数学教学中挑战性问题的设计.docx

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数学教学中挑战性问题的设计

数学教学中挑战性问题的设计

　　【摘要】“挑战性”问题的实质在于激起学生强烈的思维活动，通过思维活动促进外部知识与内部认知结构之间产生实质性的互动，从而促进认知结构的不断发展。

数学教学中设计挑战性问题可以考虑以下几个方面：

问题的背景具有开放性；问题的提出具有新异性；问题的结构具有层次性；问题的解决方法具有多维性；问题解决心理的焦虑性；问题的结果具有预见的间接性；问题解决过程的可探究性。

　　【关键词】数学教学挑战性问题问题设计

　　在数学新课程标准中，对数学学习内容提出了一条基本理念：

“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。

”认知心理学理论认为，学生真正的学习过程应该是认知结构不断改造扩展的过程。

而认知结构的改造与扩展必须通过学生（认知主体）亲自与外部情境产生交互作用，发生思维活动，由此建立起自己对内容、意义的理解。

“挑战性”问题的实质在于激起学生强烈的思维活动，通过思维活动促进外部知识与内部认知结构之间产生实质性的互动，从而促进认知结构的不断发展。

　　如何把数学学习内容设计得富有“挑战性”，如何使学生面临的数学问题富有“挑战性”，从而激起学生在课堂上的深刻思考，是数学教师面对新课程必须思考的一个问题。

　　一、问题的背景具有开放性

　　例1：

在概率复习课中，可以在复习概率的几个公式以及几种概型的基础上提出以下问题：

　　条件1：

一只口袋里有白球10个，红球5个；

　　条件2：

甲口袋里有白球10个，红球5个，乙口袋里有黑球4个，白球5个。

　　请选用条件1或条件2，设计符合下面条件的题目：

　　⑴使用加法公式；⑵使用乘法公式；⑶伯努利概型；⑷超几何分布。

　　这个问题具有开放的问题情境，它将概率的基础知识融合到一个题目中，对学生综合运用知识的能力是一个挑战，学生可以根据自己的理解进行不同的设计，并且通过讨论最终认识到超几何概型与独立重复试验之间的内在联系――对于摸球来说，只是有放回与无放回的区别。

　　二、问题的提出具有新异性

　　例2：

现在有四块小铁黑板，每一个小黑板上有一个如图所示的表格，还有一定数量的小方磁块，每个上面标有1或2或3或4，现在你要把小磁块粘在表格里，每一排都有1，2，3，4，但是小磁块的编号不能与列的编号相同，最先粘好，粘全的为胜（不能重复）。

　　教师：

大家先考虑，然后看看谁有勇气上前参加比赛。

　　学生沉思、讨论交流，老师巡视、倾听，四个同学上来比赛，下面同学观察思考。

　　“请大家评一评，哪个同学做得最好？

”（完成后，教师让学生评价。

）

　　“可以用分步原理来完成吗？

”（教师启发学生争论。

）

　　教师总结：

我们大家要善于观察，要开动脑筋，要善于从特殊中抽象出一般的规律，下面大家请做习题。

　　同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？

　　能看出两题本质上的一致性吗？

　　这种提出问题的方式改变了教师讲完一个例题，学生模仿练习的套路。

新异的问题情境激发了学生的好奇心，采用分组比赛的形式，则进一步激发了学生的好胜心。

学生通过填表，用穷举的方法得出所有可能结果后，教师启发学生观察规律，通过问题“可以用分步原理来完成吗”，则将学生的归纳思维转向演绎思维，将学生的思维进一步引向深入，这是对思维方法转换的挑战。

　　三、问题的结构具有层次性

　　挑战性问题必须能激起全体同学参与的愿望，具有层次性的问题包括问题设置角度的变化，并且在角度变化的过程中始终围绕一个中心问题展开。

　　例3：

课例《圆锥》

　　师：

前面我们一起学习了棱柱、棱锥，特别是正棱柱、正棱锥、长方体、正方体的有关构成元素之间的数量关系，以及面积与体积的计算，我们并且引入了基本量的思想方法，所谓基本量就是确定一个几何体的基本条件，对于上面提到的几何体，它们的基本量分别是什么？

