第4讲 万有引力与航天 讲义.docx

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第4讲万有引力与航天讲义

第4讲　万有引力与航天

见学生用书P064

微知识1开普勒行星运动定律

1．开普勒第一定律：

所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

2．开普勒第二定律：

对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

3．开普勒第三定律：

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：

＝k。

微知识2万有引力定律

1．公式：

F＝G，其中G＝6.67×10－11_N·m2/kg2，叫引力常量。

2．公式适用条件：

此公式适用于质点间的相互作用。

当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。

一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离。

微知识3卫星运行规律和宇宙速度

1．地球同步卫星的特点

（1）轨道平面一定：

轨道平面和赤道平面重合。

（2）周期一定：

与地球自转周期相同，即T＝24h＝86400s。

（3）角速度一定：

与地球自转的角速度相同。

（4）高度一定：

据G＝mr得r＝＝4.24×104km，卫星离地面高度h＝r－R≈5.6R（为恒量）。

（5）速率一定：

运动速度v＝2πr/T＝3.08km/s（为恒量）。

（6）绕行方向一定：

与地球自转的方向一致。

2．极地卫星和近地卫星

（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

（2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s。

（3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。

3．三种宇宙速度比较

微知识4经典时空观和相对论时空观

1．经典时空观

（1）在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的。

（2）在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。

2．相对论时空观

同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同。

3．经典力学有它的适用范围

只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。

一、思维辨析（判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

）

1．只要知道两个物体的质量和两物体之间的距离，就可以由F＝G来计算物体间的万有引力。

（×）

2．第一宇宙速度与地球的质量有关。

（√）

3．地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。

（×）

4．发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度。

（×）

5．地球对其表面的物体的万有引力就是物体的重力。

（×）

二、对点微练

1．（开普勒三定律）火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（　　）

A．太阳位于木星运行轨道的中心

B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积

解析　行星做椭圆运动，且在不同的轨道上，所以A、B项错误；根据开普勒第三定律，可知C项正确；对在某一轨道上运动的天体来说，天体与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，而题中是两个天体、两个轨道，所以D项错误。

答案　C　

2．（对万有引力定律的理解）一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的（　　）

A．0.25倍B．0.5倍

C．2.0倍D．4.0倍

解析　由F引＝＝＝＝2F地，故C项正确。

答案　C　

3．（对宇宙速度的理解）北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统（CNSS），建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。

对于其中的5颗同步卫星，下列说法正确的是（　　）

A．它们运行的线速度一定不小于7.9km/s

B．地球对它们的吸引力一定相同

C．一定位于赤道上空同一轨道上

D．它们运行的加速度一定相同

解析　同步卫星运行的线速度一定小于7.9km/s，选项A错误；由于5颗同步卫星的质量不一定相等，所以地球对它们的吸引力不一定相同，选项B错误；5颗同步卫星一定位于赤道上空同一轨道上，它们运行的加速度大小一定相等，方向不相同，选项C正确，D错误。

答案　C　

见学生用书P065

微考点　1　天体质量和密度的计算

核|心|微|讲

天体质量及密度的估算方法

典|例|微|探

【例1】　（多选）1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人。

若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1（地球自转周期），一年的时间T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2。

你能计算出（　　）

A．地球的质量m地＝

B．太阳的质量m太＝

C．月球的质量m月＝

D．可求月球、地球及太阳的密度

【解题导思】

（1）若已知万有引力常量、天体表面的重力加速度和半径，能否求出天体的质量？

答：

能，用关系式G＝mg。

（2）若已知万有引力常量、地球绕太阳运动的周期和半径，能否求出地球的质量？

答：

不能，由万有引力提供向心力G＝知，只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量。

解析　对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g＝，所以地球质量m地＝，选项A正确；对地球绕太阳运动来说，有＝m地L2，则m太＝，B项正确；对月球绕地球运动来说，能求地球质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它的质量和密度，C、D项错误。

答案　AB

估算天体质量和密度时应注意的问题

（1）利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。

（2）区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。

题|组|微|练

1．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。

“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。

该中心恒星与太阳的质量比约为（　　）

A.　　　　　B．1　　　　　C．5　　　　　D．10

解析　行星绕恒星做圆周运动，万有引力提供向心力，G＝mr（）2，得M＝，该中心恒星的质量与太阳的质量之比＝·＝（）3×≈1，B项正确。

答案　B　

2．我国成功发射“嫦娥三号”探测器，实现了我国航天器首次在地外天体软着陆和巡视探测活动，月球半径为R0，月球表面处重力加速度为g0。

地球和月球的半径之比为＝4，表面重力加速度之比为＝6，地球和月球的密度之比为（　　）

A.B.

