2.(2018·海淀模拟)若直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴,则a的值为( )
A.1B.-1C.2D.-2
答案 B
解析 圆的方程x2+y2-2y=0可化为(x-1)2+y2=1,可得圆的圆心坐标为(1,0),半径为1,因为x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴,所以圆心(1,0)在直线x+y+a=0上,可得1+a=0,a=-1,即a的值为-1,故选B.
3.以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2=5
B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+y2=5
D.x2+(y-1)2=5
答案 A
解析 由题意得,点(a,1)到两条直线的距离相等,且为圆的半径r.
∴=,解得a=1.
∴r==,
∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.
4.圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是( )
A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0
C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=0
答案 B
解析 根据题意,设圆心坐标为(0,r),半径为r,
则32+(r-1)2=r2,
解得r=5,可得圆的方程为x2+y2-10y=0.
5.(2018·重庆模拟)已知圆C1:
(x+1)2+(y-1)2=4,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( )
A.(x+2)2+(y-2)2=4B.(x-2)2+(y+2)2=4
C.(x+2)2+(y+2)2=4D.(x-2)2+(y-2)2=4
答案 B
解析 根据题意,设圆C2的圆心为(a,b),
圆C1:
(x+1)2+(y-1)2=4,其圆心为(-1,1),半径为2,
若圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C1与C2的圆心关于直线x-y-1=0对称,且圆C2的半径为2,则有解得
则圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=4.
6.(2018·长沙模拟)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是( )
A.1+B.2
C.1+D.2+2
答案 A
解析 将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d==,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1=+1,故选A.
7.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是____________,半径是________.
答案 (-2,-4) 5
解析 由已知方程表示圆,则a2=a+2,
解得a=2或a=-1.
当a=2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去.
当a=-1时,原方程为x2+y2+4x+8y-5=0,
化为标准方程为(x+2)2+(y+4)2=25,
表示以(-2,-4)为圆心,5为半径的圆.
8.已知圆C:
x2+y2+kx+2y=-k2,当圆C的面积取最大值时,圆心C的坐标为__________.
答案 (0,-1)
解析 圆C的方程可化为2+(y+1)2=-k2+1,所以当k=0时,圆C的面积最大,此时圆心C的坐标为(0,-1).
9.若圆C经过坐标原点与点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是__________________.
答案 (x-2)2+2=
解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0),所以设圆心为(2,m).
又因为圆与直线y=1相切,所以=|1-m|,
解得m=-.
所以圆C的方程为(x-2)2+2=.
10.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________.
答案 (x-2)2+(y+1)2=1
解析 设圆上任一点坐标为(x0,y0),
x+y=4,连线中点坐标为(x,y),
则解得
代入x+y=4中,得(x-2)2+(y+1)2=1.
11.已知点P(x,y)在圆C:
x2+y2-6x-6y+14=0上,
(1)求的最大值和最小值;
(2)求x+y的最大值和最小值.
解 方程x2+y2-6x-6y+14=0可变形为(x-3)2+(y-3)2=4,则圆C的半径为2.
(1)(转化为斜率的最值问题求解)
表示圆上的点P与原点连线的斜率,显然当PO(O为原点)与圆C相切时,斜率最大或最小,如图所示.
设切线方程为y=kx,即kx-y=0,
由圆心C(3,3)到切线的距离等于圆C的半径,
可得=2,解得k=.
所以的最大值为,最小值为.
(2)(转化为截距的最值问题求解)
设x+y=b,则b表示动直线y=-x+b在y轴上的截距,显然当动直线y=-x+b与圆C相切时,b取得最大值或最小值,如图所示.
由圆心C(3,3)到切线x+y=b的距离等于圆C的半径,可得=2,
即|b-6|=2,解得b=6±2,
所以x+y的最大值为6+2,最小值为6-2.
12.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得的线段长为2,在y轴上截得的线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
解
(1)设P(x,y),圆P的半径为r,
则y2+2=r2,x2+3=r2.
∴y2+2=x2+3,即y2-x2=1.
∴P点的轨迹方程为y2-x2=1.
(2)设P点的坐标为(x0,y0),
则=,即|x0-y0|=1.
∴y0-x0=±1,即y0=x0±1.
①当y0=x0+1时,由y-x=1,得(x0+1)2-x=1.
∴∴r2=3.
∴圆P的方程为x2+(y-1)2=3.
②当y0=x0-1时,由y-x=1,得(x0-1)2-x=1.
∴∴r2=3.
∴圆P的方程为x2+(y+1)2=3.
综上所述,圆P的方程为x2+(y±1)2=3.
13.已知圆C:
(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为________.
答案 74
解析 设P(x0,y0),d=|PB|2+|PA|2=x+(y0+1)2+x+(y0-1)2=2(x+y)+2.x+y为圆上任一点到原点距离的平方,∴(x+y)max=(5+1)2=36,
∴dmax=74.
14.已知圆C截y轴所得的弦长为2,圆心C到直线l:
x-2y=0的距离为,且圆C被x轴分成的两段弧长之比为3∶1,则圆C的方程为__________________________.
答案 (x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2
解析 设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|,|a|.
由题意可知∴或
故所求圆C的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2.
15.已知动点P(x,y)满足x2+y2-2|x|-2|y|=0,O为坐标原点,则的最大值为________.
答案 2
解析 表示曲线上的任意一点(x,y)到原点的距离.
当x≥0,y≥0时,x2+y2-2x-2y=0化为2+2=2,曲线上的点到原点的距离的最大值为2×=2,
当x<0,y<0时,x2+y2+2x+2y=0化为2+2=2,曲线上的点到原点的距离的最大值为2×=2,
当x≥0,y<0时,x2+y2-2x+2y=0化为2+2=2,曲线上的点到原点的距离的最大值为2×=2,
当x<0,y≥0时,x2+y2+2x-2y=0化为2+2=2,曲线上的点到原点的距离的最大值为2×=2.
综上可知,的最大值为2.
16.圆x2+y2+4x-12y+1=0关于直线ax-by+6=0(a>0,b>0)对称,求+的最小值.
解 由圆x2+y2+4x-12y+1=0知,其标准方程为(x+2)2+(y-6)2=39,∵圆x2+y2+4x-12y+1=0关于直线ax-by+6=0(a>0,b>0)对称,∴该直线经过圆心(-2,6),即-2a-6b+6=0,
∴a+