与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析.docx
《与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析
与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析
本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线，供同学们借鉴：
第一类：
连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1,在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AECF,
请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中
已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
⑴连结BF
⑵BFDE
⑶证明：
连结DB,DF，设DB,AC交于点0
•••AOOC,DO0B
•••四边形ABCD为平行四边形
•四边形EBFD为平行四边形•BFDE
第二类：
平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,如果AC12,BD10,ABm，那么m的取值范围是（）
A1m11B2m22C10m12D5m6
解：
将线段DB沿DC方向平移，使得DBCE,DCBE,则有四边形CDBE为平
行四边形「••在ACE中，AC12,CEBD10,AE2AB2m
故选A
•12102m1210，即22m22解得1m11
第三类：
过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知：
如左下图3，四边形ABCD为平行四边形
求证：
AC2BD2AB2BC2CD2DA2
证明：
过A,D分别作AEBC于点E，DFBC的延长线于点F
22222222
•••ACAECEABBE（BCBE）ABBC2BEBC
•BECF
ABEDCF
222222
•ACBDABBCCDDA
第四类：
延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例4:
已知：
如右上图4，在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与
CF交于P点，求证：
APAB
证明：
延长CF交BA的延长线于点K
•••四边形ABCD为正方形
•AB//CD且ABCD,CDAD,BADBCDD90°
•1K又•••DDAK90°,DFAF•CDF也KAF
AK
CD
AB
11
•••CE-CD,DF-AD
22
•CE
DF
BCD
D900
•••BCE也CDF
•1
2
1
3
90°
2390°•CPB
90°，则
KPB900
二APAB
第五类：
延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
例5如左下图5，在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础
上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。
解：
延长AE与BC的延长线相交于F，则有
AEDsFEC,FABsFEC,AEDsFAB
第六类：
把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
一1
例6已知：
如右上图6，在平行四边形ABCD中，ANBN,BEBC,NE
3
交BD于F，求BF:
BD
四边形ABCD为平行四边形
•OAOC,OBOD
AN
BN
•ON//-
BC且ON丄BC
•BE
2
2
ON
BE
^BC
•BE:
ON
2:
3
•BF2
3
FO3
BF
2
•BF
:
BD
1:
5
BO
5
解：
连结AC交BD于点O,连结ON
BD
2
BF
FO
综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：
连对角线，平移对角线，延长一边中点与
顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形,
为证明解决问题创造条件。
四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为△和□
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
梯形的辅助线
口诀:
梯形冋题巧转换，变为△和□=平移腰，移对角，两腰延长作出咼。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
常见的几种辅助线的作法如下：
作法
图形
平移腰，转化为三角形、平行四边形。
AET>z/z7\\BQfHC
平移对角线。
转化为三角形、平
行四边形。
BC
bUEK
BC-EHDf
延长两腰，转
化为三角形。
E
BC
作咼，转化为
直角三角形和矩形。
A」bzZL
中位线与腰中
点连线。
BC
Ad
B二
CF
（一）、平移
1、平移一腰:
例1.如图所示，在直角梯形ABCD中，ZA=90
//DC,AD=15,AB=16,BC=17.求CD的长.解：
过点D作DE//BC交AB于点E.
又AB//CD，所以四边形BCDE是平行四边形•所以DE=BC=17,CD=BE.
在RtQAE中，由勾股定理，得
AE2=DE2—AD2,即卩AE2=172—152=64.
所以AE=8.
所以BE=AB—AE=16—8=8.
即CD=8.
例2如图，梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰B
C的取值范围
解：
过点B作BM//AD交CD于点M，
在经CM中，BM=AD=4，
CM=CD—DM=CD—AB=8—3=5，
所以BC的取值范围是：
5—42、平移两腰：
例3女口图，在梯形ABCD中，AD//BC，ZB+ZC=90°,AD=1，BC=3，E、
F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。
Bqfnc
解：
过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得
ZEGH+/EHG=ZB+ZC=90°
则生GH是直角三角形
因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点
所以EF^GH^（BCBGCH）
11
—（BCAEDE）—[BC（AEDE）]
22
11
（BCAD）（31）1
22
3、平移对角线:
例4、已知：
梯形ABCD中，AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积.
解：
如图，作DE//AC，交BC的延长线于E点.
o（ADBC）DH
S梯形ABCD
2
例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=5、2，
求证：
AC丄BD。
解：
过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，
易得四边形BCED是平行四边形，
贝UDE=BC，CE=BD=52，
所以AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10。
在等腰梯形ABCD中，AC=BD=52,
所以在MCE中,AC2CE2（5、2）2（5、2）2100AE2,
从而AC丄CE,于是AC丄BD。
例6如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AC=15cm,BD=20cm，高DH=
12cm，求梯形ABCD的面积
解：
过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E,
。
则四边形ACED是平行四边形,
所以S梯形ABCD
SDBE
由勾股定理得
EH..DE2DH2,AC2DH2
152122
9（cm）
即S
ABD
SACD
SDCE
BHBD2
DH2
、202
12216（cm）
SDBE
^BEDH1
（916）12150（cm2）
所以
是150cm2。
2
2
，即梯形ABCD的面积
（二）、延长
即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形
例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC,ZB=50°,Q=80°,AD=2,BC=5，求CD的长
解：
延长BA、CD交于点E。
在经CE中，/B=50°,Q=80°。
所以ZE=50。
，从而BC=EC=5
同理可得AD=ED=2
所以CD=EC—ED=5—2=3
例8.如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC.
