1、实变函数期末练习题课案实变函数期末练习题(1-4)姓名 班级 练习1一、单项选择题1、下列各式正确的是( )(A); (B);(C); (D);2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是( )(A)c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是( )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( )(A)若, 则 (B)是可测函数(C)是可测函数; (D)若,则可测5、设f(x)是上有界变差函数,则下面不成立的是( )(A)在上有界 (B)在上几乎处处存在导数(C)在上L可
2、积 (D) 二. 填空题1、_2、设是上有理点全体,则=_,=_,=_.3、设是中点集,如果对任一点集都_,则称是可测的4、可测的_条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设为上的有限函数,如果对于的一切分划,使_,则称为上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.1、设,若E是稠密集,则是无处稠密集。2、若,则一定是可数集.3、若是可测函数,则必是可测函数4设在可测集上可积分,若,则四、解答题1、设,则在上是否可积,是否可积,若可积,求出积分值。考 生 答 题 不 得 超 过 此 线2、求五、证明题.1、证明上的全体
3、无理数作成的集其势为.2、设是上的实值连续函数,则对于任意常数是闭集。考 生 答 题 不 得 超 过 此 线3、在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。4、设在上可积,则.5、设是上有限的函数,若对任意,存在闭子集,使在上连续,且,证明:是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)练习2一.单项选择题1设是两集合,则 =( )(A) (B) (C) (D) 2. 下列说法不正确的是( )(A)的任一领域内都有中无穷多个点,则是的聚点(B)的任一领域内至少有一个中异于的点,则是的聚点(C) 存在中点列,使,则是的聚点(D) 内点必是聚点3. 下列断言( )是正确的。(A)任意个开集的交是开集;
4、(B) 任意个闭集的交是闭集;(C) 任意个闭集的并是闭集;(D) 以上都不对;4. 下列断言中( )是错误的。(A)零测集是可测集; (B)可数个零测集的并是零测集;(C)任意个零测集的并是零测集;(D)零测集的任意子集是可测集;5. 若,则下列断言( )是正确的(A)在可积在可积;(B) (C);(D) 二. 填空题1、设,则_。2、设为Cantor集,则 , _, =_。3、设是一列可测集,则4、鲁津定理:_5、设为上的有限函数,如果_则称为上的绝对连续函数。三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例. 1、由于,故不存在使之间对应的映射。2、可数个零测度集之
5、和集仍为零测度集。3、收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数。四.解答题1、设,则在上是否可积,是否可积,若可积,求出积分值。2、求极限.五.证明题1. 1、设f(x)是上的实值连续函数,则对任意常数 c, 是一开集.2. 设使,则E是可测集。3.在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。4.设函数列在有界集上“基本上”一致收敛于,证明:收敛于。5.设在上可积,则对任何,必存在上的连续函数,使.练习3一、单项选择题1、设,则( )(A) (B)(C) (D)2、设是上有理点全体,则下列各式不成立的( )(A) (B) (C) =0,1 (D) 3、下列说法不正确的是(
6、)(A) 若,则 (B) 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 (D)凡开集、闭集皆可测4、设是一列可测集,且,则有( )(A) (B) (C);(D)以上都不对5、设f(x)是上绝对连续函数,则下面不成立的( )(A)在上的一致连续函数 (B)在上处处可导(C)在上L可积 (D)是有界变差函数二. 填空题1、设集合,则_2、设为Cantor集,则 , _, =_。3、设是中点集,如果对任一点集都有_,则称是可测的4、叶果洛夫定理: 5、设在上可测,则在上可积的 充要 条件是|在上可积.(填“充分”,“必要”,“充要”)三、下列命题是否成立?若成立,则证明之
7、;若不成立,则举反例说明.1、任意多个开集之交集仍为开集。2、若,则一定是可数集. 3、收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数。四、解答题1、设,则在上是否可积,是否可积,若可积,求出积分值。2、求极限 五、证明题.1、试证2、设f(x)是上的实值连续函数,则对任意常数 c, 是一开集.考 生 答 题 不 得 超 过 此 线3、设是可测集的非负可积函数,是的可测函数,且,则也是上的可积函数。4、设在上积分确定,且于,则在上也积分确定,且5、设在上,而成立, ,则有练习4一.单项选择题1设P为Cantor集,则 (A)0 (B) (C) (D) 2. 下列说法不正确的是( )(
8、A)的任一领域内都有中无穷多个点,则是的聚点(B)的任一领域内至少有一个中异于的点,则是的聚点(C) 存在中点列,使,则是的聚点(D) 内点必是聚点3.设在上可积,则下面不成立的是( )(A)在上可测 (B)在上a.e.有限(C)在上有界 (D)在上可积4. 设是一列可测集,则有( )(A) (B) (C);(D)以上都不对5.设为上的有界变差函数,则下面不成立的( )(A)在上可积 (B)在上可积(C)在上可积 (D)在上绝对连续二. 填空题(3分5=15分)1、设,则_。2、设,若则是 闭 集;若,则是 _集;若,则是_集.3、设是一列可测集,则4、叙述鲁津定理: 5、设为上的有限函数,如果对于的一切划分,使 成一有界数集,则称为上的有界变差函数。三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.1、A为可数集,B为至多可数集,则AB是可数集.2、若,则.3、若是可测函数,则必是可测函数4设在可测集上可积分,若,则四.解答题1、设 ,则在上是否可积,是否可积,若可积,求出积分值。2、求五.证明题1、设是上的实值连续函数,则对于任意常数是闭集。2.(6分) 设使,则E是可测集。3. 设为E上可积函数列,.于E,且,k为常数,则在E上可积.4.设函数列在有界集上“基本上”一致收敛于,证明:收敛于.5.试用Fatou引理证明Levi定理.
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