信息论与编码习题答案.docx
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信息论与编码习题答案
第二章
2.1试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍?
解:
四进制脉冲可以表示4个不同的消息,例如:
{0,1,2,3}
八进制脉冲可以表示8个不同的消息,例如:
{0,1,2,3,4,5,6,7}
二进制脉冲可以表示2个不同的消息,例如:
{0,1}
假设每个消息的发出都是等概率的,则:
四进制脉冲的平均信息量
八进制脉冲的平均信息量
二进制脉冲的平均信息量
所以:
四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。
2.2居住某地区的女孩子有25%是大学生,在女大学生中有75%是身高160厘米以上的,而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。
假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息,问获得多少信息量?
解:
设随机变量X代表女孩子学历
X
x1(是大学生)
x2(不是大学生)
P(X)
0.25
0.75
设随机变量Y代表女孩子身高
Y
y1(身高>160cm)
y2(身高<160cm)
P(Y)
0.5
0.5
已知:
在女大学生中有75%是身高160厘米以上的
即:
求:
身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量
即:
2.3一副充分洗乱了的牌(含52张牌),试问
(1)任一特定排列所给出的信息量是多少?
(2)若从中抽取13张牌,所给出的点数都不相同能得到多少信息量?
解:
(1)52张牌共有52!
种排列方式,假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是:
(2)52张牌共有4种花色、13种点数,抽取13张点数不同的牌的概率如下:
2.4设离散无记忆信源
,其发出的信息为(23211223210),求
(1)此消息的自信息量是多少?
(2)此消息中平均每符号携带的信息量是多少?
解:
(1)此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3,因此此消息发出的概率是:
此消息的信息量是:
(2)此消息中平均每符号携带的信息量是:
2.5从大量统计资料知道,男性中红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为0.5%,如果你问一位男士:
“你是否是色盲?
”他的回答可能是“是”,可能是“否”,问这两个回答中各含多少信息量,平均每个回答中含有多少信息量?
如果问一位女士,则答案中含有的平均自信息量是多少?
解:
男士:
女士:
2.6设信源
,求这个信源的熵,并解释为什么H(X)>log6不满足信源熵的极值性。
解:
不满足极值性的原因是
。
2.7证明:
H(X3/X1X2)≤H(X3/X1),并说明当X1,X2,X3是马氏链时等式成立。
证明:
2.8证明:
H(X1X2。
。
。
Xn)≤H(X1)+H(X2)+…+H(Xn)。
证明:
2.9设有一个信源,它产生0,1序列的信息。
它在任意时间而且不论以前发生过什么符号,均按P(0)=0.4,P
(1)=0.6的概率发出符号。
(1)试问这个信源是否是平稳的?
(2)试计算H(X2),H(X3/X1X2)及H∞;
(3)试计算H(X4)并写出X4信源中可能有的所有符号。
解:
(1)
这个信源是平稳无记忆信源。
因为有这些词语:
“它在任意时间而且不论以前发生过什么符号……”
(2)
(3)
2.10一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。
信源X的符号集为{0,1,2}。
(1)求平稳后信源的概率分布;
(2)求信源的熵H∞。
解:
(1)
(2)
2.11黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种,即信源X={黑,白}。
设黑色出现的概率为P(黑)=0.3,白色出现的概率为P(白)=0.7。
(1)假设图上黑白消息出现前后没有关联,求熵H(X);
