数学必修1讲义.docx

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数学必修1讲义

第一章集合与函数概念

　　一、集合有关概念

　　1、集合的含义：

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。

　　2、集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性：

对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

（2）元素的互异性：

任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

　　（3）元素的无序性：

集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

　　3、元素与集合的关系：

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作:

4、集合的表示：

*用拉丁字母表示集合：

A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

*常用数集及其记法：

　非负整数集（即自然数集）记作：

N

正整数集N*或N+

整数集Z

有理数集Q

实数集R

（1）列举法：

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：

{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}　

（2）图示法：

Venn图

（3）描述法（数学式子描述和语言描述）：

把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：

在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：

{x|x-3>2}，{（x,y）|y=x2+1}，{直角三角形}

5、集合的分类：

（1）有限集含有有限个元素的集合

（2）无限集含有无限个元素的集合

　　（3）空集不含任何元素的集合例：

{x|x2=-5｝

二、集合间的基本关系

1、包含关系

（1）子集：

真子集或相等

（2）真子集

2、相等关系：

元素相同

两个结论：

任何一个集合是它本身的子集,即AA

对于集合A,B,C,如果AB,BC,那么AC

3、空集

结论：

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

*集合子集公式：

含n个元素的集合子集有2ⁿ个，真子集有2ⁿ-1个

三、集合的基本运算

1、并集

2、交集

*性质：

A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∩B=A,A∩B=B

AUA=A,AUΦ=A,AUB=BUA,AUB包含A,AUB包含B

3、全集和补集

*性质：

CU（CUA）=A，（CUA）∩A=Φ，（CUA）∪A=U，（CuA）∩（CuB）=Cu（AUB），（CuA）U（CuB）=Cu（A∩B）

选择补充：

集合中元素的个数：

四、函数有关概念

1、函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：

y=f（x），x∈A．

（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；

（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

2、函数的三要素：

定义域、值域、对应法则

3、函数的表示方法：

（1）解析法：

明确函数的定义域

（2）图像法：

确定函数图像是否连续，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

（3）列表法：

选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征

4、函数图象知识归纳：

（1）定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.

（2）画法：

A、描点法：

B、图象变换法：

平移变换；伸缩变换；对称变换。

（3）函数图像变换的特点：

1）函数y=f（x）关于X轴对称y=-f（x）

2）函数y=f（x）关于Y轴对称y=f（-x）

3）函数y=f（x）关于原点对称y=-f（-x）

五、求函数解析式、定义域、值域

1、函数解析式子的求法：

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1）待定系数法：

用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。

2）换元法：

用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。

它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

3）配凑法：

已知复合函数的表达式，要求解析式时，若表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。

配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。

所以求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。

4）消元法：

题给条件中，有若干复合函数与原函数混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

消元法适用于自变量的对称规律。

互为倒数，如f（x）、f（1/x）；互为相反数，如f（x）、f（-x），通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f（x）的解析式。

5）赋值法：

依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。

①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。

②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。

2、定义域：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

*求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）分式的分母不等于零；  

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零； 

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.   

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

（6）指数为零底不可以等于零，   

（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 

3、相同函数的判断方法：

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

②定义域一致（两点必须同时具备）

4、区间的概念：

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示

5、求值域：

*先考虑其定义域

（1）观察法：

直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域。

（2）配方法：

针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域。

注意定义域的范围。

（3）分离常数法：

适合于分数函数，用分母表示分子，分离出常数，使分子不含变量，再借助基本函数的值域求解。

（4）判别式法：

把函数转化为关于x的二次方程，通过方程有实根，求原函数的值域。

前提是二次项系数不为零，分子分母没有公因式，函数定义域为R。

（5）反表示法：

针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。

（6）换元法：

作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。

（7）单调性法：

通过确定函数在定义域的单调性来求函数值域。

六、分段函数、绝对值函数、映射、复合函数

1、分段函数：

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；

（2）各部分的自变量的取值情况；

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

2、绝对值函数：

3、映射：

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

AB为从集合A到集合B的一个映射。

记作：

f（对应关系），A（原象），B（象），对于映射f：

A→B来说，则应满足：

（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

*注意：

映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。

所以函数是映射，而映射不一定的函数。

*集合A含n个元素，集合B含m个元素，则从A到B的映射有mⁿ个

4、复合函数：

如果y=f（u）（u∈M）,u=g（x）（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x∈A），称为f、g的复合函数。

