《线性代数经管类》综合测验题库.docx
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《线性代数经管类》综合测验题库
线性代数（经管类）》综合测验题库
一、单项选择题
1.
n合同于单位
下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是（）正定没有负的特征值的正惯性指数等于阵
222
2.二次型f（x1,x2,x3）=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是（）
A.是正定的
B.其矩阵可逆
C.其秩为1
D.其秩为2
3.设f=XTAX，g=XTBX是两个n元正定二次型，则（）未必是正定二次型。
（A+B）X
4.设A，B为正定阵，则（）
，A+B都正定
正定，A+B非正定
非正定，A+B正定
不一定正定，A+B正定
5.二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B（）
A.一定合同
B.一定相似
C.即相似又合同
D.即不相似也不合同
6.实对称矩阵A的秩等于r，又它有t个正特征值，则它的符号差为（）
7.设
22
x1,x2,x3）=x1-2x1x2+4x3对应的矩阵是（）
9.
）不成立。
设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=CTAC，则下述结论（与B相似与B等价
与B有相同的特征值
与B有相同的特征向量
10.下列命题错误的是（）
A.属于不同特征值的特征向量必线性无关
B.属于同一特征值的特征向量必线性相关
C.相似矩阵必有相同的特征值
D.特征值相同的矩阵未必相似
11.下列矩阵必相似于对角矩阵的是（）
12.已知矩阵有一个特征值为0，则（）
=1
=0
13.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=（）
则f（A）的特征值为（
2
14.已知f（x）=x2+x+1方阵A的特征值1,0,-1,
，1，1，-1，-2，1，-1
，0，1
15.
则下列论断正确的是（）
设A的特征值为1，-1，向量α是属于1的特征向量，β是属于-1的特征向量，
A.α和β线性无关
B.α+β是A的特征向量
C.α与β线性相关
D.α与β必正交
16.设α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量，P为可逆矩阵，则下列向量中（）是P-1AP对应于λ的特征向量。
A.α
α
αP
α
17.λ1,λ2都是n阶矩阵A的特征值，λ1≠λ2，且x1与x2分别是对应于λ1与λ2的特征向量，当（）时，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量。
=0且k2=0
≠0且k2≠0
·k2=0
≠0而k2=0
18.矩阵的特征值为（）
，1
，2
，2
，0
元线性方程组Ax=b有两个解a、c，则a-c是（）的解。
=b
=0
=a
=c
20.非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4，A是4×6矩阵，则（）。
A.无法确定方程组是否有解
B.方程组有无穷多解
C.方程组有惟一解
D.方程组无解
21.对于齐次线性方程组的系数矩阵化为阶梯形时（）
A.只能进行行变换
B.只能进行列变换
C.不能进行行变换
D.可以进行行和列变换
、x2是AX=0的两不对应成比例的解，其中A为n阶方阵，则基础解系中向量个数为（）。
A.至少2个
B.无基础解系
C.至少1个
23.齐次线性方程组有非0解，则k=（）
24.设A是m行n列矩阵，r（A）=r，则下列正确的是（）
=0的基础解系中的解向量个数可能为n-r
=0的基础解系中的解向量个数不可能为n-r
=0的基础解系中的解向量个数一定为n-r
=0的基础解系中的解向量个数为不确定
25.设β1，β2为的解向量，α1，α2为对应齐次方程组的解，则（）。
A.β1+β2+2α1为该非齐次方程组的解
B.β1+α1+α2为该非齐次方程组的解
C.β1+β2为该非齐次方程组的解
D.β1-β2+α1为该非齐次方程组的解
26.对于齐次线性方程组
而言，它的解的情况是（
）。
A.有惟一组解
B.无解
C.只有零解
D.无穷多解27.若α1,α2线性无关，β是另外一个向量，则α1+β与α2+β（）
A.线性无关
B.线性相关
C.即线性相关又线性无关
D.不确定
28.已知向量组
则向量组α1,α2,α3,α4,α5的一个极大无关组为（）A.α1，α3
B.α1，α2
C.α1，α2，α5
D.α1，α3，α5
29.α1=（1,0,0）,α2=（2,1,0）,α3=（0,3,0）,α4=（2,2,2）的极大无关组是（）
A.α1,
α2
B.α1,
α3
C.α1,
α2,α4
D.α1,
α2,α3
30.向量组（1，-1，0），（2，4，1），（1，5，1）的秩为（）
31.设A是m行n列矩阵，B是m行k列矩阵，则（）（A,B）小于等于r（A）与r（B）之和
（A,B）大于r（A）与r（B）之和
（A,B）小于r（A）与r（B）之和
D.不确定
32.向量组A的任何一个部分组（）由该向量组线性表示。
A.都能
B.一定不能
C.不一定能
D.不确定
33.含有零向量的向量组（）
A.可能线性相关
B.必线性相关
C.可能线性无关
D.必线性无关
34.