C．4D．6

解析　设星球的密度为ρ，由G＝m′g得GM＝gR2，ρ＝＝，联立解得ρ＝，设地球、月球的密度分别为ρ、ρ0，则＝，将＝4，＝6代入上式，解得＝，选项B正确。

答案　B　

微考点　2　卫星的运动

核|心|微|讲

　卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系

做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力，即由G＝m＝mrω2＝mr＝man可推导出：

⇒当r增大时

典|例|微|探

【例2】　（多选）如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R（R为地球半径）。

下列说法正确的是（　　）

A．a、b的线速度大小之比是∶1

B．a、b的周期之比是1∶2

C．a、b的角速度大小之比是3∶4

D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4

【解题导思】

（1）a、b两卫星的轨道半径不同，但均由万有引力提供向心力，此说法对吗？

答：

对。

（2）卫星绕天体做匀速圆周运动时，线速度、角速度、向心加速度、周期与半径有关吗？

答：

上述物理量均与半径有关。

解析　卫星绕地球做匀速圆周运动所需要的向心力由地球给卫星的万有引力提供。

由G＝m得＝＝＝，故A项错；

由G＝m2r得＝＝，故B项错；

由G＝mω2r得＝＝，故C项正确；

由G＝ma得＝＝，故D项正确。

答案　CD

题|组|微|练

3．a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星。

其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上。

某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图所示。

下列说法正确的是（　　）

A．a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度

B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度

C．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度

D．a、c存在在P点相撞的危险

解析　由G＝m＝mrω2＝mr＝ma，可知B、C项错误，A项正确；va＝vc，Ta＝Tc，所以a、c不会相撞，D项错误。

答案　A　

4．（多选）美国科学家曾宣布：

人类在太阳系外围发现了一颗过去未知的巨行星，绰号为“九号行星”。

它的质量约为地球质量的10倍，绕太阳公转周期为1万至2万年。

若认为包括“九号行星”在内的所有行星公转轨道近似为圆，不考虑各行星之间的相互作用，下列说法正确的是（　　）

A．“九号行星”的公转轨道半径比地球的公转轨道半径大

B．“九号行星”的公转线速度比地球的公转线速度大

C．“九号行星”的公转角速度比地球的公转角速度小

D．“九号行星”的公转向心加速度约为地球公转向心加速度的

解析　根据＝k，可以知道周期越大，则半径越大，故选项A正确；根据＝m，则v＝，可以知道，半径越大则线速度越小，故选项B错误；根据＝mω2r，则ω＝，则半径越大，角速度越小，故选项C正确；根据＝k和a＝可知，“九号行星”的向心加速度约为地球向心加速度的倍，D项错误。

答案　AC　

微考点　3　卫星的发射和变轨

核|心|微|讲

1．稳定运行

卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由＝m得v＝。

由此可知，轨道半径r越大，卫星的速度越小。

当卫星由于某种原因速度v突然改变时，F引和m不再相等，因此就不能再根据v＝来确定v的大小，当F引＞时，卫星做近心运动；当F引＜时，卫星做离心运动。

2．变轨运行

人造卫星在轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。

在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的轨道。

典|例|微|探

【例3】中国在西昌卫星发射中心成功发射“亚太九号”通信卫星，该卫星运行的轨道示意图如图所示，卫星先沿椭圆轨道1运行，近地点为Q，远地点为P。

当卫星经过P点时点火加速，使卫星由椭圆轨道1转移到地球同步轨道2上运行，下列说法正确的是（　　）

A．卫星在轨道1和轨道2上运动时的机械能相等

B．卫星在轨道1上运行经过P点的速度大于经过Q点的速度

C．卫星在轨道2上时处于超重状态

D．卫星在轨道1上运行经过P点的加速度等于在轨道2上运行经过P点的加速度

【解题导思】

（1）卫星的轨道半径越大，其机械能也越大还是越小？

答：

越大。

（2）卫星的加速度由什么决定？

答：

由万有引力和卫星的质量决定。

解析　卫星在两轨道上运动的机械能不相等，A项错；在轨道上运行经过P点的速度应小于近地点Q的速度，万有引力做正功使动能增加，B项错；卫星在轨道上应处于失重状态，C项错；由万有引力提供向心力可知：

G＝ma，a＝，在同一点P加速度相等，D项对。

答案　D

题|组|微|练

5．（多选）目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。

若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是（　　）

A．卫星的动能逐渐减小

B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小

C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变

D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小

解析　根据G＝m，得v＝，可知轨道半径越小，则v越大，动能越大，故A项错误；根据功能关系，引力做正功，引力势能一定减小，故B项正确；根据功能关系，机械能的变化与除重力以外其他力做功有关，既然气体阻力做了负功，机械能一定会减小，故C项错误；根据动能定理，WG－W阻＝Ek2－Ek1，由于卫星的动能逐渐增大，所以WG>W阻，故D项正确。

答案　BD　

6．美国曾在夏威夷考艾乌的太平洋导弹靶场进行过一次中段反导试验，中段是指弹道导弹在大气层外空间依靠惯性飞行的一段。

如图所示，一枚蓝军弹道导弹从地面上A点发射升空，目标是攻击红军基地B点，导弹升空后，红军反导预警系统立刻发现目标，从C点发射拦截导弹，并在弹道导弹飞行中段的最高点D将其击毁，下列说法正确的是（　　）