七、函数的单调性（局部性质）

1、增减函数：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I：

（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

*注意：

函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调递增，和单调递减两种

2、图象的特点：

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

3、函数单调区间与单调性的判定方法：

（1）定义法：

①任取x1，x2∈D，且x1

②作差f（x1）－f（x2）；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

⑤下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．

（2）图象法（从图象上看升降）

（3）判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与0作比较，作商法是与1作比较

（4）复合函数的单调性：

复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律：

同增异减

*注意：

函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

八、函数的奇偶性（整体性质）

1、奇偶函数：

（1）偶函数：

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．

（2）奇函数：

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数．

2、图像的特点：

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

*函数的奇偶性与单调性:

奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

3、函数奇偶性的判定方法：

（1）定义法：

①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；

②确定f（－x）与f（x）的关系；

③作出相应结论：

若f（－x）=f（x）或f（－x）－f（x）=0，则f（x）是偶函数；

若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．

（2）利用奇偶函数的四则运算判定：

在公共定义域内，

偶函数的加减乘除仍为偶函数；

奇函数的加减仍为奇函数；

奇数个奇函数的乘除认为奇函数；

偶数个奇函数的乘除为偶函数；

一奇一偶的乘积是奇函数。

（3）复合函数的奇偶性：

一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。

*注意：

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

（1）再根据定义判定;

（2）由f（-x）±f（x）=0或f（x）／f（-x）=±1来判定;（3）利用定理，或借助函数的图象判定。

4、函数奇偶性的性质：

偶函数：

关于y轴对称；有f（－x）=f（x）

引申：

若f（a+x）=f（a-x），则函数关于x=a对称

奇函数：

f（0）=0，关于原点对称，有f（－x）=－f（x）

5、函数的周期性：

（1）周期函数：

对于函数f（x）,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x+T）=f（x）,那么就称函数f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期。

（2）最小正周期：

如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。

6、周期性三个常用结论：

（1）若f（x+1）=-f（x）,则T=2；

（2）若f（x+1）=1/f（x）,则T=2；

（3）若f（x+2）=若f（x+1）,则T=1.

九、函数的最值

1、最值：

（1）最大值：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意实数x∈I，都有f（x）≤M，

②存在x0∈I，使得f（x0）=M.

那么，我们称函数M是函数y=f（x）的最大值。

（2）最小值：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

①对于任意实数x∈I，都有f（x）≥M，

②存在x0∈I，使得f（x0）=M.

那么，我们称函数M是函数y=f（x）的最小值。

2、函数最值的求法：

（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

（2）利用图象求函数的最大（小）值

（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）.

第二章基本初等函数（Ⅰ）

一、指数与指数幂的运算

*复习初中整数指数幂的运算：

am*an=am+n（am）n=amn（a*b）n=anbn

1、根式的概念：

一般地，若xⁿ=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。

此时，a的n次方根用符号表示。

当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。

此时正数a的正的n次方根用符号表示，负的n的次方根用符号表示。

正的n次方根与负的n次方根可以合并成（a>0）。

*注意：

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作：

当n是奇数时，

当n是偶数时，

式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。

2、分数指数幂：

正数的分数指数幂的意义：

*注意：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

3、有理数指数幂的运算性质：

4、无理数指数幂：

一般的，无理数指数幂（a>0,a是无理数）是一个确定的实数。

有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。

二、指数函数及其性质

1、指数函数的定义：

一般地，函数y=ax（a﹥0,且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。

2、指数函数的图像及性质：

图像，定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，过定点，开口大小

3、比较指数大小：

（1）化成同指或同底，利用单调性和图像

（2）借助中间量