　　基本量的作用是，它可以用来表示要求的其他量，或者说其他的量如面积、体积、角度等可以由基本量来表示。

今天，我和同学们一起来研究圆锥的有关内容。

请同学们想一想我们应从哪几方面来研究？

　　1、圆锥的形成

　　2、圆锥的构成元素

　　3、数量关系探索

　　4、基本量

　　涉及到的量很多，我们可以确定哪些量为基本量？

需要几个基本量？

（从圆锥形成角度来分析）

　　5、探索关系，揭示联系

　　请大家一起小结我们刚才指出的一些量：

r，l，h，c，S，V，α，θ。

你能将h，c，S，V，α，θ用r，l表示吗？

用r，θ来表示l，h，c，S，V，α吗？

　　（学生讨论，教师巡视。

）同学们是不是觉得α用θ来表示有一定困难？

　　（演示课件，提出猜想：

有的认为展开面的圆心角与半径、母线大小有关，有的认为与半径、母线大小无关，只与轴截面顶角有关。

教师通过几何画板演示，如果半径与母线同时变大或变小，那么角α不改变，如果单改变一项，则角α随之变化，因此角α可看作是刻画圆锥是否相似的一个量，并且得出了α=2πsinθ/2。

）

　　6、学生编题，变式练习

　　如果看清了问题的本质，你也可以进行编题。

每两人一组，编题交换后解答。

　　选择典型题目大家共同做，选择3至4人按不同类型解题，要求在黑板上抄写题目，然后解答，共同赏析。

　　7、总结规律，揭示本质

　　学生总结反思，提炼学习经验，教师指出基本量思想体现了化归转化的思想方法，体现了方程的思想。

　　这一节课在看似平淡的问题中融入了深刻的数学思想，极大地调动了学生的参与热情，对学生的综合研究能力提出了挑战。

　　四、问题的解决方法具有多维性

　　如果所提的问题有多种解决方案，则容易引起学生的思想交锋，激发学生的求简意识和竞争意识，对学生思维的优化构成挑战。

　　例4：

抛物线标准方程教学

　　本课作为开始的一课，要在概念教学上下功夫，采取类比的方法，从椭圆双曲线的离心率入手引出问题。

　　问题1：

你对抛物线已有怎样的认识？

（由于学生的数学现实不一样，所以有不同的回答。

）

　　目的：

突破对抛物线的已有认识――开口方向向上或向下；形式为一元二次函数。

　　问题2：

（类比椭圆双曲线定义得抛物线定义后）如何刻划定点与定直线的相对位置？

（学生有不同的想法，最终统一为用焦准距p来刻画。

）

　　问题3：

如何求方程？

（学生讨论建系方法。

）

　　学生自然想到分别以顶点、焦点、对称轴与准线的交点为原点建系求方程。

　　问题4：

比较不同坐标系下的方程形式，你认为哪个方程更简捷？

你准备从哪几个方面来说明？

所得三个方程之间具有怎样的位置关系。

　　问题5：

变动开口方向，还可得到哪几种形式的方程？

　　问题6：

列表研究位置特征与方程形式之间的关系，你得到什么样的规律？

　　这一系列问题的展开，都需要学生积极投入，进行发散思维与收敛思维，因此对学生思维的敛散性是个挑战。

　　五、问题解决心理的焦虑性

　　孔子说：

“不愤不启，不悱不发。

”挑战性问题提出的过程中要善于激起学生的矛盾心理，促使学生积极思考。

　　例5：

一个口袋中装有2个白球与4个黑球，从中每次取一个，直到2个白球全部找到为止，假定取后不放回，求在第4次后停止的概率。

　　这是一个由思维定势引起解题障碍的典型例题，学生理解的第4次恰好找出两个白球就是前3次中有一次摸出一个白球，第4次摸出一个白球。

　　解：

设={第i次摸出白球}，则：

　　，由互斥事件的加法公式和反概率公式，可求出结果。

　　此时教师提问：

你能具体地操作一下吗？

教师疑问的表情，让学生感觉到解答有可疑之处，学生迫切想知道这种解法是否正确，都积极开动脑筋思考。

　　学生解题的依据是前四次一定能“取”出两个白球，而此题却要求“找”出两个白球，因此，它不仅包括第4次恰好取出第2个白球，还包括前4次正好都取黑球，即此时剩下两球必是两个白球。