，βs的线性
若向量组α1，α2，⋯，αs线性无关，β1，β2，⋯，βs是它的加长向量组，则β1，β2，相关性是（）
A.线性无关
B.线性相关
C.既线性相关又线性无关
D.不确定
35.设α1=（1,1,0），α2=（0,1,1），α3=（1,0,1），试判断α1,α2,α3的相关性（）
A.线性无关
B.线性相关
C.既线性相关又线性无关
D.不确定
36.α，β，γ是三维列向量，且|α，β，γ|≠0，则向量组α，β，γ的线性相关性是（
A.线性无关
B.线性相关
C.既线性相关又线性无关
D.不确定
37.（-1，1）能否表示成（1，0）和（2，0）的线性组合若能则表出系数为（）
A.能,1,1
B.不能
C.能,-1,1
D.能,1,-1
38.（4，0）能否表示成（-1，2），（3，2）和（6，4）的线性组合若能则表出系数为（）
A.能,系数不唯一
B.不能
C.能，-1，-1，1
D.能，-1，1，0
39.设β=（1，0，1），γ=（1，1，-1），则满足条件3x+β=γ的x为（）3（0,1,-2）3（0,1,-2）
C.（0,1,-2）
D.（0,-1,2）
40.设α，β，γ都是n维向量，k，l是数，下列运算不成立的是（）
A.α＋β=β＋α
B.（α+β）＋γ=α＋（β＋γ）
C.α，β对应分量成比例，可以说明α=β
D.α＋（－α）＝0
41.若m×n矩阵C中n个列向量线性无关，则C的秩（）
A.大于m
B.大于n
C.等于n
D.
的一个极大线性无关组可以取为
等于m
42.向量组
（）
A.α1
B.α1，α2
C.α1，α2，α3
D.
α1，α2，α3，α4
44.若向量组
则该向量组
A.当a≠1时线性无关
B.线性无关
C.当a≠1且≠-2时线性无关
D.线性相关
45.向量组线性相关，则a的值为（）
46.
）向量组
对于向量组γi（i=1，2，⋯n）因为有0γ1+0γ2+⋯+0γn=0，则γ1，γ2，⋯，γn是（
A.全为零向量
B.线性相关
C.线性无关
D.任意
47.设A，B是两个同阶的上三角矩阵，那么AT·BT是（）矩阵。
A.上三角
B.下三角
C.对角形
D.既非上三角也非下三角
48.如果A2-6A=E，则A-1=（）。
+3E
+6E
49.下列关于可逆矩阵的性质，不正确的是（）。
T-1-1T
A.（AT）-1=（A-1）T
B.可逆矩阵可以从矩阵等式的同侧消去k+l
=Ak+l
=1
50.设A=，则A*=（）。
51.
52.设A，B，C是n阶方阵，下列各式中未必成立的是（）。
=ACB
B.（A+B）+C=A+（B+C）（B+C）=AC+AB
D.（A+B）C=AC+BC
53.
