高等数学第2章导数与微分.docx
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高等数学第2章导数与微分
第二章导数与微分
教学目的：
1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：
1、导数和微分的概念与微分的关系；
2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；
3、基本初等函数的导数公式；
4、高阶导数；
6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：
1、复合函数的求导法则；
2、分段函数的导数；
3、反函数的导数
4、隐函数和由参数方程确定的导数。
§1导数概念
一、引例
1.直线运动的速度
设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t质点的坐标为ss是t的函数
sf（t）
求动点在时刻to的速度
考虑比值
sS）f（t）f（to）ttotto
这个比值可认为是动点在时间间隔tto内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践
中也可用来说明动点在时刻to的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令tto0取
比值f（t）f（to）的极限如果这个极限存在设为v即
tto
f（t）f（to）
vlim—
ttotto
这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度
2.切线问题
设有曲线C及C上的一点M在点M外另取C上一点N作割线MN当点N沿曲线C趋于点M时如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT直线MT就称为曲线C有点M处的切线
设曲线C就是函数yf（x）的图形现在要确定曲线在点M（xo,yo）（yof（xo））处的切线只要
定出切线的斜率就行了为此在点M外另取C上一点N（x,y）于是割线MN的斜率为
tanyyof（x）f（Xo）
XXoxxo
其中为割线MN的倾角当点N沿曲线C趋于点M时xxo如果当xo时上式的极限存在设为k即
f（x）f（xo）
klim—
XXoxxo
存在则此极限k是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里ktan其中是切线MT的
倾角于是通过点M（xo,f（xo））且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线
二、导数的定义
1函数在一点处的导数与导函数
从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极
限
limf（x）畑
xX0XXo
令xxXo贝yf（xox）f（xo）
f（x）f（xo）Xxo相当于X0
于是limf（x）
xxoX
f（Xo）
Xo
成为
limy或lim^^0—
X）f（Xo）
x0XX0
X
定义设函数yf（x）在点xo的某个邻域内有定义当自变量x在xo处取得增量x（点xox
仍在该邻域内）时相应地函数y取得增量yf（xox）f（xo）如果y与x之比当x0时的极限存在则称函数yf（x）在点xo处可导并称这个极限为函数yf（x）在点xo处的导数记为
y|x§即
lim乂limf（Xox）f（Xo）
XoXX0X
也可记为y^dy或常
dxXXodxXx
函数f（x）在点xo处可导有时也说成f（x）在点xo具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有
f（xo）limf（xoh）f（xo）
hoh
f（xo）limf（x）f（xo）
Xxoxxo
在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题在数学上就是所谓函
数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述
如果极限lim—x）f（xo）不存在就说函数yf（x）在点xo处不可导
xox
如果不可导的原因是由于lim__%）f（x°）
xox
也往往说函数yf（x）在点xo处的导数为无穷大
如果函数yf（x）在开区间I内的每点处都可导就称函数f（x）在开区间I内可导这时对
于任一xI都对应着f（x）的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做
