第十四章整式的乘法与因式分解教案.docx

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第十四章整式的乘法与因式分解教案

第十四章整式的乘法与因式分解

14.1.1同底数幂的乘法

教学目的：

1、能归纳同底数幂的乘法法则，并正确理解其意义；

2、会运用同底数幂的乘法公式进行计算，对公式中字母所表示“数”的各种可能情形应有充分的认识，并能与加减运算加以区分；了解公式的逆向运用；

教学重点：

同底数幂的乘法法则

难点：

底数的不同情形，尤其是底数为多项式时的变号过程

一、创设情境，激发求知欲

课本第页的引例

二、复习提问

1．乘方的意义：

求n个相同因数a的积的运算叫乘方

2.指出下列各式的底数与指数：

（1）34；

（2）a3；（3）（a+b）2；（4）（-2）3；（5）-23．

其中，（-2）3与-23的含义是否相同？

结果是否相等？

（-2）4与-24呢？

三、讲授新课

1．（课本页问题）利用乘方概念计算：

1014×103．

2、计算观察，探索规律：

完成课本第141页的“探索”，学生“概括”am×an=…=am+n；

3、 观察上式，找出其中包含的特征：

左边的底数相同，进行乘法运算；

右边的底数与左边相同，指数相加

4、 归纳法则：

同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

三、实践应用，巩固创新

例1、计算：

（1）x2·x5

（2）a·a6（3）2×24×23（4）xm·x3m+1

练习：

1．课本第页：

（学生板演过程，写出中间步骤以体现应用法则）

2．随堂巩固：

下面计算否正确？

若不正确请加以纠正。

    ①a6·a6＝2a6     ②a2+a4＝a6③a2·a4=a8

例2、计算：

要点指导：

底数中负号的处理；能化为同底数幂的数字底数的处理；多项式底数及符号的处理。

例3、  

（1）填空：

⑴若xm+n×xm-n=x9；则m=；

⑵2m=16，2n=8，则2m+n=。

四、归纳小结，布置作业

小结：

1、同底数幂相乘的法则；

2、法则适用于三个以上的同底数幂相乘的情形；

3、相同的底数可以是单项式，也可以是多项式；

4、要注意与加减运算的区别。

教学反思

14.1.2幂的乘方

教学目标：

1、经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；

2、了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.

教学重点：

幂的乘方的运算性质及其应用.

教学难点：

幂的运算性质的灵活运用.

一：

知识回顾

1．讲评作业中出现的错误

2．同底数幂的乘法的应用的练习

二：

新课引入

探究：

根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算的结果有什么规律：

（1）（32）3=32×32×32=3﹝﹞

（2）（a2）3=a2·a2·a2=a﹝﹞

（3）（am）3=am·am·am=a﹝﹞

（4）（am）n===amn．

观察结果，发现幂在进行乘方运算时，可以转化为指数的乘法运算．

引导学生归纳同底数幂的乘法法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

即：

（am）n＝amn（m、n都是正整数）．

二、知识应用

例题：

（1）（103）5；

（2）（a4）4；（3）（am）2；（4）－（x4）3；

说明：

－（x4）3表示（x4）3的相反数

练习：

课本第页（学生黑板演板）

补充例题：

（1）（y2）3·y

（2）2（a2）6－（a3）4（3）（ab2）3

（4）-（-2a2b）4

说明：

（1）（y2）3·y中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序，应先乘方，再做乘法，所以，（y2）3·y=y2×3·y=y6+1=y7；

（2）2（a2）6－（a3）4按运算顺序应先算乘方，最后再化简．所以，2（a2）6－（a3）4=2a2×6－a3×4=2a12－a12=a12．

三幂的乘方法则的逆用

．

（1）x13·x7=x（）=（）5=（）4=（）10；

（2）a2m=（）2=（）m（m为正整数）．

练习：

1．已知3×9n=37，求n的值．

2．已知a3n=5，b2n=3，求a6nb4n的值．

3．设n为正整数，且x2n=2，求9（x3n）2的值．

四、归纳小结、布置作业

小结：

幂的乘方法则．

教学反思

14.1.3积的乘方

教学目标：

1、经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；

2、了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题．

教学重点：

积的乘方的运算性质及其应用．

教学难点：

积的乘方运算性质的灵活运用．

教学过程：

一．创设情境，复习导入

1．前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个运算性质，请同学们通过完成一组练习，来回顾一下这两个性质：

