T<1/2fH的周期性冲激脉冲对它抽样时，m（t）将被这些抽样值所完全确定。
下面对这个定理进行证明。
设有一个最高频率小于fH的信号m（t）。
将这个
信号和周期性单位冲激脉冲T（t）相乘，乘积就是抽样信号，它是一系列间隔为T
秒的强度不等的冲激脉冲。
这些冲激脉冲的强度等于相应时刻上信号的抽样值。
现用mS（t）m（kT）表示此抽样信号序列。
故有mS（t）m（t）T（t）
令M（f）、（f）和Ms（f）分别表示m（t）、T（t）和ms（t）的频谱。
计算可得：
11
Ms（f）M（f）（fnfs）M（fnfs）
n
上式表明，抽样信号的频谱Ms（f）是无数间隔频率为nfs的原信号频谱M（f）相叠加而成。
m（t）、丁⑴和ms（t）的时域和频域波形如下图所示：
信号m（t）的最高频率小于fH，若频率间隔fs2fH，则Ms（f）中包含的每个原信号频谱M（f）之间互不重叠。
这样就能够从Ms（f）中用一个低通滤波器分离出m（t）的频谱M（f），也就是能从抽样信号中恢复原信号。
（2）模拟信号抽样的Matlab实现及采样定理的验证
（a）编程思想
令输入的模拟信号m（t）=2.53sin（400t）2cos（140t），由已学知识可知：
m（t）的最高频率fH=200Hz,由抽样定理知：
当采样频率fs400Hz（采样周期小于1/400s）时，抽样信号可以完全确定原信号。
由傅里叶变换知识得：
模拟信号m（t）=2.53sin（400t）2cos（140t）的频谱M（f）=2.5（f）1.5（f200）（f70）1.5（f200）（f70）。
分别令
采样频率fs400Hz和fsV400Hz，绘制出两种情况下各自抽样信号的频谱，与原
模拟信号的频谱进行比较。
若只有当采样频率大于400Hz时，抽样信号的频谱
才与原模拟信号相同，则可以验证采样定理的正确性。
（b）Matlab输出波形图
模拟信号时域波形
3000
2000
1000
0
-500-400-300-200-1000100200300400500
模拟信号频域波形
采样序列时域（不符合采样定理）
10
5
0
采样序列时域（符合采样定理）
-5
0100200300400500600700800
采样序列频域（符合采样定理）
2000
LILL
1:
L
L.
L
1500
-
-
1000
-
-
500
--
r-
1
rr甲
r
1
r
011111
-400-300-200-1000100200300400
（C）结论
由上图可知：
当采样频率小于2fH时，抽样信号的频谱发生了混叠。
而采样
频率大于2fH时，抽样信号的频谱与原模拟信号频谱相同
（d）Matlab源代码
%sampling.m$对模拟信号采样产生序列信号，并验证采样定理
t=0:
0.001:
1;%模拟信号时域和频域波形
x=2.5+3.*sin（200*2*pi*t）+2.*cos（70*2*pi*t）;
figure
（1）
subplot（2,1,1）
plot（t,x）;
title（'模拟信号时域波形'）
fs=linspace（-1000/2,1000/2,length（t））;
xf=fftshift（fft（x））;
subplot（2,1,2）
plot（fs,abs（xf））%可知，信号最大频率200Hz
title（'模拟信号频域波形'）
T=0.009;%不满足采样定理，采样周期大于1/400
n=0:
1:
1/T;
xn=2.5+3.*sin（200*2*pi*n*T）+2.*cos（70*2*pi*n*T）;figure
（2）
subplot（2,1,1）
stem（n,xn）
title（'采样序列时域（不符合采样定理）'）
fns=linspace（-0.5/T,0.5/T,length（n））;
xnf=fftshift（fft（xn））;
subplot（2,1,2）
plot（fns,abs（xnf））
title（'采样序列频域（不符合采样定理）'）
T=0.0013;%满足采样定理，采样周期小于1/400
n=0:
1:
1/T;
xn=2.5+3.*sin（200*2*pi*n*T）+2.*cos（70*2*pi*n*T）;figure（3）
subplot（2,1,1）
stem（n,xn）
title（'采样序列时域（符合采样定理）'）
fns=linspace（-0.5/T,0.5/T,length（n））;
xnf=fftshift（fft（xn））;
subplot（2,1,2）
plot（fns,abs（xnf））
title（'采样序列频域（符合采样定理）'）