原来函数yf（x）的导函数记作yf（x）dy或
dxdx
导函数的定义式
ylimf（xx）f（x）limf（xh）f（x）
xoxhoh
f（xo）与f（x）之间的关系
函数f（x）在点xo处的导数f（x）就是导函数f（X）在点xxo处的函数值即
f（Xo）f（X）xXo
导函数f（x）简称导数而f（xo）是f（x）在xo处的导数或导数f（x）在xo处的值左右导数所列极限存在则定义
f（x）在Xo的左导数
f（Xo）
hlimo
f（Xoh）f（Xo）
h
f（x）在Xo的右导数f（Xo）
lim
ho
f（Xoh）f（Xo）
h
如果极限himof（Xohhf（Xo）存在
则称此极限值为函数在
Xo的左导数
如果极限hlimof（Xohhf（Xo）存在
则称此极限值为函数在
Xo的右导数
导数与左右导数的关系
f（xo）Af（Xo）f（Xo）a
2•求导数举例
例1•求函数f（x）C（C为常数）的导数
f（xh）f（x）CC小
解f（x）limlim0
h0hh0h
即（C）0
例2求f（x）-的导数
x
11
解f（x）limf（xh型limxlim-—
h0hh0hh0h（xh）x
例3求f（x）.x的导数
f（x）
lim
h0
f（xh）h
f（x）
lim
lim
h0
h（、xhx）
him0.xhx
1
2、x
例2.求函数f（x）xn（n为正整数）在xa处的导数
解f⑻Umf（x）f⑻limlim（xn1axn2
xaxaxaxaxa
把以上结果中的a换成x得f（x）nxn1即（xn）nxn1
（C）0©x丽*（x）x1
更一般地有（x）x1其中为常数
例3.求函数f（x）sinx的导数
解f（x）limf（xh）f（x）nmsin（xh）sinx
h0hh0h
an1）
nan
h
2cos（x）sin
22
hsin—
limcos（x—）2cosx
h0\2h
2
即（sinx）cosx
用类似的方法可求得（cosx）sinx
例4.求函数f（x）ax（a>0a1）的导数
解f（x）limf（xh）f（x）
h0
lim里
h0h
axlim
0呻axtim01o^
"logae
x
1
—axlna
特别地有（ex）e
5.求函数f（x）logax（a>0a1）的导数f（x）limf（xh）f（x）
h0
Iimloga（xh）logaX
h0
1logae
x
f（x）lim血
h0
1
xlna
凯訴抑h1him0lOga（1护
h）gx
1
丈叫0ga（1
x
h）h
x
11
X^ae亦
1
（logax）亦
特殊地（lnx）
（logaX）
xlna
（lnx）
1
X
3.单侧导数
极限limf（Xh）
f（x）
存在的充分必要条件是
h0h
limf（xh）f（x）
h0h
及lim
h0
f（xh）h
f（x）
都存在且相等
f（x）在Xo处的左导数
f（X0）
lim
h0
f（x
h）h
f（x）
f（x）在X0处的右导数
f（X0）
lim
h0
f（x
h）h
f（x）
导数与左右导数的关系
函数f（x）在点X。
处可导的充分必要条件是左导数左导数f（X0）和右导数f（X0）都存在且相等
如果函数f（x）在开区间（a,b）内可导且右导数f（a）和左导数f（b）都存在就说f（x）有闭
区间［a,b］上可导
例6.求函数f（x）x|在x0处的导数
f（0）limf（0h）f（0）lim回
h0hh0h
f（0）limf（0h）f（0）lim也1
h0hh0h
四、导数的几何意义
函数yf（x）在点X0处的导数f（X0）在几何上表示曲线yf（x）在点M（x°,f（x°））处的切线的斜率即
f（x0）tan
其中是切线的倾角
如果yf（x）在点X0处的导数为无穷大这时曲线yf（x）的割线以垂直于x轴的直线xx°
为极限位置即曲线yf（x）在点M（X0,f（x。
））处具有垂直于x轴的切线xX。
由直线的点斜式方程可知曲线yf（x）在点M（x0,y。
）处的切线方程为
yy°f（X0）（xX0）
过切点M（x0,y0）且与切线垂直的直线叫做曲线yf（x）在点M处的法线如果
f（X0）0法线的斜率为从而法线方程为
f（X0）
yy01（xX0）
f（X0）
例8求等边双曲线y丄在点（2,2）处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法
X2
线方程
解y2所求切线及法线的斜率分别为
X2
3
f（X0）（X2）
3x2
2XX）
ki（
*2
4k2
丄1
k14
所求切线方程为
y2
4（x2）
即4xy40
所求法线方程为
y2
!
