六年级寒假奥数第四次课.docx
《六年级寒假奥数第四次课.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《六年级寒假奥数第四次课.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
六年级寒假奥数第四次课
授课老师：
授课日期：
六年级寒假·第四讲
平面图形的认识和计算
【知识要点】
1．了解平面图形的特点。
2．掌握基本的几种平面图形的面积和周长的计算方法（如：
长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆）。
3．要牢记每种平面图形的面积计算公式，特别是计算三角形和梯形面积时，不要忘记乘
（或除以2）。
4．对于一些较复杂的图形，要有意识地将其进行简单的变化，可以化繁为简，化难为易，获得最佳解法。
【复习巩固】
1、一个长方形，长20厘米，如果长减少5厘米，要使面积不变，宽应增加（ ）%。
2、从（ ）到（ ）任意一点的线段叫半径。
3、通过（ ）并且（ ）都在（ ）的线段叫做直径。
4、在同一个圆里，所有的半径（ ），所有的（ ）也都相等，直径等于半径的（ ）。
5、用圆规画一个直径20厘米的圆，圆规两脚步间的距离是（ ）厘米。
6、把一个圆形纸片等分成若干等份，然后把它剪开，拼成一个近似的长方形。
这个长方形的长相当于圆的（ ），宽相当于圆的（ ）。
因为长方形的面积是（ ），所以圆的面积是（ ）。
7、正方形有（ ）条对称轴，长方形有（ ）条对称轴，等腰三角形有（ ）条对称轴，等边三角形有（ ）条对称轴。
8、一个圆的周长是同圆直径的（ ）倍。
9、一个圆的半径是8厘米，这个圆面积的
是（ ）平方厘米？
10．在一个正方形中剪下一个最大的圆，剩余部分的面积占正方形面积的（ ）%，如果正方形的边长是8厘米，剪下部分的面积是（）平方厘米。
【精选例题】
1．在图
（一）中，梯形的面积是60平方厘米。
请算出阴影部分的面积。
2.已知两正方形的面积分别为16cm2和36cm2。
求阴影部分的面积。
3．如图（三），圆面积与长方形面积正好相等。
已知圆的半径为10厘米，求图中阴影部分的周长是多少厘米？
4．求图（四）中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
5．在图（五）中，是以一个三角形的三个顶点为圆心，2厘米为直径所作的三个圆，那么这三个阴影部分面积的总和是多少？
6．如图（六）中，梯形ABED与三角形DEC的面积比为6：
7，BE和EC的长分别是多少厘米？
【巩固练习】
一、判断题
1．大于900的角叫做钝角。
（）
2．两个内角的和小于第三个角的三角形一定是钝角三角形。
（）
3．一个三角形中，至少有两个锐角。
（）
4．所有四边形内角和都是3600。
（）
5．两个面积相等的三角形，一定能拼成平行四边形。
（）
二、填空题
1．一个直角三角形三条边的长度分别是3cm、4cm、5cm。
则这个三角形的面积是（），最长边上的高是（）。
2．一个三角形与一个直径10cm的圆面积相等，已知三角形底长15.7cm，高是（）cm。
3．圆的周长大约是直径的（）倍，一个圆的直径扩大2倍，它的周长扩大（）倍。
4．如图（七）中，甲和乙的周长相比，甲（）乙。
（填<、>或=）
5．在下图中，三角形AOD面积（）三角形BOE的面积。
（四边形ABCD是长方形）（填<、>或=）
6．一个正方形的边长增加10%，它的面积增加（）%。
三、解答题
1．如图（八），一个扇形，半径为6厘米，圆心角为45度。
求阴影部分的面积。
2.如图（九）中的大小正方形的边长均为整数，它们的面积之和等于74，则阴影三角形的面积是多少？
3．计算图（十）中阴影部分的面积（单位：
厘米）。
（用两种方法解）
33、平面图形的计算
【周长的计算】
例1有9个同样大小的小长方形，拼成一个大长方形（如图5.54）的面积是45厘米2，求这个大长方形的周长。
（第四届《小学生数学报》邀请赛决赛试题）
讲析：
设每个小长方形的长是a厘米，宽是b厘米。
于是有
a×b=45÷9＝5；
又有：
4a=5b。
可求得b=2，a=2.5。
所以大长方形的周长为6a＋7b=29（厘米）。
例2图5.55中图
（1）和图
（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，斜线区域是空下来的地方，已知大长方形的长比宽多6厘米，问：
图
（1），图
（2）中画斜线的区域的周长哪个大？
大多少？
（全国第四届“华杯赛”决赛试题）
讲析：
图5.55
（1）中画斜线区域的周长恰好等于大长方形的周长，图5.55
（2）中画斜线区域的周长明显比大长方形周长小。
二者相差2·AB。
从图5.55
（2）的竖直方向看，AB＝a－CD
图5.55
（2）中大长方形的长是a＋2b，宽是2b＋CD，
所以，（a+2b）-（2b＋CD）=a-CD=6（厘米）
故：
图5.55
（1）中画斜线区域的周长比图5.55