三、抽样信号的非均匀量化编码（13折线法）
（1）脉冲编码调制简介
模拟信号抽样后变成时间离散的信号，经过量化后，此抽样信号才能成为数
字信号。
分析可知：
最简单的均匀量化器对于小输入信号很不利。
为了改善小信号时的信号量噪比，在实际应用中常采用非均匀量化。
非均匀量化时，量化间隔随信号抽样值的不同而变化。
信号抽样值小时，量化间隔V也小；信号抽样值大时，量化间隔V也变大。
1/81/41/2Ix
1/16
实际应用中，用13折线法近似A压缩律，来进行非均匀量化
图中横坐标x在0至1区间中分为不均匀的8段。
1/2至1间的线段称为第
8段；1/4至1/2间的线段称为第7段；1/8至1/4间的线段称为第6段；依此类推。
图中纵坐标y则均匀地划分作8段。
将与这8段相应的座标点（x,y）相连，就得到了一条折线。
在语音通信中，通常采用8位的PCM编码就能够保证满意的通信质量。
在13折线法中采用的折叠码有8位。
第一位c1表示量化值的极性正负。
后
面的7位分为段落码和段内码两部分，用于表示量化值的绝对值。
其中第2至4
位（c2c3c4）是段落码，共计3位，可以表示8种斜率的段落；其他4位（c5--c8）为段内码，可以表示每一段落内的16种量化电平。
段内码代表的16个量化电平是均匀划分的。
所以，这7位码总共能表示27二128种量化值
在下面的表中给出了段落码和段内码的编码规则
段落
序号
段落码
c2c3c4
段落范围（量
化单位）
8
111
1024~2048
7
110
512~1024
6
101
256~512
5
100
128~256
4
011
64~128
3
010
32~64
2
001
16~32
1
000
0~16
量化间隔
段内码
c5c6c7c8
15
1111
14
1110
14
1101
12
1100
11
1011
10
1010
9
1001
8
1000
7
0111
6
0110
5
0101
4
0100
3
0011
2
0010
1
0001
0
0000
在上述编码方法中，段内码是按量化间隔均匀编码的，但是因为各个段落的
斜率不等，长度不等，故不同段落的量化间隔是不同的。
其中第1和2段最短,
斜率最大，其横坐标x的归一化动态范围只有1/128。
再将其等分为16小段后,每一小段的动态范围只有（1/128）/（1/16）=1/2048。
第8段最长，其横坐标x的动态范围为1/2。
将其16等分后，每段长度为1/32。
假若采用均匀量化而仍希望对于小电压保持有同样的动态范围1/2048，则需要用11位的码组才行。
现
在采用非均匀量化，只需要7位就够了。
（2）13折线法编码的Matlab实现
（a）编程思想
上面“模拟信号的抽样”已经得到了时间离散、幅度连续的抽样信号。
若将
对抽样信号非均匀量化编码编出的8位码组用CiC2C3C4C5C6C7C8表示。
（1）抽样信号是ixn的矩阵，例如采样周期T=0.0013;n=0:
1:
1/T;贝U有770个抽样值，13折现法编码后得到的则是770X8的矩阵，一行对应一个抽样值的8位PC刚组。
每个抽样值的编码思想都是一样的，若要进行多个抽样值的编码，进行for循环即可。
下面阐述单个抽样值的编码思路。
（2）确定极性码c1:
利用matlab的符号函数sign（x）:
x<0时，sign（x）=-1；
x=0时，sign（x）=0；x>0时，sign（x）=1。
所以，若sign（x）大于等于0，d=1;
否则C1=0o
例如：
+1000,sign（1000）=1,所以&=1。
（3）确定段落码c2c3c4:
PCM1折线编码的动态范围为-2048--2048，而上
一步骤中已经求出了各抽样信号极性，于是只要对抽样信号的绝对值分析即可。
故对抽样值依次进行取模、归一、乘以2048、取整的操作，可以将抽样值转化为0--2048之间的整数。
根据段落码与段落范围的关系，使用if语句即可确定
C2C3C4。
例如：
+1000,因为1000>128,故C2=1;又1000》512,故C3=1;又1000
<1024,故C4=0。
对于其他取值情况，判断方法与此类似。
（4）确定段内码C5C6C7C8:
每一段落均被均匀地划分为16个量化间隔，不过不同段落的量化间隔是不同的。
（3）中确定了段落编码，可以确定每段的起始值，再根据待编码值、所在段的起始值、所在段量化间隔的大小即可确定段内码。
例如：
+1000,C2C3C4=110,故1000处于第7段（二进制110转化为十进制得到6,6+1=7）
sp=[0,16,32,64,128,256,512,1024];%每段起始值
