高等数学第2章导数与微分.docx

1、高等数学第2章导数与微分第二章导数与微分教学目的：1、 理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义， 会求平面曲线的切线方程和 法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之 间的的关系。2、 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则， 熟练掌握基本初等函数的导数 公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的 n阶导数。4、 会求分段函数的导数。5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点：1、 导数和微分的概念与微分的关系；2、 导数的四则

2、运算法则和复合函数的求导法则；3、 基本初等函数的导数公式；4、 高阶导数；6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：1、 复合函数的求导法则；2、 分段函数的导数；3、 反函数的导数4、 隐函数和由参数方程确定的导数。 1导数概念一、引例1.直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动 时刻t质点的坐标为ss是t的函数s f(t)求动点在时刻to的速度考虑比值s S) f(t) f(to) t to t to这个比值可认为是动点在时间间隔 t to内的平均速度 如果时间间隔选较短 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻 to的速度但这样做是不精确的 更确地应当这样 令t to 0取

3、比值f(t) f(to)的极限 如果这个极限存在 设为v即t tof(t) f(to)v lim t to t to这时就把这个极限值 v称为动点在时刻t 0的速度2 .切线问题设有曲线C及C上的一点M 在点M外另取C上一点N作割线MN当点N沿曲线C 趋于点M时 如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置 MT直线MT就称为曲线C有点M处 的切线设曲线C就是函数y f(x)的图形 现在要确定曲线在点 M(xo, yo)(yo f(xo)处的切线 只要定出切线的斜率就行了 为此在点M外另取C上一点N(x, y)于是割线MN的斜率为tan y yo f(x)f(Xo)X Xo x xo其中 为割线MN的

4、倾角 当点N沿曲线C趋于点M时x xo如果当x o时 上式的极限存 在设为k即f (x) f (xo)k lim X Xo x xo存在 则此极限k是割线斜率的极限 也就是切线的斜率 这里k tan 其中 是切线MT的倾角 于是 通过点M(xo, f(xo)且以k为斜率的直线 MT便是曲线C在点M处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限lim f(x)畑x X0 X Xo令 x x Xo 贝y f(xo x) f(xo)f(x) f(xo) X xo相当于 X 0于是 lim f(x)x xo Xf (Xo

5、)Xo成为lim y 或 lim 0X) f(Xo)x 0 X X 0X定义 设函数y f(x)在点xo的某个邻域内有定义 当自变量x在xo处取得增量 x(点xo x仍在该邻域内)时相应地函数y取得增量y f(xo x) f(xo)如果y与x之比当x 0时的极 限存在则称函数y f(x)在点xo处可导并称这个极限为函数 y f(x)在点xo处的导数记为y |x 即lim 乂 lim f(Xo x) f(Xo)X o X X 0 X也可记为y dy或常dx X Xo dx X x函数f(x)在点xo处可导有时也说成f(x)在点xo具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式 常见的有f(xo

6、) lim f(xo h) f(xo)h o hf(xo) lim f (x) f (xo)X xo x xo在实际中 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化 “快慢”问题 在数学上就是所谓函数的变化率问题 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限lim x) f(xo)不存在 就说函数y f(x)在点xo处不可导x o x如果不可导的原因是由于 lim _%)f(x)x o x也往往说函数 y f(x)在点xo处的导数为无穷大如果函数y f(x)在开区间I内的每点处都可导 就称函数f(x)在开区间I内可导 这时对于任一 x I都对应着f(x)的一个确定的导数值 这样就构成了一个新的函数

7、 这个函数叫做原来函数y f(x)的导函数记作y f(x) dy或dx dx导函数的定义式y lim f(x x) f(x) lim f(x h) f(x)x o x h o hf (xo)与f (x)之间的关系函数f(x)在点xo处的导数f (x)就是导函数f(X)在点x xo处的函数值 即f (Xo) f (X) x Xo导函数f (x)简称导数 而f (xo)是f(x)在xo处的导数或导数f (x)在xo处的值 左右导数所列极限存在则定义f(x)在Xo的左导数f (Xo)hlimof(Xo h) f(Xo)hf(x)在Xo的右导数f (Xo)limh of(Xo h) f(Xo)h如果极