55.
=7
=x
=x+1
=x-1
56.设A、B是同阶对称矩阵，则AB是（）A.对称矩阵
B.非对称矩阵
C.反对称矩阵
D.不一定是对称矩阵
57.设A为3阶矩阵，且已知，则A必有一个特征值为（）
58.设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3.则（）
59.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是（）
60.已知A是一个三阶实对称正定的矩阵，那么A的特征值可能是（）
为三阶矩阵，
为它的三个特征值.其对应的特征向量为.设
错误的是（
）
元实二次型正定的充分必要条件是（）A.该二次型的秩＝n
B.该二次型的负惯性指数＝n
C.该二次型的正惯性指数＝它的秩
D.该二次型的正惯性指数＝n
63.已知
，则下列等式
相似，则有（）
64.设（
A.线性无关
B.线性相关
C.对应分量成比例
D.可能有零向量
65.二次型
的矩阵为（）
66.二次型的矩阵为（
67.设矩阵相似.则下列结论错误的是（）
68.
的一个特征值.则下列结论错误的是（）
71.设
则齐次方程组
的基础解系中含有解向量的个数为（）
72.非齐次方程组有解的充分必要条件是（）
≠1时，r（A）=2，r（A，b）≥3=1时，r（A）=2，r（A，b）≥3≠1，r（A）=r（A，b）=4=1，r（A）=r（A，b）=4
b为何值时，上述非齐次线性方程组有唯一解（
）
≠1，r（A）=r（A，b）=4≠1，r（A）=r（A，b）=3
=1时，r（A）=2，r（A，b）≥3
=1时，r（A）=2，r（A，b）=375.下列关于线性方程组的说法不正确的是（）
A.齐次方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是r（A）大于未知数的个数n
B.非齐次线性方程组Ax=b有解系数矩阵与增广矩阵有相等的秩
C.如果r（Ab）=r（A）=n（n为未知数的个数），则方程组Ax=b有惟一的解
D.如果r（Ab）=r（A）=n（n小于未知数的个数），则方程组Ax=b有无穷多解
76.下列说法不正确的是（）
）
78.下列说法不正确的是（）
79.设3元线性方程组Ax=b，A的秩为2，为方程组的解，，，
则对任意常数k，方程组Ax=b的通解为（）
80.设A为m×n矩阵，方程Ax=0仅有零解的充分必要条件是（）
的行向量组线性无关的行向量组线性相关的列向量组线性无关
的列向量组线性相关
82.已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是其导出组Ax=0的一个基础解系，C1，C2为任意常数，则方程组Ax=b的通解可以表为（）
83.若是线性方程组的解，是方程组的解，则（）是的解.
84.设的基础解系，则下列正确的是（）
85.若齐次方程组有非零解，则下列正确的是（）
86.下列说法不正确的是（）
A.一个向量α线性相关的充分必要条件是α=0
B.两个向量线性相关的充分必要条件是分量成比例个n维向量线性相关的充分必要条件是相应的行列式为
D.当向量个数小于维数时，向量组必线性相关
87.向量组的秩的充分必要条件是（）
A.全是非零向量
B.中任意两个向量都不成比例
C.中任何一个向量都不能由其它向量线性表出
D.中任意个向量都线性无关
88.维向量组线性相关的（）
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.即不必要也不充分条件
89.的秩为（）
90.设向量组线性相关，则必可推出（）
A.中至少有一个向量为零向量
B.中至少有两个向量成比例
C.中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合
D.中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合
91.已知向量组的一组基，则向量在这组基下的坐标是（）
A.
（2，
3，
1）
B.
（3，
2，
1）
C.
（1，
2，
3）
D.
（1，
3，
2）
92.