（1）

（2）

（3）

　（4）

2．探索新知，讲授新课

（1）（3×5）7——积的乘方

=

——幂的意义

=

×

——乘法交换律、结合律

=37×57；——乘方的意义

（2）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a（）b（）

（3）（a2b3）3=（a2b3）·（a2b3）·（a2b3）=（a2·a2·a2）·（b3·b3·b3）=a（）b（）

（4）（ab）n

=

——幂的意义

=

·

——乘法交换律、结合律

=anbn．——乘方的意义

由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质：

积的乘方，等于把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘．

即：

（ab）n=an·bn

二、知识应用，巩固提高

例题3计算

（1）（2a）3；

（2）（－5b）3；（3）（xy2）2；

（4）（-2／3x3）4．（5）（－2xy）4（6）（2×103　）2

说明：

（5）意在将（ab）n=anbn推广，得到了（abc）n=anbncn

判断对错：

下面的计算对不对？

如果不对，应怎样改正？

　　①

　　②

　　③

练习：

课本第页

　三．综合尝试，巩固知识

　　补充例题：

 计算：

（1）

（2）

四．逆用公式：

，即

预备题：

（1）

（2）

例题：

（1）0．12516·（－8）17；

（2）

（2）已知2m=3，2n=5，求23m+2n的值．

（注解）：

23m+2n=23m·22n=（2m）3·（2n）2=33·52=27×25=675．

4、归纳小结、

5、布置作业

6、教学反思

14．1．4整式的乘法（单项式乘以单项式）

教学目标：

经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算。

教学重点：

单项式与单项式相乘的运算法则的探索．

教学难点：

灵活运用法则进行计算和化简．

教学过程：

一．复习巩固：

同底数幂，幂的乘方，积的乘方三个法则的区分。

二．提出问题，引入新课

（课本引例）：

光的速度约为3×105千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？

（1）怎样计算（3×105）×（5×102）?

计算过程中用到哪些运算律及运算性质？

（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5•bc2怎样计算这个式子？

说明：

（3×105）×（5×102），它们相乘是单项式与单项式相乘．

ac5•bc2是两个单项式ac5与bc2相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及同底数幂的运算性质来计算：

ac5•bc2＝（a•b）•（c5•c2）=abc5+2=abc7．

三．单项式乘以单项式的运算法则及应用

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

例4（课本例题）计算：

（学生黑板演板）

（1）（－5a2b）（－3a）；

（2）（2x）3（－5xy2）．

练习1（课本）计算：

（1）3x25x3；

（2）4y（－2xy2）；

（3）（3x2y）3•（－4x）；（4）（－2a）3（－3a）2．

练习2（课本）下面计算的对不对？

如果不对，应当怎样改正？

（1）3a3•2a2=6a6；

（2）2x2•3x2=6x4；

（3）3x2•4x2=12x2；（4）5y3•y5=15y15．

四．巩固提高

（补充例题）：

1．（-2x2y）·（1/3xy2）

2.（-3/2ab）·（-2a）·（-2/3a2b2）

3.（2×105）2·（4×103）

4.（-4xy）·（-x2y2）·（1/2y3）

5.（-1/2ab2c）2·（-1/3ab3c2）3·（12a3b）

6.（-ab3）·（-a2b）3

7.（-2xn+1yn）·（-3xy）·（-1/2x2z）

8.-6m2n·（x-y）3·1/3mn2·（y-x）2

五．小结作业

方法归纳：

（1）积的系数等于各系数的积，应先确定符号。

（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法。

（3）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式丢掉。

（4）单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

（5）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

作业：

教学反思

14．1．4整式的乘法（单项式乘以多项式）

教学目标：

经历探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算。

教学重点：

单项式与多项式相乘的运算法则的探索．

教学难点：

灵活运用法则进行计算和化简．

教学过程：

一．复习旧知

1．单项式乘单项式的运算法则

2．练习：

9x2y3·（-2xy2）（-3ab）3·（1/3abz）

3．合并同类项的知识

二、问题引入，探究单项式与多项式相乘的法则

（课本内容）：

三家连锁店以相同的价格m（单位：

元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：

瓶）分别是a、b、c．你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？

学生独立思考，然后讨论交流．经过思考可以发现一种方法是先求出三家连锁店的总销量，再求总收入，为：

m（a＋b＋c）．

另一种计算方法是先分别求出三家连锁店的收入，再求它们的和，即：

ma＋mb＋mc．

由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此

m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc．

学生归纳：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

引导学生体会：

单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，

三．讲解例题

1.例题5（课本）计算：

（1）（－4x2）（3x+1）；

（2）

2.补充例题1：

化简求值:

