六年级奥数数论平方数奇偶性位值原理.docx

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六年级奥数数论平方数奇偶性位值原理

一、完全平方数常用性质

1.特征

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。

不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p整除完全平方数

，则p能被

整除。

2.性质

性质1：

完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．

性质2：

完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．

性质3：

自然数N为完全平方数

自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且

，则

．

性质4：

完全平方数的个位是6

它的十位是奇数．

性质5：

如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．

性质6：

如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．

3.一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：

00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

4.重点公式回顾：

平方差公式：

二、奇数和偶数

1.定义

整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

通常偶数可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

2.奇数与偶数的运算性质

性质1：

偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数

性质2：

偶数±奇数=奇数

性质3：

偶数个奇数的和或差是偶数

性质4：

奇数个奇数的和或差是奇数

性质5：

偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数

3.两个实用的推论

推论1：

在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。

推论2：

对于任意2个整数a,b,有a+b与a-b同奇或同偶

三、位值原理

当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。

既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。

例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。

最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。

但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。

希望同学们在做题中认真体会。

a）位值原理的定义：

同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

b）位值原理的表达形式：

以六位数为例：

a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

c）解位值一共有三大法宝：

（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式

（2）利用十进制的展开形式，列等式解答

（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答

本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算，拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。

无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。

【例1】已知：

1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?

【巩固】

是的平方．

【例2】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．

【巩固】已知

恰是自然数b的平方数，a的最小值是。

【例3】已知自然数

满足：

除以

得到一个完全平方数，则

的最小值是。

【巩固】考虑下列32个数：

，

，

，……，

，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是.

【例4】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．

【巩固】用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是．

【例5】计算

－

=A×A，求A．

【巩固】①

，求A为多少?

②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？

【例6】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．

【巩固】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？

【例7】一个自然数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，那么这个数是多少？

【巩固】一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶数的和是多少？

【例8】能否在下式的“□”内填入加号或减号，使等式成立，若能请填入符号，不能请说明理由。

（1）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10

（2）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝27

【巩固】是否存在自然数a、b、c，使得（a-b）（b-c）（a-c）=45327？

【例9】有一批文章共15篇，各篇文章的页数是1页、2页、3页、

、14页和15页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有多少篇？

【巩固】一本故事书共有30个故事，每个故事分别占1、2、3、…、30页（未必按这个顺序）。

第一个故事从第1页开始，每个故事都从新的一页开始，最多有_____个故事是从奇数页开始的。

【例10】能否将

这16个自然数填入

的方格表中（每个小方格只填一个数），使得各行之和及各列之和恰好是8个连续的自然数？

如果能填，请给出一种填法；如果不能填，请说明理由．

【巩固】有8个棱长是1的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字1，第二组相对的面上都写着数字2，第三组相对的面上都写着数字3（如图）．现在把这8个小正方体拼成一个棱长是2的大正方体.。

问：

是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好组成6个连续的自然数?

【例11】甲、乙、丙三人进行万米赛跑，甲是最后一个起跑的，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置共交换了9次，则比赛的结果甲是第名．

【巩固】甲、乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上．他们将卡片背面朝上，任意混合之后，甲取走三张，乙取走两张．剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到麻袋里去了．甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：

“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数．”试问：

甲手中的三张卡片上都写了哪些数？

答案是否唯一．

【例12】在黑板上写（2，2，2）三个数，把其中的一个2抹掉后，改写成其余两数的和减1，得（2，2，3），再把两个2中的一个2抹掉后，写成其余两数的和减1，得（2，4，3），再把2抹掉后写其余两数的和减1，得（6，4，3），继续这一过程，是否能得到（859，263，597）？

【巩固】有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋．康康每次从大盒内随意摸出两枚棋子：

若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内．问：

从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？

它们都是什么颜色？

【例13】把一个数的数字顺序颠倒过来得到的数称为这个数的逆序数，比如89的逆序数为98．如果一个两位数等于其逆序数与1的平均数，这个两位数是________．

【巩固】几百年前，哥伦布发现美洲新大陆，那年的年份的四个数字各不相同，它们的和等于16，如果十位数字加1，则十位数字恰等于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元___________年。

【例14】一个十位数字是0的三位数，等于它的各位数字之和的67倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的倍。

【巩固】有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数的最小值．

【例15】把7位数

变成7位数

，已知新7位数比原7位数大3591333，聪明的宝贝来求求：

（1）原7位数是几，

（2）如果把汉语拼音字母顺序编为1～26号，且以所求得原7位数的前四个数字组成的两个两位数

和

所对应的拼音字母拼成一个汉字，再以后三个数字D，E，F分别对应的拼音字母拼成另一个汉字，请写出由这两个汉字组成的词。

【巩固】设六位数

满足

，请写出这样的六位数．

【随练1】A是由2002个“4”组成的多位数，即

，A是不是某个自然数B的平方？

如果是，写出B；如果不是，请说明理由．

【随练2】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

【随练3】沿着河岸长着8丛植物，相邻两丛植物上所结的浆果数目相差1个．问：

8丛植物上能否一共结有225个浆果?

说明理由．

【随练4】在“

”的方格中放棋子，每格至多放1枚棋子．若要求

行、

列、

条斜线（如图所示）上的棋子数均为偶数．那么“

”的方格中最多可以放多少枚棋子？

【随练5】有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？

【作业1】下面是一个算式：

，这个算式的得数能否是某个数的平方？

【作业2】有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．

【作业3】各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有________个．

【作业4】证明：

形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

【作业5】一个偶数的数字和是40,这个偶数最小是。

【作业6】黑板上写着两个数1和2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数a和b，则增写a×b＋a＋b这个数，比如可增写5（因为1×2＋1＋2＝5）增写11（因为1×5＋1＋5＝11），一直写下去，问能否得到2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？

【作业7】四年级一班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道，评分标准是：

答对一道给3分，不答给1分，答错倒扣1分．请你说明：

该班同学的得分总和一定是偶数．

【作业8】

，

各表示一个两位数，若

+

=139，则x+y+z+w=。

【作业9】把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？

【作业10】如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加

，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。