高中数学第一章算法初步14算法案例学案苏教版必修3.docx
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高中数学第一章算法初步14算法案例学案苏教版必修3
1.4算法案例
学习目标
1.理解解决“韩信点兵—孙子问题”的算法思想；2.理解辗转相除法与更相减损术的数学原理；3.能用伪代码实现二分法求方程的近似解．
知识点一 本节涉及的内置函数
就像木工不必自己造锯一样，VB也把一些常用基础工具做成内置函数，以备使用者直接调用，下面是本节涉及的内置函数：
函数
功能
例子
Mod（a，b）
得到a除以b的余数
Mod（9，2）＝1
Val（ ）
将字符串转换为数值
Int（x）
表示不超过x的最大整数
Int（3.9）＝3
知识点二 “韩信点兵一孙子问题”的数学本质
思考 “三三数之剩二”是什么意思？
如何用代数式表示？
梳理 “韩信点兵—孙子问题”是求关于x，y，z的一次不定方程组________________的正整数解．
知识点三 辗转相除法与更相减损术的算法原理
思考 我们知道204＝85×2＋34.为什么204与85的最大公约数就是85与34的最大公约数？
梳理 一般地，有2种算法求两个正整数的最大公约数：
（1）辗转相除法的运算步骤：
第一步，给定__________________．
第二步，计算__________________．
第三步，____________.
第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于______；
否则，返回__________．
（2）更相减损术的运算步骤：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是______．若是，用____约简；若不是，执行________．
第二步，以________的数减去________的数，接着把所得的差与________的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数________为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
知识点四 二分法的实现
思考 你还能回忆起二分法的作用和原理吗？
梳理 求方程f（x）＝0在区间[a，b]上的近似解的步骤为：
S1 取[a，b]的中点x0＝
（a＋b），将区间一分为二．
S2 若________，则x0就是方程的根，否则判断根x*在x0的左侧还是右侧：
若____________，则x*∈（x0，b），以x0代替a；
若____________，则x*∈（a，x0），以x0代替b.
S3 若|a－b|类型一 “韩信点兵——孙子问题”
例1 韩信是秦末汉初的著名军事家．据说有一次汉高祖刘邦在卫士的簇拥下来到练兵场，刘邦问韩信有什么办法，不要逐个报数，就能知道场上士兵的人数．
韩信先令士兵排成3列纵队进行操练，结果有2人多余；接着他立刻下令将队形改为5列纵队，这一改，又多出3人；随后他又下令改为7列纵队，这一次又剩下2人无法成整列．结果在场的人哈哈大笑，韩信看此情形，立刻报告共有士兵2333人．众人都愣了，不知韩信用什么办法这么快清点出准确人数的．
这个故事却引出一个著名的数学问题，即闻名世界的“孙子问题”．最早出现在我国《算经十书》之一的《孙子算经》中．原文是：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？
答曰：
二十三．”所以人们将这种问题的通用解法称为“孙子剩余定理”或“中国剩余定理”．设有物m个，则其本质为由方程组
求m的正整数解．
试为此问题编写流程图和伪代码．
反思与感悟 此算法的本质是从最小2开始，逐个实验是否满足方程组，对人而言是个笨法，但很适合计算机，以上程序求出的是m的最小值．
跟踪训练1 有一堆围棋子，五个五个地数，最后余下2个；七个七个地数，最后余下3个；九个九个地数，最后余下4个．请用伪代码表示“求出这堆棋子至少有多少个”的一种算法．
类型二 辗转相除法的现代实现
例2 你能根据“欧几里得辗转相除法”设计一种求两个正整数a，b（a>b）的最大公约数的一个算法吗？
并画出流程图，编写伪代码．
反思与感悟 利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．
跟踪训练2 用辗转相除法和更相减损术求261和319的最大公约数．
类型三 求方程f（x）＝0近似解的算法
例3 画出用区间二分法求方程x3－x－1＝0在区间[1，1.5]上的一个近似解（误差不超过0.001）的一个算法流程图并编写伪代码．
