实变函数期末练习题课案.docx
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实变函数期末练习题课案
实变函数期末练习题（1-4）
姓名班级
练习1
一、单项选择题
1、下列各式正确的是（）
（A）
;（B）
;
（C）
;（D）
;
2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（）
（A）
c（B）
（C）
（D）
3、下列说法不正确的是（）
（A）凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测
（C）开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测
4、设
是
上的
有限的可测函数列,则下面不成立的是（）
（A）若
则
（B）
是可测函数
（C）
是可测函数;（D）若
则
可测
5、设f（x）是
上有界变差函数，则下面不成立的是（）
（A）
在
上有界（B）
在
上几乎处处存在导数
（C）
在
上L可积（D）
二.填空题
1、
_________
2、设
是
上有理点全体，则
=______,
=______,
=______.
3、设
是
中点集，如果对任一点集
都_________________________________，则称
是
可测的
4、
可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）
5、设
为
上的有限函数，如果对于
的一切分划，使_____________________________________,则称
为
上的有界变差函数。
三、下列命题是否成立?
若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.
1、设
，若E是稠密集，则
是无处稠密集。
2、若
，则
一定是可数集.
3、若
是可测函数，则
必是可测函数
4．设
在可测集
上可积分，若
，则
四、解答题
1、设
，则
在
上是否
可积，是否
可积，若可积，求出积分值。
考生答题不得超过此线
2、求
五、证明题.
1、证明
上的全体无理数作成的集其势为
.
2、设
是
上的实值连续函数，则对于任意常数
是闭集。
考生答题不得超过此线
3、在
上的任一有界变差函数
都可以表示为两个增函数之差。
4、设
在
上可积，
，则
.
5、设
是
上
有限的函数，若对任意
，存在闭子集
，使
在
上连续，且
，证明：
是
上的可测函数。
（鲁津定理的逆定理）
练习2
一.单项选择题
1．设
是两集合，则
=（）
（A）
（B）
（C）
（D）
2.下列说法不正确的是（）
（A）
的任一领域内都有
中无穷多个点，则
是
的聚点
（B）
的任一领域内至少有一个
中异于
的点，则
是
的聚点
（C）存在
中点列
，使
，则
是
的聚点
（D）内点必是聚点
3.下列断言（）是正确的。
（A）任意个开集的交是开集；（B）任意个闭集的交是闭集；
（C）任意个闭集的并是闭集；（D）以上都不对；
4.下列断言中（）是错误的。
（A）零测集是可测集；（B）可数个零测集的并是零测集；
（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；
5.若
，则下列断言（）是正确的
（A）
在
可积
在
可积；
（B）
（C）
;
（D）
二.填空题
1、设
，则
_________。
2、设
为Cantor集，则
，
_____，
=________。
3、设
是一列可测集，则
4、鲁津定理：
__________________________________________
5、设
为
上的有限函数，如果_________________则称
为
上的绝对连续函数。
三.下列命题是否成立?
若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.1、由于
，故不存在使
之间
对应的映射。
2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。
3、
收敛的函数列必依测度收敛。
4、连续函数一定是有界变差函数。
四.解答题
1、设
，则
在
上是否
可积，是否
可积，若可积，求出积分值。
2、求极限
.
五.证明题
1.1、设f（x）是
上的实值连续函数，则对任意常数c，
是一开集.
2.设
使
，则E是可测集。
3.在
上的任一有界变差函数
都可以表示为两个增函数之差。
4.设函数列
在有界集
上“基本上”一致收敛于
，证明：
收敛于
。
5.设
在
上可积，则对任何
，必存在
上的连续函数
，使
.
练习3
一、单项选择题
1、设
，则（）
（A）
（B）
（C）
（D）
2、设
是
上有理点全体，则下列各式不成立的（）
（A）
（B）
（C）
=[0，1]（D）
3、下列说法不正确的是（）
（A）若
，则
（B）有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集
（C）可测集的任何子集都可测
（D）凡开集、闭集皆可测
4、设
是一列可测集，
，且
，则有（）
（A）
（B）
（C）
;（D）以上都不对
5、设f（x）是
上绝对连续函数，则下面不成立的（）
（A）
在
上的一致连续函数（B）
在
上处处可导
（C）
在
上L可积（D）
是有界变差函数
二.填空题
1、设集合
，则
_________
2、设
为Cantor集，则
，
_____，
=_______。
3、设
是
中点集，如果对任一点集
都有_________，则称
是
可测的
4、叶果洛夫定理：
5、设
在
上可测，则
在
上可积的充要条件是|
|在
上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”）
三、下列命题是否成立?
若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.
1、任意多个开集之交集仍为开集。
2、若
，则
一定是可数集.
3、
收敛的函数列必依测度收敛。
4、连续函数一定是有界变差函数。
四、解答题
1、设
，则
在
上是否
可积，是否
可积，若可积，求出积分值。
2、求极限
五、证明题.
1、试证
2、设f（x）是
上的实值连续函数，则对任意常数c，
是一开集.
考生答题不得超过此线
3、设
是可测集
的非负可积函数，
是
的可测函数，且
，则
也是
上的可积函数。
4、设
在
上积分确定，且
于
，则
在
上
也积分确定，且
5、设在
上
而
成立,
则有
练习4
一.单项选择题
1．设P为Cantor集，则
（A）
0（B）
（C）
（D）
2.下列说法不正确的是（）
（A）
的任一领域内都有
中无穷多个点，则
是
的聚点
（B）
的任一领域内至少有一个
中异于
的点，则
是
的聚点
（C）存在
中点列
，使
，则
是
的聚点
（D）内点必是聚点
3.设
在
上
可积,则下面不成立的是（）
（A）
在
上可测（B）
在
上a.e.有限
（C）
在
上有界（D）
在
上
可积
4.设
是一列可测集，
，则有（）
（A）
（B）
（C）
;（D）以上都不对
5.设
为
上的有界变差函数,则下面不成立的（）
（A）
在
上
可积（B）
在
上
可积
（C）
在
上
可积（D）
在
上绝对连续
二.填空题（3分×5=15分）
1、设
，则
________。
2、设
若
则
是闭集；若
，则
是__集；若
，则
是______集.
3、设
是一列可测集，则
4、叙述鲁津定理：
5、设
为
上的有限函数，如果对于
的一切划分，使成一有界数集，则称
为
上的有界变差函数。
三.下列命题是否成立?
若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.
1、A为可数集，B为至多可数集，则A
B是可数集.
2、若
，则
.
3、若
是可测函数，则
必是可测函数
4．设
在可测集
上可积分，若
，则
四.解答题
1、设
，则
在
上是否
可积，是否
可积，若可积，求出积分值。
2、求
五.证明题
1、设
是
上的实值连续函数，则对于任意常数
是闭集。
2.（6分）设
使
，则E是可测集。
3.设
为E上可积函数列，
.于E，且
，k为常数，则
在E上可积.
4.设函数列
在有界集
上“基本上”一致收敛于
，证明：
收敛于
.
5.试用Fatou引理证明Levi定理.
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