8、限himof(Xo hh f(Xo)存在则称此极限值为函数在Xo的左导数如果极限hlimof(Xo hh f(Xo)存在则称此极限值为函数在Xo的右导数导数与左右导数的关系f (xo) A f (Xo) f (Xo) a2 求导数举例例1 求函数f（x） C （C为常数）的导数f(x h) f(x) C C 小解 f (x) lim lim 0h 0 h h 0 h即(C ) 0例2求f(x)-的导数x1 1解 f (x) lim f(x h 型 lim x lim -h 0 h h 0 h h 0 h(x h)x例3求f （x） . x的导数f (x)limh 0f(x h) hf(x)li

9、mlimh 0h(、x h x)him0.x h x12、x例2.求函数f（x） xn（n为正整数）在x a处的导数解 f Um f(x) f lim lim (xn 1 axn 2x a x a x a x a x a把以上结果中的a换成x得f (x) nxn 1即(xn) nxn 1(C) 0 x 丽 * (x) x 1更一般地有(x ) x 1其中为常数例3 .求函数f(x) sin x的导数解 f(x) lim f(x h) f(x) nmsin(x h) sinxh 0 h h 0 han1)nanh2 cos(x )sin2 2h sin lim cos(x ) 2 cosxh 0

10、 2 h2即 （si n x） cos x用类似的方法 可求得 （cos x ） sin x例4 .求函数f(x) a x(a0 a 1)的导数解 f(x) lim f(x h) f(x)h 0lim 里h 0 haxlim0呻 axtim01ologaex1axl na特别地有(ex) e5.求函数f(x) log ax (a0 a 1)的导数 f(x) lim f(x h) f(x)h 0Iim loga(x h) logaXh 01 logaexf(x) lim 血h 01xlna凯訴抑h 1him0lOga(1护h) gx1丈叫0ga(1xh) hx1 1Xae 亦1(logax)亦特

11、殊地 (ln x)(logaX)xln a(lnx)1X3 .单侧导数极限 lim f(X h)f(x)存在的充分必要条件是h 0 hlim f(x h) f(x)h 0 h及limh 0f(x h) hf(x)都存在且相等f(x)在Xo处的左导数f (X0)limh 0f(xh) hf(x)f(x)在X0处的右导数f (X0)limh 0f(xh) hf(x)导数与左右导数的关系函数f(x)在点X。处可导的充分必要条件是左导数左导数 f(X0)和右导数f(X0)都存在且相等如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导 且右导数f (a)和左导数f (b)都存在 就说f(x)有闭区间a, b上可

12、导例6 .求函数f(x) x|在x 0处的导数f(0) lim f(0 h) f(0) lim 回h 0 h h 0 hf (0) lim f(0 h) f(0)lim 也 1h 0 h h 0 h四、导数的几何意义函数y f(x)在点X0处的导数f(X0)在几何上表示曲线y f(x)在点M(x, f(x)处的切线的斜率 即f (x 0) tan其中是切线的倾角如果y f(x)在点X0处的导数为无穷大 这时曲线y f(x)的割线以垂直于x轴的直线x x为极限位置 即曲线y f(x)在点M(X0, f(x。)处具有垂直于 x轴的切线x X。由直线的点斜式方程 可知曲线y f(x)在点M(x0,

13、y。)处的切线方程为y y f(X0)(x X0)过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线 y f(x)在点M处的法线如果f (X0) 0法线的斜率为 从而法线方程为f (X0)y y0 1 (x X0)f (X0)例8求等边双曲线y丄在点(2,2)处的切线的斜率 并写出在该点处的切线方程和法X 2线方程解y 2所求切线及法线的斜率分别为X23f (X0) (X2)3x22 XX)ki (*24 k2丄1k1 4所求切线方程为y 24(x 2)即 4x y 4 0所求法线方程为y 2!(x 丄)4 2即 2x 8y 15 0例9求曲线yx x的通过点(04)的切线方程解设切点的横坐标

14、为X0则切线的斜率为于是所求切线的方程可设为y X0、X0 3 Xo(X Xo)根据题目要求 点(0 4)在切线上 因此4 Xo、X 3、Xo(O Xo)解之得Xo 4于是所求切线的方程为y 4、4 3 i4(x 4)即 3x y 4 0四、函数的可导性与连续性的关系设函数yf(x)在点X0处可导即叫一恨)存在则lim y lim x lim 丄 lim x f (x0) 0 0X 0 x 0 x x 0 x x 0这就是说 函数y f(x)在点X0处是连续的 所以 如果函数y f(x)在点x处可导 则函数在该点必连续另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例7.函数f (x) 3 x在