A．图中E到D过程，弹道导弹机械能不断增大

B．图中E到D过程，弹道导弹的加速度大小不变

C．弹道导弹在大气层外运动轨迹是以地心为焦点的椭圆

D．弹道导弹飞行至D点时速度大于7.9km/s

解析　E到D过程，依靠惯性飞行，只受引力，只有引力做功，机械能守恒，故A项错误；E到D过程，高度增大，地球对导弹的引力减小，加速度减小，故B项错误；根据开普勒第一定律，导弹在大气层外只受地球引力，其运动轨迹是以地心为焦点的椭圆，故C项正确；根据开普勒第二定律，导弹离地面越远速度越小，离地面越近速度越大，地面附近的速度为第一宇宙速度7.9km/s，所以弹道导弹飞行至D点时速度小于7.9km/s，故D项错误。

故选C项。

答案　C

见学生用书P067

双星模型

　素能培养

1．模型构建

在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件

（1）两颗星彼此相距较近。

（2）两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。

（3）两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点

（1）“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗恒星上，是一对作用力和反作用力。

（2）“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

（3）“半径反比”——圆心在两颗恒星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗恒星做匀速圆周运动的半径与恒星的质量成反比。

（4）巧妙求质量和―→＝m1ω2r1　　①

＝m2ω2r2　　②

①＋②得＝ω2L，

所以m1＋m2＝。

　经典考题　双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。

研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。

若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（　　）

A.T　　　　　　B.T

C.TD.T

解析　双星间的万有引力提供向心力。

设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r。

对质量为m的恒星

G＝m2r，

对质量为M的恒星

G＝M2（L－r），

得G＝L，

即T2＝，

则当总质量为k（M＋m），间距为

L′＝nL时，

T′＝T，选项B正确。

答案　B

【反思总结】

分析求解双星或多星问题的两个关键点

1．向心力来源：

双星问题中，向心力来源于另一星体的万有引力；多星问题中，向心力则来源于其余星体的万有引力的合力。

2．圆心或轨道半径的确定及求解：

双星问题中，轨道的圆心位于两星连线上某处，只有两星质量相等时才位于连线的中点，此处极易发生的错误是列式时将两星之间的距离当作轨道半径；多星问题中，也只有各星体的质量相等时轨道圆心才会位于几何图形的中心位置，解题时一定要弄清题给条件。

　对法对题

1.（多选）宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统。

在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。

设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示。

若AO>OB，则（　　）

A．星球A的质量一定大于B的质量

B．星球A的线速度一定大于B的线速度

C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大

D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大

解析　设双星质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，两者间距为L，周期为T，角速度为ω，由万有引力定律可知：

＝mAω2RA，①

＝mBω2RB，②

RA＋RB＝L，③

由①②式可得＝，

而AO＞OB，故A项错误；

vA＝ωRA，vB＝ωRB，B项正确；联立①②③得G（mA＋mB）＝ω2L3，

又因为T＝，

故T＝2π，可知C项错误，D项正确。

答案　BD　

2.（多选）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则（　　）

A．每颗星做圆周运动的线速度为

B．每颗星做圆周运动的角速度为

C．每颗星做圆周运动的周期为2π

D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关

解析　由图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径r＝＝R。

由牛顿第二定律得·2cos30°＝m＝mω2r＝mr＝ma可解得v＝，ω＝，T＝2π，a＝，故A、B、C项均正确，D项错误。

答案　ABC　

见学生用书P067

1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是（　　）

A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律

B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律

解析　开普勒在第谷的观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，B项正确；牛顿在开普勒总结的行星运动规律的基础上发现了万有引力定律，找出了行星运动的原因，A、C、D项错。

答案　B　

2．我国于2016年10月17日发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接，并于11月18日顺利返回。

假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是（　　）

A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接

B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接

C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

解析　为了实现飞船与空间实验室的对接，必须使飞船在较低的轨道上加速做离心运动，上升到空间实验室运动的轨道后逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接，选项C正确。

答案　C　

3．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。

目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。

假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（　　）

A．1hB．4h

C．8hD．16h

解析　设地球半径为R，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示。

由图中几何关系可得，同步卫星的最小轨道半径r＝2R。

设地球自转周期的最小值为T，则由开普勒第三定律可得，＝，解得T≈4h，选项B正确。

答案　B　

4．2017年3月16日消息，“高景一号”卫星发回清晰影像图，可区分单个树冠，天文爱好者观测该卫星绕地球做匀速圆周运动时，发现该卫星每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知引力常量为G，则（　　）

A．“高景一号”卫星的质量为

B．“高景一号”卫星的角速度为

C．“高景一号”卫星的线速度大小为

D．地球的质量为

解析　根据万有引力提供向心力列式只能求解中心天体的质量，即能求出地球的质量，不能求出环绕天体的质量，所以不能求出“高景一号”卫星的质量，故A项错误；“高景一号”卫星的线速度v＝，角速度ω＝，根据线速度和角速度的关系v＝ωr，卫星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有G＝m，联立以上各式计算得地球的质量M＝，所以B项正确，C、D项错误。

答案　B