（x丄）
4'2
即2x8y150
例9求曲线y
xx的通过点（0
4）的切线方程
解设切点的横坐标为X0则切线的斜率为
于是所求切线的方程可设为
yX0、X03■Xo（XXo）
根据题目要求点（04）在切线上因此
4Xo、X3、Xo（OXo）
解之得Xo4于是所求切线的方程为
y4、43i4（x4）即3xy40
四、函数的可导性与连续性的关系
设函数yf（x）在点X0处可导即叫一恨）存在则
limylimxlim丄limxf（x0）00
X0x0xx0xx0
这就是说函数yf（x）在点X0处是连续的所以如果函数yf（x）在点x处可导则函数在该
点必连续
另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导
例7.函数f（x）3x在区间（，）内连续但在点x0处不可导这是因为函数在点
x0处导数为无穷大
limf（0h）f（0）limS
h0hh0h
§22函数的求导法则
、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1如果函数uu（x）及vv（x）在点X具有导数那么它们的和、差、积、商（除分母为
零的点外）都在点X具有导数并且
[u（x）v（x）]u（x）v（x）
[u（x）v（x）]u（x）v（x）u（x）v（x）
u（x）u（x）v（x）u（x）v（x）
v（x）v2（x）
证明
（1）[u（x）v（x）]him0[u（Xh）v（Xh）][u（x）v（x）]
lim吩h）u（x）v（xh）v（x）
h0hh
法则
（1）可简单地表示为
（uv）uv
⑵[u（x）v（x）]Iimu（xh）v（xhh）u（x）v（x）
1
|imh[u（xh）v（xh）u（x）v（xh）u（x）v（xh）u（x）v（x）]limu（xh）u（x）v（xh）u（x）v（xh）v（x）
h0hh
limu（xh）u（x）|imv（xh）u（x）limv（xh）v（x）
h0hh0h0h
u（x）v（x）u（x）v（x）
其中limv（xh）v（x）是由于v（x）存在故v（x）在点x连续
h0
法则
（2）可简单地表示为
（uv）uvuv
u（xh）u（x）
u（x）Iimv（xh）v（x）Iimu（xh）v（x）u（x）v（xh）
（3）limlim
v（x）h0hh0v（xh）v（x）h
lim[u（xh）u（x）]v（x）u（x）[v（xh）v（x）]
h0v（xh）v（x）h
lim
h0
u（xh）u（x）v（x）u（x）v（xh）v（x）hh
v（xh）v（x）
u（x）v（x）u（x）v（x）v2（x）
法则（3）可简单地表示为
（Cu）Cu
例1.
y2x35x23x7求y
解y
（2x35x23x7）（2x3）
5x2）3x）7）2（x3）5x2）3x）
23x252x36x210x
3
例2
f（x）x34cosxsin-
2
求f（x）及f（迈）
解
f（x）（x3）
（4cosx）
（sinR
3x24sinx
f（）-:
24
\2丿4
例
3.yex（sinx
cosx）
求y
解
ye）（sinx
cosx）
ex（sinx
cosx）
ex（sinx
cosx）
ex（cosx
sinx）
x
2ecosx
例4.ytanx求y
解y（tanx）（沁）（sinn/osx）
cosxcos2x
cos2x2sin2x导se&x
cos2xcos2x
即（tanx）sec?
x
例5.ysecx求y
解y（secx）（丄）⑴cosx2（cosx）冲secxtanxcosxcos2xcos2x
即（secx）secxtanx
用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式
（cotx）cscFx
（cscx）cscxcotx
二、反函数的求导法则
yf1（x）在对
1（x）存在
定理2如果函数xf（y）在某区间Iy内单调、可导且f（y）0那么它的反函数应区间Ix{x|xf（y）yIy}内也可导并且
[f1（x）]1或dy—
[f（x）]f（y）或dxdxdy
简要证明由于xf（y）在Iy内单调、可导（从而连续）所以xf（y）的反函数y
且f1（x）在Ix内也单调、连续
任取xIx给x以增量x（x0xxIx）由yf*x）的单调性可知
yf1（xx）f1（x）0
于是
y1
x_x
y
因为yf（x）连续故
xim0y0
从而
[f1（x）]lim乂lim丄
xoxy0x
y
区间（"2，_2）内单调、可导且
（siny）cosy0
因此由反函数的求导法则
类似地有（arccosx）
在对应区间1x（11）内有
111cosy1sin2y-1x2
1
例7.设xtanyy（"2，"2〉为直接函数则yarctanx是它的反函数函数xtany在
区间（"2，"2）内单调、可导且
2
（tany）secy0因此由反函数的求导法则
在对应区间Ix（
）内有
（arctanx）
1
（tany）
111
sec2y1tan2y1x2
类似地有（arccotx）
1
1x2
例8设xay（a0a1）为直接函数
则ylogax是它的反函数函数xay在区间Iy（
）内单调、可导且
（ay）aylna0
因此由反函数的求导法则在对应区间Ix（0）内有
（logax）
1
（ay）
aylnaxlna
那么由基本初等函数构成的较复
到目前为止所基本初等函数的导数我们都求出来了高等数学课程建设组
杂的初等函数的导数如可求呢？
如函数Intanx、ex3、的导数怎样求?