15、区间(，)内连续 但在点x 0处不可导 这是因为函数在点x 0处导数为无穷大lim f(0 h) f(0) limSh 0 h h 0 h2 2函数的求导法则、函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数u u(x)及v v(x)在点X具有导数 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点X具有导数 并且u(x) v(x) u (x) v(x)u(x) v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)u(x) u(x)v(x) u(x)v(x)v(x) v2(x)证明(1)u(x) v(x) him0u(X h) v(X h) u(x) v(x)lim 吩 h) u(x) v(x h)

16、v(x)h 0 h h法则(1)可简单地表示为(u v) u vu(x)v(x) Iimu(x h)v(xhh) u(x)v(x)1|imhu(x h)v(x h) u(x)v(x h) u(x)v(x h) u(x)v(x) lim u(x h) u(x)v(x h) u(x)v(x h) v(x)h 0 h hlim u(x h) u(x) |im v(x h) u(x) lim v(x h) v(x)h 0 h h 0 h 0 hu (x)v(x) u(x)v (x)其中lim v(x h) v(x)是由于v (x)存在 故v(x)在点x连续h 0法则(2)可简单地表示为(uv) u v

17、 uvu(x h) u(x)u(x) Iim v(x h) v(x) Iim u(x h)v(x) u(x)v(x h)(3) lim limv(x) h 0 h h 0 v(x h)v(x)hlim u(x h) u(x)v(x) u(x)v(x h) v(x)h 0 v(x h)v(x)hlimh 0u(x h) u(x)v(x) u(x)v(x h) v(x) h hv(x h)v(x)u (x)v(x) u(x)v(x) v2(x)法则(3)可简单地表示为(Cu) Cu例1.y 2x 3 5x 2 3x 7 求 y解y(2x 3 5x 2 3x 7) (2x 3)5x 2) 3x) 7

18、) 2 (x 3) 5 x 2) 3 x)2 3x 2 5 2x 3 6x 2 10x3例2f (x) x3 4cosx sin -2求 f (x)及 f (迈)解f (x) (x3)(4 cosx)(si nR3x2 4sin xf ()-:2 4 2丿4例3. y ex(sin xcos x)求y解y e ) (sin xcos x)ex(sin xcos x)ex(sin xcos x)e x (cos xsin x)x2e cosx例 4. y ta n x 求 y解 y (ta nx)(沁)(sin n/osx)cosx cos2 xcos2x2sin2x 导 se&xcos2 x

19、cos2 x即 (tan x) sec?x例 5. y sec x 求 y解 y (secx)(丄)cosx 2(cosx) 冲 secx tan x cosx cos2 x cos2x即 (sec x) sec x tan x用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式(cot x) cscFx(csc x) csc x cot x二、反函数的求导法则y f 1(x)在对1 (x)存在定理2如果函数x f(y)在某区间Iy内单调、可导且f (y) 0那么它的反函数 应区间Ix x|x f(y) y Iy内也可导 并且f 1(x) 1 或dy f (x) f (y)或 dx dx dy简要证

20、明 由于x f(y)在Iy内单调、可导(从而连续)所以x f(y)的反函数y且f 1(x)在Ix内也单调、连续任取x I x给x以增量x( x 0 x x I x)由yf *x)的单调性可知y f 1(x x) f 1(x) 0于是y 1x _xy因为y f (x)连续故xim0 y 0从而f 1(x) lim 乂 lim 丄x o x y 0 xy区间(2， _2)内单调、可导且 (sin y) cos y 0因此由反函数的求导法则类似地有 (arccosx)在对应区间1x(1 1)内有1 1 1 cosy 1 sin2 y -1 x21例7 .设x tan y y ( 2，2为直接函数 则

21、y arctan x是它的反函数 函数x tan y在区间(2，2)内单调、可导且2(tan y) sec y 0 因此由反函数的求导法则在对应区间I x ()内有(arcta n x)1(tan y)1 1 1sec2 y 1 tan2 y 1 x2类似地有 (arccot x)11 x2例8设x ay(a 0 a 1)为直接函数则y loga x是它的反函数 函数x ay在区间Iy ()内单调、可导且(ay) ayln a 0因此 由反函数的求导法则 在对应区间I x (0 )内有(log a x)1(ay)ayl na xlna那么由基本初等函数构成的较复到目前为止所基本初等函数的导数我