spmin=[1,1,2,4,8,16,32,64];%每段的最小量化间隔
再得到段起始值sp（7）=512,段最小量化间隔spmin（7）=32。
1000512
32
15.25,向负无穷方向取整得到15,再将15十进制转化为二进制,
得到1111，故C5C6C7C8=1111
令Matlab程序输入为S=1000,可得:
s=
1000
抽样信号进行13折线编码后的码组为（每一行代表一个抽样值，共1个值）
code=
11101111
（可知：
程序运行结果与上述分析结果相同）
（5）若码组矩阵初始化为全0阵，则只有当某个码为1时，才需要进行赋值。
例如：
-100，sign（-100）=-1，&=0。
而c,初始化值就为0,故可以不采取任何操作，保持初始值即可。
（b）Matlab输出结果
抽样得到的序列
取模、归一、乘2048、取整后的序列
1
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
770个值）
抽样信号进行13折线编码后的码组为（每一行代表一个抽样值，共
code=
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
（C）源代码
%pcmdepcmcomp.m对抽样信号进行量化编码译码，将译码输出值与原抽样值比较%13折线法编码源代码
T=0.0013;
n=0:
1:
1/T;
xn=2.5+3.*sin（200*2*pi*n*T）+2.*cos（70*2*pi*n*T）;%采样产生的抽样信号
figure（4）
subplot（2,1,1）
stem（n,xn）
title（'抽样得到的序列'）
z=sign（xn）;%判断S的正负
xnnor=abs（xn）/max（abs（xn））;%xn取模并且归一化
S=2048*xnnor;
S=floor（S）;%向负无穷方向取整
subplot（2,1,2）
stem（n,S）
axis（[0,800,-2020,2020]）
title（'取模、归一、乘2048、取整后的序列'）
code=zeros（length（S）,8）;%初始化码组矩阵为全零阵
%极性码第一位和段落码第二三四位
fori=1:
length（S）
ifz（i）>=0code（i,1）=1;%不改变依旧为0
end
if（S（i）>=128）
code（i,2）=1;
if（S（i）>=512）
code（i,3）=1;
if（S（i）>=1024）code（i,4）=1;
end
else
if（S（i）>=256）code（i,4）=1;
end
end
else
if（S（i）>=32）
code（i,3）=1;
if（S（i）>=64）code（i,4）=1;
end
else
if（S（i）>=16）
code（i,4）=1;
end
end
end
end
%段内码，第五六七八位
N=zeros（1,length（S））;
fori=1:
length（S）
N（i）=bin2dec（num2str（code（i,（2:
4））））+1;%找到code位于第几段
end
sp=[0,16,32,64,128,256,512,1024];%每段起始值
spmin=[1,1,2,4,8,16,32,64];%每段的最小量化间隔
fori=1:
length（S）
loc=floor（（S（i）-sp（N（i）））/spmin（N（i）））;%向负无穷方向取整，段内第几段
if（loc==16）
loc=loc-1;
end%正负2048时，loc=16，当做15处理
fork=1:
4
code（i,9-k）=mod（loc,2）;loc=floor（loc/2）;
end%十进制数转化为4位二进制
end
fprintf（'抽样信号进行13折线编码后的码组为（每一行代表一个抽样值，共%d个值）
',length（S））
code%code为13折线译码后的码组，是length（S）*8的矩阵
（3）8位PCM码的译码实现
（a）编程思想
（1）由q可以确定抽样值的正负，&=1，抽样值为正；否则为负。
（2）c2C3C4确定抽样值的段落序号，GC6C7Q确定抽样值在段内第几个量化间隔。
（3）译码时，通常是将码组转化为此量化间隔的中间值。
例如：
+1000编码后的8位码组为1110111，对1110111进行解码。
G=1，故抽样值为正。
qC3C4=110,二进制转化为十进制为6,6+1=7，故抽样值在第7段。
液落起点值
%最小量化间隔
sp=[0,16,32,64,128,256,512,1024];