三、复合函数的求导法则
定理3如果ug（x）在点x可导函数yf（u）在点ug（x）可导
可导且其导数为
则复合函数
f[g（x）]在点x
dx
f（u）g（x）或心
证明当ug（x）在x的某邻域内为常数时
\立
y=f[（x）]也是常数
此时导数为零
结论自然成
因此
当ug（x）在x的某邻域内不等于常数时
f[g（x
dy
dx
简要证明
f[g（xx）]f[g（x）]
u0此时有
x）]f[g（x）]g（xx）
g（xx）g（x）
g（x）
x
f（UU）f（u）g（x
x）g（x）
limylim
x0
f（uu）f（u）
恤严x）g（x）=f（u）g（x）
业lim-dxx0x
lim-―x0ux
limy
u0
忸弋f（u）g（x）
9yex3求dx
x3
函数yex3可看作是由y
dx
10y
eu
x3复合而成的因此
直®eu3x23x2ex3
dudx
sin代求半
1x2dx
函数ysin”
2x
卞是由ysinu
2x
口复合而成的
dydydu
dxdudx
cosu
（1
对复合函数的导数比较熟练后
2（1x2）（2x）2
^cos伞
（1x2）21x2
x2）2
就不必再写出中间变量
11-insinx求兴
吐（Insinx）—（sinx）dxsinx
1cosxcotxsinx
12.y312x2求鱼dx
4x
d112
解dx[（12x2）3]1（12x2）3（12x2）33（12x2）2
dydudydudv
dudxdudvdx
[Incos（ex）]cos（ex）[cos（ex）]
sin丄1excos—
（x）
四、基本求导法则与导数公式
1•基本初等函数的导数
（1）（C）0
（2）（x）x1
（3）（sinx）cosx
（4）（cosx）sinx
（5）（tanx）secfx
（6）（cotx）cscFx
（7）（secx）secxtanx
（8）（cscx）cscxcotx
（9）（a）axlna
（10）
（ex）ex
（12）（lnx）
（13）（arcsinx）
.1x2
（14）（arccosX）
1
1x2
（15）（arctanx）
1
1x2
（16）（arccotx）
1
1x2
2•函数的和、差、积、商的求导法则
设uu（x）vv（x）都可导贝y
（1）（uv）uv
（2）（Cu）Cu
（3）
（uv）uvuv
3•反函数的求导法则
设xf（y）在区间Iy内单调、可导且f（y）0则它的反函数yf1（x）在lxf（|y）内也可导且
4•复合函数的求导法则
则复合函数yf[g（x）]的导数为
设yf（x）而ug（x）且f（u）及g（x）都可导
兴先畔或y（x）f（u）g（x）
例16求双曲正弦shx的导数.
解因为shx1（exex）所以
11
（shx）（exex）（exex）chx
即（shx）chx
类似地有
（chx）shx
例17求双曲正切thx的导数
解因为thx響所以
（thx）
ch2xsh2x
ch2x
1
ch2x
chx
例18求反双曲正弦arshx的导数
（arshx）
解因为arshxIn（x、1x2）所以
例19.ysinnxsinnx（n为常数）求y解y（sinnx）sinnx+sinnx（sinnx）
nn1
ncosnxsinx+sinnxnsin1x（sinx）
nn1n1
ncosnxsinx+nsinxcosxnsinxsin（n+1）x
§3高阶导数
一般地函数yf（x）的导数yf（x）仍然是x的函数我们把yf（x）的导数叫做函数yf（x）的二阶导数记作y、f（x）或d-y
dx2
y（y）f（x）[f（x）]
dSdH乎）
dx2dxdx
相应地把yf（x）的导数f（x）叫做函数yf（x）的一阶导数
般地（n1）
类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数阶导数的导数叫做n阶导数分别记作
函数f（x）具有n阶导数也常说成函数f（x）为n阶可导导数那么函数f（x）在点x的某一邻域内必定具有一切低于数统称高阶导数
y称为一阶导数yyy⑷y（n）都称为高阶导数
例1.yaxb求y
解yay0
例2.ssint求s
解scosts2sint
证明因为y—2—2x1-x—
明因为y2”2xx2.2xx2
、2xx2（1x）—2—2x—2“、2dd
y22xx22xx2（1x）211
y9vv2223\/3
y
2xx2
（2xx2）..（2xx2）
3
（2xx2）2
所以y3y10
例4.求函数
yex的n阶导数
解yexy
exyexy（4）ex
般地
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