解的三种求解方法对应的是三种不同形式的题目；
2.同解问题一般从解的结构出发考虑.
线性代数第五讲方阵的特征值和特征向量，矩阵的相似对角化（上）
学习时间
教学内容
学习内容
页码
重点例题
备注
2h
第五讲
一、方阵的特征值和特征向量
方阵的特征值和特征向量的定义、求法、特征值和特征向量的基本运算性质.
P48-P51
例5.1、例5.2
1.理解特征值和特征向量的定义及其性质；
2.掌握特征值和特征向量的求法．
测验对应资料：
《考研数学学习进程监控习题汇编》第二篇第三章向量与线性方程组
《考研数学客观题能力训练习题集粹》第二篇第三章线性方程组
测试时间
测试内容
对应资料
测试形式
备注（此处记录测试过程中出现的错题）
2h
第二篇第三章向量与线性方程组
《考研数学学习进程监控习题汇编》
闭卷自测
自行记录测试分数及错题，并进行答疑.
2h
第二篇第三章线性方程组
《考研数学客观题能力训练习题集粹》
闭卷自测
自行记录测试分数及错题，并进行答疑.
第二十单元（课前或课后学习内容）
计划对应教材：
工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版
线性代数第五章相似矩阵及二次型
第5章第4节对称矩阵的对角化（P124——P127）
第5章第5节二次型及其标准形（P127——P131）
第5章第6节用配方法化二次型成标准形（P131——P132）
第5章第7节正定二次型（P132——P134）
本单元中我们应当学习——
1．实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．
2．二次型及其矩阵表示，二次型秩的概念，合同变换与合同矩阵的概念，二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理．
3．正交变换化二次型为标准形，配方法化二次型为标准形．
4．正定二次型、正定矩阵的概念和判别法．
学习时间
学习章节
学习知识点
习题章节
必做题目
巩固习题（选做）
备注
2h
第5章第4节
对称矩阵的对角化
定理5，定理6，定理7及其推论
对称矩阵对角化的步骤
第5章
习题
19
（1）
（2）★,20★,21,22★,
23★,24★,25
（1）
（2）
补充习题：
50
注：
定理5的证明不必看。
2h
第5章第5节
二次型及其标准形
二次型的概念，二次型的标准形、规范形的概念
二次型的矩阵，二次型的秩，合同的概念
定理8，正交变换法化二次型为标准形
第5章
习题
26
（1）
（2）★（3）,27
（1）
（2）,
28
（1）★
（2）★,29
补充习题：
51--53
注：
考研不要求的内容：
复二次型（P128）。
0.5h
第5章第6节
用配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法将二次型化为标准形
第5章
习题
31
（1）
（2）（3）
补充习题：
54
——
0.5h
第5章第7节
正定二次型
惯性定理，正惯性指数，负惯性指数
正定二次型的概念
二次型为正定的充分必要条件
第5章
习题
32★,33
（1）
（2）★
34
补充习题：
55--57
注：
考研不要求的内容：
负定二次型（P133）。
计划对应课程讲义：
线性代数第五讲方阵的特征值和特征向量，矩阵的相似对角化（下）
学习时间
教学内容
学习内容
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重点例题
备注
1.5h
第五讲
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