（-3x）2－2x（x+3）+x·x+2x·（-4x+3）+2007

其中：

x=2008

练习：

课本页

3.补充练习：

计算

1．2ab（5ab2+3a2b）；2．（

ab2－2ab）·

ab；

3．－6x（x－3y）；4．－2a2（

ab+b2）．

5．（-2a2）·（1/2ab+b2）

6.（2/3x2y－6xy）·1/2xy2

7.（-3x2）·（4x2－4/9x+1）

83ab·（6a2b4－3ab+3/2ab3）

9.1/3xny·（3/4x2－1/2xy－2/3y－1/2x2y）

10.（-ab）2·（-3ab）2·（2/3a2b+a3·a2·a－1/3a）

四．小结归纳

布置作业：

教学反思

14．1．4整式的乘法（多项式乘以多项式）

教学目标：

经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算．

教学重点：

多项式与多项式相乘的运算法则的探索

教学难点：

灵活运用法则进行计算和化简．

教学过程：

一．复习旧知

讲评作业

二．创设情景，引入新课

（课本）如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a米、宽m米的长方形绿地，增长了b米，加宽了n米．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？

一种计算方法是先分别求出四个长方形的面积，再求它们的和，即（am+an+bm+bn）米2．

另一种计算方法是先计算大长方形的长和宽，然后利用长乘以宽得出大长方形的面积，即（a+b）（m＋n）米2．

由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此

（a+b）（m＋n）=am+an+bm+bn．

教师根据学生讨论情况适当提醒和启发，然后对讨论结果（a+b）（m＋n）=am+an+bm+bn进行分析，可以把m＋n看做一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得

（a+b）（m＋n）＝a（m＋n）＋b（m＋n），

再利用单项式与多项式相乘的法则，得

a（m＋n）＋b（m＋n）=am+an+bm+bn．

学生归纳：

多项式与多项式相乘，就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

三、应用提高、拓展创新

例6（课本）：

计算

（1）（3x+1）（x+2）;

（2）（x－8y）（x－y）;

（3）（x+y）（x2－xy+y2）

进行运算时应注意：

不漏不重，符号问题，合并同类项

练习：

（课本）148页12

补充例题：

1.（a+b）（a－b）－（a+2b）（a－b）

2.（3x4－3x2+1）（x4+x2－2）

3.（x－1）（x+1）（x2+1）

4.当a=-1/2时，求代数式（2a－b）（2a+b）+（2a－b）（b－4a）+2b（b－3a）的值

4．归纳总结，

5．布置作业

6．教学反思

14.2.1平方差公式

教学目标：

经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．

教学重点：

平方差公式的推导和应用．

教学难点：

灵活运用平方差公式解决实际问题．

过程：

一．创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容

活动1知识复习

多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

活动2计算下列各题，你能发现什么规律？

（1）（x+1）（x－1）；

（2）（a+2）（a－2）；

（3）（3－x）（3+x）；（4）（2m+n）（2m－n）．

再计算：

（a+b）（a－b）=a2－ab+ab－b2=a2－b2．

得出平方差公式

（a+b）（a－b）=a2－b2．即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差．

活动3请用剪刀从边长为a的正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？

图1图2

图1中剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为

（a2－b2）．

在图2中，长方形的长和宽分别为（a+b）、（a－b），所以面积为

（a+b）（a－b）．

这两部分面积应该是相等的，即（a+b）（a－b）=a2－b2．

二、知识应用，巩固提高

例1计算：

（1）（3x＋2）（3x－2）；

（2）（－x+2y）（－x－2y）

（3）（b+2a）（2a－b）；（4）（3+2a）（－3+2a）

练习：

加深对平方差公式的理解（课本153页练习1有同种题型）

下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（）

（1）（x+1）（1+x）；

（2）（

a+b）（b－

a）；

（3）（－a+b）（a－b）；（4）（x2－y）（x+y2）；

（5）（－a－b）（a－b）；（6）（c2－d2）（d2+c2）．

例题2：

计算

（1）102×98

（2）（y+2）（y-2）－（y－1）（y+5）

（3）（a+b+c）（a－b+c）（补充）

（4）20042－20032（补充）

（5）（a+3）（a－3）（a2+9）（补充）

说明：

（3）意在说明公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式

（4）意在说明公式的逆用

练习：

课本页2

4、归纳小结、布置作业

5、课本习题页习题

教学反思

14.2.2完全平方公式（第1课时）

教学目标：

完全平方公式的推导及其应用；完全平方公式的几何背景；体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式．

教学重点：

（1）完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释；

（2）完全平方公式的应用．

教学难点：

完全平方公式的推导及其几何解释和公式结构特点及其应用．

教学过程：

一、激发学生兴趣，引出本节内容

活动1探究，计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）（p＋1）2=（p＋1）（p＋1）＝_________；

（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；

（3）（p－1）2=（p－1）（p－1）＝_________；

（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．

答案：

（1）p2+2p+1；

（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．

活动2在上述活动中我们发现（a＋b）2＝

，是否对任意的a、b，上述式子都成立呢？

学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳，用多项式乘法法则可得

（a+b）2=（a+b）（a+b）=a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2

=a2+2ab+b2．

（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2

=a2－2ab+b2．

二、问题引申，总结归纳完全平方公式

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即

（a+b）2=a2+2ab+b2，

（a－b）2=a2－2ab+b2．

在交流中让学生归纳完全平方公式的特征：

（1）左边为两个数的和或差的平方；

（2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍．

活动4你能根据教材中的图14．2-2和图14．2-3中的面积说明完全平方公式吗?