判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.D....C
解：
四边形ABCD是等腰梯形.
证明：
延长AD、BC相交于点E,如图所示.
VAC=BD，AD=BC，AB=BA，
/•/DAB^/CBA.
•••/DAB=/CBA.
又AD=BC,：
DE=CE，/EDC=ZECD.
E
•zEDC=/EAB，aDC//AB.
又AD不平行于BC，
•四边形ABCD是等腰梯形.
（三）、作对角线
即通过作对角线，使梯形转化为三角形。
例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB丄AD,BC=CD,BE丄C
D于点E,求证：
AD=DE。
解：
连结BD,
由AD//BC，得ZADB=ZDBE;
由BC=CD，得ZDBC=ZBDC。
所以ZADB=ZBDE。
又ZBAD=ZDEB=90°,BD=BD,
所以Rt经AD级t经ED,
得AD=DE。
（四）、作梯形的高
1、作一条高
例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,ZABC=90°,AB=2DC，对
角线AC丄BD，垂足为F,过点F作EF//AB，交AD于点E,求证：
四边形AB
FE是等腰梯形。
例11、在等腰梯形ABCD中,AD//BC，AB=CD，ZABC=60°,AD=3c
m，BC=5cm，
求：
⑴腰AB的长；⑵梯形ABCD的面积.
解:
作AE丄BC于E，DF丄BC于F,又vAD//BC,
•••四边形AEFD是矩形，EF=AD=3cm
VAB=DC
1
BEFC-（BCEF）1cm
2
v在Rt△KBE中,/B=60°,BE=1cm
••AB=2BE=2cm,AE3BE3cm
例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：
BD>AC。
证：
作AE丄BC于E,作DF丄BC于F,贝U易知AE=DF
D
在Rt△KBE和Rt△DCF中，
因为AB>CD,AE=DF。
所以由勾股定理得BE>CF。
即BF>CE在Rt^BDF和RtMAE中
由勾股定理得BD>AC
（5）、作中位线
1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线
例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，/AOD=90
求证：
AB+CD=AD。
证：
取AD的中点E,连接OE,则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而
1-
OE=—（AB+CD）®
2
在△KOD中，/AOD=90°,AE=DE
1
所以OEAD②
2
由①、②得AB+CD=AD
2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延
长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。
例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点,
求证：
（1）EF//AD；
（2）EF1（BCAD）
证：
连接DF，并延长交BC于点G，易证△AFD也/CFG
贝UAD=CG，DF=GF
由于DE=BE，所以EF是/3DG的中位线
1
从而EF//BG，且EF^BG
因为AD//BG，BGBCCGBCAD
1
所以EF//AD，EF^（BCAD）
3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
例15、在梯形ABCD中，AD//BC,ZBAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE,求ZAEB=2/CBE。
Da
解：
分别延长AE与BC，并交于F点
v/BAD=900且AD//BC
•••zFBA=1800-ZBAD=900
又VAD//BC
•••JDAE=/F（两直线平行内错角相等）
zSAED=ZFEC（对顶角相等）
DE=EC（E点是CD的中点）
•••ZADE也zECE（AAS）
•••AE=FE
在EABF中/FBA=900且AE=FE
•BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
•在许EB中ZEBF=/FEB
ZAEB=ZEBF+ZFEB=2ZCBE
例16、已知：
如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AB丄BC,E是CD中点,
试问：
线段AE和BE之间有怎样的大小关系?
解：
AE=BE，理由如下：
延长AE，与BC延长线交于点F.
••DE=CE，/AED=ZCEF，
ZDAE=ZF
•ZADE也ECE
••AE=EF
••AB丄BC，.-.BE=AE.
EF丄AB于F点,
例17、已知：
梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点,
AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积.
解：
如图，过E点作MN//AB，分别交AD
的延长线于M点，交BC于N点.
••DE=EC，AD/BC
•ZDEM也ENE
四边形ABNM是平行四边形
••EF丄AB,
•'S梯形ABCD=SdBNM=ABXEF=15cm2
【模拟试题】（答题时间：
40分钟）
cm.
=8,则此等腰梯形的周长为（
BCD的面积为（）
A.130B.140C.150D.160
相垂直，且AD=30，BC=70,求BD的长.
D
C
5.如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60。
，它的两底分别为15cm和49
cm，求它的腰长.
an
6.如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC,AC丄BD,AD+BC=10,
DE丄BC于E,求DE的长.
△n
7.如图所示，梯形ABCD中，AB//CD，ZD=2ZB，AD+DC=8，求AB
的长.
nc
**8.如图所示，梯形ABCD中，AD//BC，
（1）若E是AB的中点，且AD
+BC=CD，则DE与CE有何位置关系？
（2）E是ZADC与/BCD的角平分线的交点，贝UDE与CE有何位置关系？
升级会员 