反思与感悟 在此算法中用到了条件语句和循环语句，所以用“Do”是因为要执行再判断是否满足条件，因为不知循环次数，所以也不宜用“For”语句．
跟踪训练3 改造例3中伪代码，用来求f（x）＝lnx＋2x－1在区间[a，b]上的一个近似解（误差不超过c）．
1．m是一正整数，对两个正整数a，b，若a－b是m的倍数，则称模m同余，用符号a≡b（Modm）表示．则a≡5（Mod27）中，a的取值最小为________．
2．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为__________________________．
3．求方程x＝5y＋3（其中y为自然数）的所有小于100的x的正整数解，用伪代码表示．
4．求两个正数8251和6105的最大公约数．
1．求两个正整数的最大公约数时，用辗转相除法进行设计的关键是：
将“辗转”的过程用循环语句表示．
为了避免求循环次数（对两个具体的正整数，循环次数可以求出，但会使程序更为复杂），最好使用“While”语句．
2．用二分法求方程近似解，必须先判断方程在给定区间上是否有解．
3．二分法的过程是一个多次重复的过程，故可用循环结构处理．
4．二分法过程中需要对中点（端点）处函数值的符号进行判定，故实现算法需用选择结构，即用条件语句进行分支选择．
答案精析
问题导学
知识点二
思考 “三三数之剩二”意思是一堆东西，三个三个地分组，余二个．
设这堆东西数目为m，则m＝3x＋2，其中x指组数．
梳理
知识点三
思考 设204与85的最大公约数为a，则a能整除204，故能整除85×2＋34.又因为a也是85的约数，故a能整除85×2，所以a必能整除34，即a是34的约数，从而是85与34的最大公约数，显然，204与85的公约数问题转化成了85与34的公约数问题，问题难度降低了．
梳理
（1）两个正整数m，n（m>n）
m除以n所得的余数r m←n，n←r
m 第二步
（2）偶数 2 第二步 较大 较小
较小 相等
知识点四
思考 二分法是用来求方程近似解的，其原理是先确定一个解所在的大致区间，然后借助零点存在定理，不断缩小这个区间．
梳理 f（x0）＝0 f（a）f（x0）>0
f（a）f（x0）<0 x*≈x0 S1
题型探究
例1 解 流程图为
伪代码为
m←2
WhileMod（m，3）≠2or
Mod（m，5）≠3or
Mod（m，7）≠2
m←m＋1
EndWhile
Printm
跟踪训练1 解 算法的伪代码如下：
m←2
WhileMod（m，5）≠2or
Mod（m，7）≠3or
Mod（m，9）≠4
m←m＋1
EndWhile
Printm
例2 解 算法如下：
S1 输入两个正整数a，b；
S2 若Mod（a，b）≠0，那么转S3，否则转S6；
S3 r←Mod（a，b）；
S4 a←b；
S5 b←r，转S2；
S6 输出b.
流程图如图：
伪代码如下：
Reada，b
WhileModa，b≠0
r←Moda，b
a←b
b←r
EndWhile
Printb
跟踪训练2 解 辗转相除法：
319÷261＝1（余58），
261÷58＝4（余29），
58÷29＝2（余0），
所以319与261的最大公约数为29.
更相减损术：
319－261＝58，
261－58＝203，
203－58＝145，
145－58＝87，
87－58＝29，
58－29＝29，
29－29＝0，
所以319与261的最大公约数是29.
例3 解 流程图如图：
伪代码如图：
a←1
b←1.5
c←0.001
Do
x0←
fa←a3－a－1
fx0←
－x0－1
Iffx0＝0ThenExitDo
Iffafx0<0Then
b←x0
Else
a←x0
EndIf
Until|a－b|EndDo
Printx0
跟踪训练3 解 伪代码如图：
Read a，b，c
Do
x0←
fa←lna＋2a－1
fx0←lnx0＋2x0－1
If fx0＝0 Then Exit Do
If fafx0<0 Then
b←x0
Else
a←x0
End If
Until |a－b|End Do
Print x0
当堂训练
1．32
2．先除以2，得到18与67
解析 ∵36与134都是偶数，∴第一步应为：
先除以2，得到18与67.
3．解 算法的伪代码如图：
y←0
x←0
Whilex<100
x←5y＋3
Printx
y←y＋1
EndWhile
4．解 8251＝6105×1＋2146；
6105＝2146×2＋1813；
2146＝1813×1＋333；
1813＝333×5＋148；
333＝148×2＋37；
148＝37×4＋0；
则37为8251与6105的最大公约数．
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