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1、数学必修1讲义第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义： 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。2、集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。3、元素与集合的关系： （1）如果 a 是集合 A 的元素，就说

2、 a 属于A，记作： （2）如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于A，记作:4、集合的表示：*用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5*常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2 （2） 图示法：Venn图 （3） 描述法(数学式子描述和语言描述）：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后

3、写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：x|x-32，(x,y)|y=x2+1，直角三角形 5、集合的分类：（1）有限集含有有限个元素的集合 （2）无限集含有无限个元素的集合 (3）空集不含任何元素的集合例：x|x2=-5二、集合间的基本关系1、包含关系（1）子集：真子集或相等（2）真子集2、相等关系：元素相同 两个结论：任何一个集合是它本身的子集,即A A 对于集合A,B,C,如果 A B, B C ,那么 A C3、空集结论：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集*集合子集公式：含n个元素的集合子集有2个，真子集有2-1个三、集合的基本运算1、并集 2、交集 *性质：AA=A,A=,

4、AB=BA，AB=A, AB=B AUA=A, AU=A,AUB=BUA ,AUB包含A, AUB包含B3、全集和补集*性质：CU(CUA)=A，(CUA)A=，(CUA)A=U，(CuA)(CuB)= Cu(AUB)，(CuA) U (CuB)= Cu(AB)选择补充：集合中元素的个数：四、函数有关概念1、函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使 对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA （1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； （2）与x的值相

5、对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫 做函数的值域2、函数的三要素：定义域、值域、对应法则3、函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域 （2）图像法：确定函数图像是否连续，函数的图像可 以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。 （3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征4、函数图象知识归纳：(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标， 函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对

6、x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法： A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换。 （3）函数图像变换的特点： 1）函数y=f(x) 关于X轴对称y=-f(x) 2）函数y=f(x) 关于Y轴对称y=f(-x) 3）函数y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x) 五、求函数解析式、定义域、值域 1、函数解析式子的求法： （1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系 时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有： 1）待定系数法：用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及

7、函数的某些特征求其解析式的题目。 2）换元法：用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 3）配凑法：已知复合函数的表达式，要求解析式时，若表达式右边易配成的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。所以求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。 4) 消元法：题给条件中，有若干复合函数与原函数混合运算，则要充分

8、利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、f(1/x)；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。 5）赋值法：依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。2、定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。*求函数的定义域时列

9、不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3、相同函数的判断方法： 表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； 定义域一致(两点必须同时具备)4、区间的概念： （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示5、求值域：*先考虑其定义域（1

10、）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域。 （2）配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域。注意定义域的范围。（3）分离常数法：适合于分数函数，用分母表示分子，分离出常数，使分子不含变量， 再借助基本函数的值域求解。（4）判别式法：把函数转化为关于x的二次方程，通过方程有实根，求原函数的值域。前提是二次项系数不为零，分子分母没有公因式，函数定义域为R。 （5）反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y 的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。 (6)换元法：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。（7）单调性法：通过确定函数

11、在定义域的单调性来求函数值域。六、分段函数、绝对值函数、映射、复合函数1、分段函数： （1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；（2）各部分的自变量的取值情况； （3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集2、绝对值函数：3、映射： 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作：f（对应关系），A（原象），B（象），对于映射f：AB来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集

12、合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 * 注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。 所以函数是映射，而映射不一定的函数。*集合A含n个元素，集合B含m个元素，则从A到B的映射有m个4、复合函数：如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA)，称为f、g的复合函数。七、函数的单调性（局部性质）1、增减函数： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I：（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说

13、f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. （2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. *注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调递增，和单调递减两种2、 图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、 函数单调区间与单调性的判定方法： (1)定义法： 任取x1，x2D，且

14、x11，且nN* 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。此时，a的n次方根用符号 表示。 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n的次方根用符号 表示。正的n次方根与负的n次方根可以合并成 （a0）。 * 注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作： 当n是奇数时， 当n是偶数时， 式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。2、分数指数幂：正数的分数指数幂的意义：*注意：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3、有理数指数幂的运算性质：4、无理数指数幂： 一般的，无理数指数幂 （a0,a是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。二、指数函数及其性质1、指数函数的定义： 一般地，函数y=ax(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量， 函数的定义域为R。2、指数函数的图像及性质：图像，定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，过定点，开口大小3、比较指数大小：（1）化成同指或同底，利用单调性和图像（2）借助中间量