（2）中画斜线区域的周长大，大12厘米。
【面积的计算】
例1如图5.56，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是______。
（北京市第十届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：
连结AE（如图5.57），则三角形AEC的面积是16÷2-4=4。
因为△ACF与△AEC等高，且面积相等。
所以，CF=CE。
同理，△ABE的面积是16÷2-3=5，则BD∶BE=3∶5。
即BE=
从而，△ABC的面积是16-（3＋4+2.5）=6.5。
例2如图5．58，在等边三角形ABC中，AF=3FB，FH垂直于BC，已知阴影部分的面积为1平方厘米，这个等边三角形的面积是多少平方厘米？
（1992年武汉市小学数学竞赛试题）
讲析：
如图5.59，连接△ABC各边中点，则△ABC被分成了大小相等的四个小三角形。
在△DBG中，再连接各边中点，得出将△DBG又分成了四个很小的三角形。
经观察，容易得出△ABC的面积为（1×2）×4×4=32（平方厘米）。
例3三条边长分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形如图5.60
（1），将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合如图5.60
（2）。
那么，图5.60
（2）中阴影部分（即未被盖住部分）的面积是______平方厘米。
（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题）
讲析：
如图5.60
（2），设EC等于a厘米，那么DE也为a厘米。
△ABC的面积等于△ABE的面积加上△AEC的面积。
例4如图5.61，ABCD是一个梯形，已知三角形ABD的面积是12平方厘米，三角形AOD的面积比三角形BOC的面积少12平方厘米，那么梯形ABCD的面积是______平方厘米。
（广州市小学数学竞赛试题）
讲析：
可设△AOD的面积为S1。
则，△BOC的面积为S1＋12。
于是有：
S△ABO=S△ABD-S△AOD＝12-S1，
S△ABC=S△ABO+S△BOC=（12-S1）＋（S1＋12）
=24（平方厘米）。
所以，梯形ABCD的面积是24+12=36（平方厘米）。
例5梯形ABCD被两条对角线分成了四个三角形S1、S2、S3、S4。
已知S1=2厘米2，S2=6厘米2。
求梯形ABCD的面积。
（小学数学奥林匹克通讯赛决赛试题）
讲析：
三角形S1和S2都是等高三角形，它们的面积比为2∶6=1∶3；
则：
DO∶OB=1∶3。
△ADB和△ADC是同底等高三角形，
所以，S1=S3=2厘米2。
三角形S4和S3也是等高三角形，其底边之比为1∶3，所以S4∶S3=1∶
所以，梯形ABCD的面积为
例6正方形边长为20厘米（如图5.63），已知DD′=EE′，CE=6厘米。
则阴影部分三角形的面积最大值是______平方厘米。
（海口市小学数学竞赛试题）
讲析：
E′点在BE段滑动，D′点在DC段滑动。
设DD′长a厘米。
D′C=20-a，E′C=a＋6。
又因为D′C＋E′C=（20-a）＋（a＋6）=26。
运用等周长的长方形面积最大原理，两个数的和一定（等于26），要把这个和分成两个数，使这两个数的积最大，则当20-a=a＋6=13时，即a=7
=84.5（平方厘米）。
例7图5.64是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米。
问：
阴影部分的面积是多少平方厘米？
（全国第四届“华杯赛”决赛试题）
讲析：
如图5.65，连接AC，所分成的四个小三角形分别用S1、S2、S3、S4表示。
容易看出S2和S3是关于OC为对称轴的对称图形。
所以S2=S3。
从而不难得出S1、S2、S3、S4四个小三角形面积相等，即每个小三角
例8一个正方形（如图5.66），被分成四个长方形，它们的面积在图中标出（单位：
平方米）。
图中阴影部分是一个正方形。
那么，它的面积是______。
（1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：
可将四个长方形分别用A、B、C、D表示（如图5.67），阴影部分是B中的一部分。
大正方形的面积为1平方米，所以它的边长为1米。
因为长方形C和D的宽相等，所以它们长的比等于面积比。
于是得C的
米。
例9把大的正三角形每边8等分，组成图5.68所示的三角形网。
如果每个小三角形面积是1，那么图中粗线围成的三角形面积是______。
（1988年北京市奥林匹克邀请赛试题）
讲析：
一般地，关于格点多边形的面积，有下面的公式：
这里，格子面积等于小正方形或平行四边形面积，也就是小三角形面积的2倍。
题中，格子面积为1×2=2，内部格点数为12，边上格点数为4。
所以，粗线围成的面积是
升级会员 