spmin=[1,1,2,4,8,16,32,64];
C5C6C7C8=1111,二进制转为十进制为15,故抽样值在段内第15段。
sp（7）=512,spmin（7）=32。
11101111译码值为（992+1024）/2=1008。
也就是sp（7）+spmin（7）x（15+0.5）=512+32X15.5=1008
故利用段落码和段内码即可编程实现译码。
令Matlab译码程序输入为[11101111]，运行结果如下:
dcode=
11101111
8位PCM码译码后的数值为（共1个值）
dS=
1008
（可知：
与上面理论分析结果一致）
（b）Matlab输出结果（将前面编码得到770x8的码组矩阵作为输入）
8位PCM码译码后的归一化数值为（共770个值）
dS=
Columns1through10
0.60940.9531
0.3984
-0.0996
0.2578
0.4609
-0.0684-0.2070
0.4922
0.7969
Columns11through20
0.32030.2891
0.8281
0.7344
-0.0149
-0.0801
0.4141
0.2734
-0.19920.1523
Columns21through30
0.82810.6719
0.2070
0.5156
0.8594
0.2891
-0.2461
0.1289
0.47660.0645
Columns31through40
-0.08010.6094
0.9219
0.4141
0.2148
0.6719
0.6094
-0.1191
-0.19920.3828
Columns41through50
0.3984-0.0361
0.2578
0.9219
0.7656
0.1758
0.3359
0.6719
0.2070-0.3203
（c）源代码
%十三折线解码源代码
dcode=code;%将上面产生的770个码值作为输入‘decode是length（S）*8的矩阵sp=[0,16,32,64,128,256,512,1024];%段落起点值
spmin=[1,1,2,4,8,16,32,64];%最小量化间隔
dS=zeros（1,size（dcode,1））;
fori=1:
size（dcode,1）
par=bin2dec（num2str（dcode（i,（2:
4））））+1;%段落位置
parmid=bin2dec（num2str（dcode（i,（5:
8））））;%段间位置dS（i）=sp（par）+spmin（par）*（parmid+0.5）;
ifdcode（i,1）==0%符号位
dS（i）=-dS（i）;
end
end
dS=dS/2048;%归一化
fprintf（'8位PCM码译码后的归一化数值为（共％d个值）',size（dcode,1））
dS%dS为将8位PCM码解码后的归一化值
四、总结
对抽样信号进行量化、编码、译码三个步骤后，得到770个归一化数值，将
这些数值与归一化的原抽样信号比较，可分析13折线A律特性编码法的优劣性。
由于数值较多，用Matlab只比较0至0.05的抽样信号与解码所得值，即比较前39个值。
输出图形如下：
1
—
原抽样值
编码解码后的值
原抽样值与解码后的值比较图（均归一化）
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
-0.4
0
10
15
20
25
30
35
40
源代码：
%作图比较原抽样值与量化编码译码后的值（简便起见，比较0至0.05）
T=0.0013;
nbuf=0:
1:
0.05/T;
xnbuf=2.5+3.*sin（200*2*pi*nbuf*T）+2.*cos（70*2*pi*nbuf*T）;%0至0.05的抽样值
figure（5）
plot（nbuf,xnbuf/max（abs（xxnbuf））,'p',nbuf,dS（1:
（length（nbuf）））,'ro'）%原模拟信号幅度归一化legend（'原抽样值','编码解码后的值'）
title（'原抽样值与解码后的值比较图（均归一化）'）
分析：
由上图知，除个别数值外，解码所得值与原抽样信号基本相同。
而且，误差较大的点，其幅度也较大，这也与预期相符。
因为13折线法不同段落的量化间
隔是不同的，幅度越大，量化间隔也就越大，误差越大；幅度较小值时，误差较小。
这也是13折线法的优点：
对于不同的信号强度可以保持信号量躁比恒定。
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