学生恍然大悟，这是对他们思维严谨性的一次挑战。

　　六、问题的结果具有预见的间接性

　　能直接看出结果的问题显然不具有挑战性，但结果隐晦曲折的也不易激起全体同学的探究热情，似明实暗的、似是而非的，部分易解部分不易的问题，也就是说设置在学生思维的最近发展区的问题才具有实质的挑战性。

　　例6：

当m变化时，讨论方程mx2+（2―m）y2=1表示的曲线形状，并画出简图。

　　这个问题每个同学都可以上手，但是又很难说全，主要存在分类不全、分类无序、标准方程写法有误等问题。

　　例7：

要在河的这一岸测量河对岸一电视塔的高度，只给你测角仪和皮尺，请你设计一个测量方案。

　　学生通常能解决已知具体条件的现成问题，当要求自己寻找问题解决方案时，则面临着心理和思维方式的转变，这是对学生心理素质的一个挑战。

　　例8：

已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为[1，4]，这样的函数有多少个？

试写出其中两个函数。

　　这样的的问题设置对于学生的思维方式是一个挑战，对于培养学生的创新思维具有重要的意义。

　　七、问题解决过程的可探究性

　　能够促使学生深入思考的问题必定要是有价值的问题，必定是对其智慧、能力、思维等方面有促进意义的问题，一个挑战性问题必定能引发学生新的思考、提出新的问题、总结新的规律，我们可以把课本上的某个知识点、某个习题作为扩展点，进行发展性、迁移性内容的设计。

　　例9：

设点P是椭圆x2/25＋y2/16=1上的一点，F1、F2是焦点，若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是多少？

　　这是一个常规问题，同学们很快得到结果。

　　略解如下：

由a2=25，b2=16，∠F1PF2=90°，可得PF1+PF2=2a=10，PF12+PF22=（2c）2=36，由此可得PF1?

PF2=32，故△F1PF2的面积为16。

　　有同学应用焦点三角形面积公式S=b2tanθ/2，直接得到结果。

　　如果止步于此，也就构不成什么挑战性问题了。

教师要接着追问以下问题：

　　问题1：

满足条件的三角形有几个？

　　问题2：

如果∠F1PF2=120°，则△F1PF2的面积是多少？

　　问题2是个陷阱，有同学根据公式S=b2tanθ/2马上得到结果为S=16tan60°=16。

“那么这样的三角形有几个？

”在老师的追问下，学生顿生疑问――这个显见的结果难道不对吗？

为了澄清这个问题，继续提出下面的问题：

　　问题3：

∠F1PF2满足什么范围时这样的三角形存在？

　　通过讨论，学生认识到问题的本质在于椭圆的扁圆程度，亦即离心率的取值大小。

为了深化对问题的认识，将问题进行变式扩展：

　　问题4：

已知椭圆C：

x2/a2＋y2/b2=1（a>b>0）的两个焦点为F1、F2，如果C上存在一点P，且∠F1PF2=60°时，求离心率的取值范围。

　　通过这个问题的解决，学生体验到拾级而上、步步登高、步步有险、不断激发思考、逐渐领悟数学本质的过程。

　　综上所述，我们认为，“挑战性”问题是指学生在课堂上要完成的一项学习任务或碰到的学习困难，它能引起学生深入的思考，激发学生强烈的思维活动。

“挑战性”问题应对学生的以下几方面提出挑战：

知识基础；生活经验；思维水平；学习方式。

“挑战性”问题应具有以下特征：

①非常规性。

学生以前未解决过相同性质的问题。

②引发认知冲突。

面临现象与学生的已有认知结构之间产生矛盾。

③不能立即解决。

问题的解答或任务的完成需要有效利用数学方法作推理、探索等才能解决。

④结果不具有直接的可预见性。

⑤引起一定的“焦虑性”心理反应。

　　注：

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

”