三．例题讲解，巩固新知

例3：

（课本）运用完全平方公式计算

（1）（4m+n）2;

（2）（y－1/2）2

补充例题：

运用完全平方公式计算

（1）（－x+2y）2；

（2）（－x－y）2；（3）（x+y）2－（x－y）2．

说明：

（1）题可转化为（2y－x）2或（x－2y）2，再运用完全平方公式；

（2）题可以转化为（x+y）2，利用和的完全平方公式；

（3）题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算．

例4：

（课本）运用完全平方公式计算

（1）1022；

（2）992．

思考：

（a+b）2与（－a－b）2相等吗？

为什么?

（a－b）2与（b－a）2相等吗？

为什么?

（a－b）2与a2－b2相等吗？

为什么?

练习：

课本页

补充例题：

（1）如果x2+kxy+9y2是一个完全平方式，求k的值

（2）已知x+y=8，xy=12，求x2+y2；（x－y）2的值

（3）已知a+1/a=3,求a2+1/a2

四、归纳小结、布置作业

小结：

完全平方公式．

作业：

课本页习题

教学反思

14.2.2完全平方公式（第2课时）

教学目标：

熟练掌握完全平方公式及其应用，理解公式中添括号的方法

重点：

添括号法则及完全平方公式的灵活应用

难点：

添括号法则及完全平方公式的灵活应用

内容：

一复习旧知，引入添括号法则

去括号法则：

a+（b+c）=a+b+ca－（b+c）=a－b－c

添括号法则：

a+b+c=a+（b+c）a－b－c=a－（b+c）

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

练习：

（课本页练习1有同种类型题）

a+b－c=a+（b－c）=a－（-b+c）

a－b+c=a+（-b+c）=a－（b－c）

二讲解例题，巩固新知

例题5运用乘法公式计算：

（课本）

（1）（x+2y－3）（x-2y+3）

（2）（a+b+c）2．

练习：

课本156页练习2

三补充例题，开阔眼界

1利用乘法公式化简求值题

（2x+y）2－（x+y）（x–y），其中x=1,y=-2

2乘法公式在解方程和不等式中的应用

①已知（a+b）2=7,（a－b）2=4求a2+b2和ab的值

②解不等式：

（2x－5）（-5－2x）+（x+5）2﹥3x（-x+2）

3与三角形知识相结合的应用

已知三角形ABC的三边长a、b、c，满足a2+b2+c2-ab–bc-ac=0，试判断三角形的形状。

四总结归纳，布置作业

添括号法则

作业：

课本页（根据学生情况酌定）

教学反思

14.3.1同底数幂的除法

教学目标：

1、经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。

2、了解同底数幂的除法的运算性质，并能解一些实际问题。

教学重点：

公式的实际应用。

教学难点：

a0＝1中a≠0的规定。

教学过程：

一、探索同底数幂的除法法则

1、根据除法的意义填空，并探索其规律

（1）55÷53＝5（）

（2）107÷105＝10（）

（3）a6÷a3＝a（）

推导公式：

am÷an＝am－n（a≠0，m、n为正整数，且m＞n）

归纳：

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

2、比较公式

am·an＝am+n（am）n＝amn

（ab）m＝ambmam÷an＝am-n

比较其异同，强调其适用条件

二、实际应用

例1：

计算

（1）x8÷x2

（2）a4÷a（3）（ab）5÷（ab）2

例2：

一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M＝210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？

解：

26M＝26×210K＝216K

216÷28＝28（张）＝256（张）

三、探究a0的意义

根据除法的意义填空，你能得什么结论？

（1）32÷32＝

（2）103÷103＝

（3）am÷am＝（a≠0）

由除法意义得：

am÷an＝1（a≠0）

如果依照am÷am＝am-m＝a0

于是规定：

a0＝1（a≠0）

即任何不等于0的数的0次幂都等于1

四、练习：

五、作业：

教学反思

14.3.2整式的除法

（1）

教学目标：

经历探索单项式除以单项式法则的过程，会进行单项式除以单项式的运算。

教学重点：

运用法则计算单项式除法

教学难点：

法则的探索

教学过程：

一、提出问题，引入新课］

问题：

木星的质量约是1.90×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道