22、们都求出来了 高等数学课程建设组杂的初等函数的导数如可求呢？如函数 In tan x、ex3、的导数怎样求?三、复合函数的求导法则定理3如果u g(x)在点x可导 函数y f(u)在点u g(x)可导可导且其导数为则复合函数fg(x)在点 xdxf (u) g (x)或心证明 当u g(x)在x的某邻域内为常数时立y=f (x)也是常数此时导数为零结论自然成因此当u g(x)在 x的某邻域内不等于常数时fg(xdydx简要证明fg(x x) fg(x)u 0此时有x) fg(x) g(x x)g(x x) g(x)g(x)xf (U U) f (u) g(xx) g(x)lim y limx

23、0f(u u) f(u)恤严 x) g(x) = f (u) g (x)业 lim - dx x 0 xlim - x 0 u xlim yu 0忸弋 f(u)g(x)9 y ex3 求 dxx3函数y ex3可看作是由ydx10 yeux3复合而成的因此直 eu 3x2 3x2ex3du dxsin代求半1 x2 dx函数y sin”2x卞是由y sin u2x口复合而成的dy dy dudx du dxcosu(1对复合函数的导数比较熟练后2(1 x2) (2x)2cos 伞(1 x2)2 1 x2x2)2就不必再写出中间变量11- i nsin x 求兴吐(In sinx) (sinx)

24、 dx sin x1 cosx cot x sin x12. y 31 2x2 求鱼 dx4xd 1 1 2解 dx (1 2x2)3 1(1 2x2) 3 (1 2x2) 33(12x2)2dy du dy du dvdu dx du dv dx In cos(ex) cos(ex) cos(ex)sin 丄 1 e x cos (x )四、基本求导法则与导数公式1基本初等函数的导数(1) (C) 0(2) (x ) x 1(3) (si n x) cos x(4) (cos x) sin x(5) (tan x) secfx(6) (cot x) cscFx(7) (sec x) sec

25、xtan x(8) (csc x) csc x cot x(9) (a ) a x ln a(10) (ex) ex(12) (ln x)(13) (arcsin x).1 x2(14) (arccos X)1,1 x2(15) (arctanx)11 x2(16) (arccot x)11 x22 函数的和、差、积、商的求导法则设u u(x) v v(x)都可导 贝y(1) (u v) u v(2) (C u) C u(3) (u v) u v u v3 反函数的求导法则设x f(y)在区间Iy内单调、可导且f (y) 0则它的反函数y f 1(x)在lx f(|y)内也可导 且4 复合函数

26、的求导法则则复合函数y fg(x)的导数为设y f(x)而u g(x)且f(u)及g(x)都可导兴先畔或y(x) f (u)g(x)例16求双曲正弦sh x的导数.解因为sh x 1(ex e x)所以1 1(sh x) (ex e x) (ex e x) ch x即 (sh x) ch x类似地有(ch x) sh x例17求双曲正切th x的导数解因为th x響所以(th x)ch2x sh2xch2x1ch2xch x例18求反双曲正弦arsh x的导数(arsh x)解因为arsh x In(x 、1 x2) 所以例 19. y sin nx sinnx (n 为常数)求 y 解 y

27、(sin nx) sinnx + sin nx (sin n x)n n 1ncos nx sin x+sin nx n sin 1 x (sin x )n n 1 n 1ncos nx sin x+n sin x cos x n sin x sin(n+1)x 3高阶导数一般地 函数y f(x)的导数y f (x)仍然是x的函数 我们把y f (x)的导数叫做函数y f(x) 的二阶导数记作y、f (x)或d-ydx2y (y) f (x) f (x)dS dH乎)dx2 dx dx相应地 把y f(x)的导数f (x)叫做函数y f(x)的一阶导数般地(n 1)类似地 二阶导数的导数 叫做

28、三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数 阶导数的导数叫做 n阶导数分别记作函数f(x)具有n阶导数 也常说成函数f(x)为n阶可导 导数那么函数f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于 数统称高阶导数y称为一阶导数 y y y y(n)都称为高阶导数例 1. y ax b 求 y解 yay 0例 2. s sin t 求 s解 s cos t s 2sin t证明 因为y 22x 1 -x明因为 y 2”2x x2 . 2x x2、2x x2 (1 x)22x 2 “ 、2 d dy 2 2x x2 2x x2 (1 x)2 1 1y 9v v2 2 2 3 /3y2x x2(2x x2).(2x x2)3(2x x2)2所以y 3y 1 0例4 .求函数y ex的n阶导数解 y ex yex y ex y( 4) ex般地