(2)假设消息前后有关联,其依赖关系为P(白/白)=0.9,P(黑/白)=0.1,P(白/黑)=0.2,P(黑/黑)=0.8,求此一阶马尔可夫信源的熵H2(X);
(3)分别求上述两种信源的剩余度,比较H(X)和H2(X)的大小,并说明其物理含义。
解:
(1)
(2)
(3)
H(X)>H2(X)
表示的物理含义是:
无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度,有记忆信源的结构化信息较多,能够进行较大程度的压缩。
2.12同时掷出两个正常的骰子,也就是各面呈现的概率都为1/6,求:
(1)“3和5同时出现”这事件的自信息;
(2)“两个1同时出现”这事件的自信息;
(3)两个点数的各种组合(无序)对的熵和平均信息量;
(4)两个点数之和(即2,3,…,12构成的子集)的熵;
(5)两个点数中至少有一个是1的自信息量。
解:
(1)
(2)
(3)
两个点数的排列如下:
11
12
13
14
15
16
21
22
23
24
25
26
31
32
33
34
35
36
41
42
43
44
45
46
51
52
53
54
55
56
61
62
63
64
65
66
共有21种组合:
其中11,22,33,44,55,66的概率是
其他15个组合的概率是
(4)
参考上面的两个点数的排列,可以得出两个点数求和的概率分布如下:
(5)
2.13某一无记忆信源的符号集为{0,1},已知P(0)=1/4,P
(1)=3/4。
(1)求符号的平均熵;
(2)有100个符号构成的序列,求某一特定序列(例如有m个“0”和(100-m)个“1”)的自信息量的表达式;
(3)计算
(2)中序列的熵。
解:
(1)
(2)
(3)
2.14对某城市进行交通忙闲的调查,并把天气分成晴雨两种状态,气温分成冷暖两个状态,调查结果得联合出现的相对频度如下:
若把这些频度看作概率测度,求:
(1)忙闲的无条件熵;
(2)天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵;
(3)从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。
解:
(1)
根据忙闲的频率,得到忙闲的概率分布如下:
(2)
设忙闲为随机变量X,天气状态为随机变量Y,气温状态为随机变量Z
(3)
2.15有两个二元随机变量X和Y,它们的联合概率为
YX
x1=0
x2=1
y1=0
1/8
3/8
y2=1
3/8
1/8
并定义另一随机变量Z=XY(一般乘积),试计算:
(1)H(X),H(Y),H(Z),H(XZ),H(YZ)和H(XYZ);
(2)H(X/Y),H(Y/X),H(X/Z),H(Z/X),H(Y/Z),H(Z/Y),H(X/YZ),H(Y/XZ)和H(Z/XY);
(3)I(X;Y),I(X;Z),I(Y;Z),I(X;Y/Z),I(Y;Z/X)和I(X;Z/Y)。
解:
(1)
Z=XY的概率分布如下:
(2)
(3)
2.16有两个随机变量X和Y,其和为Z=X+Y(一般加法),若X和Y相互独立,求证:
H(X)≤H(Z),H(Y)≤H(Z)。
证明:
同理可得
。
2.17给定声音样值X的概率密度为拉普拉斯分布
,求Hc(X),并证明它小于同样方差的正态变量的连续熵。
解:
2.18连续随机变量X和Y的联合概率密度为:
,求H(X),H(Y),H(XYZ)和I(X;Y)。
(提示:
)
解:
2.19每帧电视图像可以认为是由3×105个像素组成的,所有像素均是独立变化,且每像素又取128个不同的亮度电平,并设亮度电平是等概出现,问每帧图像含有多少信息量?
若有一个广播员,在约10000个汉字中选出1000个汉字来口述此电视图像,试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少(假设汉字字汇是等概率分布,并彼此无依赖)?
若要恰当的描述此图像,广播员在口述中至少需要多少汉字?
解:
1)
2)
3)
2.20设
是平稳离散有记忆信源,试证明:
。
证明:
2.21设
是N维高斯分布的连续信源,且X1,X2,…,XN的方差分别是
,它们之间的相关系数
。
试证明:
N维高斯分布的连续信源熵
证明:
相关系数
,说明
是相互独立的。
2.22设有一连续随机变量,其概率密度函数
(1)试求信源X的熵Hc(X);
(2)试求Y=X+A(A>0)的熵Hc(Y);
(3)试求Y=2X的熵Hc(Y)。
解:
1)
2)
3)