β只能是（）
设β可由向量线性表示，则下列向量中
A.（2，1，1）
B.（-3，0，2）
C.（1，1，0）
D.（0，-1，0）
93.向量组线性无关的充分必要条件是（）
A.均不为零向量
B.中任意两个向量不成比例
C.中任意s-1个向量线性无关
D.中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示
94.设A是三阶方阵且︱A︱=2，则的值为（）
95.设（）
96.设A为n阶方阵，n≥2，则︱-5A︱=（）A.（-5）n︱A︱
︱A︱
︱A︱
︱A︱
97.设A是4×5矩阵，秩（A）=3，则（）中的4阶子式都不为0
中存在不为0的4阶子式中的3阶子式都不为0中存在不为0的3阶子式
98.设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（）
99.下列命题正确的是（）
A.两个零矩阵必相等B.两个单位矩阵必相等22
C.（A+E）（A-E）=A2-E2
D.若A≠0，AB=AC则必有B=C.
100.设矩阵
，则（
=3，b=-1，c=1，d=3=-1，b=3，c=1，d=3=3，b=-1，c=0，d=3
=-1，b=3，c=0，d=3
104.下列结论正确的是（）
105.都是n阶非零矩阵，其中为A的伴随矩阵.则下列等式错误的是（）
106.
的逆矩阵为（）
设是n阶可逆阵，O为n阶零矩阵，
107.设有意义，则C是（）矩阵
108.设，则下列各式中恒正确的是（）
109.设阶零矩阵.则下列各式中正确的是（）
110.设某3阶行列式︱A︱的第二行元素分别为-1,2,3,对应的余子式分别为-3,-2,1，则此行列式︱A︱的值为（）.
111.
111.设多项式
则f（x）的常数项为（
113.设行列式
则D1的值为（）
114.设A为三阶方阵且（）
115.设A是n阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（）
116.
设A为3阶方阵，且已知（）
118.设
（
）
+1
120.设行列式
121.设都是三阶方阵，且，则下式（）必成立.
122.下面结论正确的是（）
A.含有零元素的矩阵是零矩阵
B.零矩阵都是方阵
C.所有元素都是0的矩阵是零矩阵
D.
123.行列式（）
124.
已知（）
A.
（x+3a）
（x-a）
B.
（x+3a）
（x-a）
C.
（x+3a）
2（x-a）
D.
（x+3a）
3（x-a）
127.行列式D如果按照第n列展开是（）。
+a2nA2n+...+annAnn
+a21A21+...+an1An1
+a12A21+...+a1nAn1
+a21A12+...+an1A1n
128.关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则，说法正确的是（）
A.如果行列式不等于0，则方程组必有无穷多解
B.如果行列式不等于0，则方程组只有零解
C.如果行列式等于0，则方程组必有惟一解
D.如果行列式等于0，则方程组必有零解
129.计算=（）。
130.λ≠（）时，方程组只有零解。
=（）。
131.设
132.设
）。
133.已知三阶行列式
D中的第二列元素依次为
1，2，3，它们的余子式分别为-1，1，2，D的值为（）
134.行列式
135.下列行列式的值为（）。
阶行列式（）等于-1。
中元素g的代数余子式的值为（
）。
137.当a=（）时，行列式
的值为零。
138.行列式的值等于（）。
139.行列式的充要条件是（）
≠2
≠0
≠2或a≠0
≠2且a≠0
综合测验题库答案与解析
一、单项选择题
1.正确答案：
B
答案解析：
A-1正定表明存在可逆矩阵C使CTA-1C=In，两边求逆得到
C-1A（CT）-1=C-1A（C-1）T=In
即A合同于In，A正定，因此不应选A。
C是A正定的定义，也不是正确的选择。
D表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵，于是只能B。
事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。
2.正确答案：
C答案解析：
二次型的矩阵
所以r（A）=1，故选项C正确，选项A，B，D都不正确。
3.正确答案：
D
答案解析：
因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ1，λ2，⋯，λn都大于零，
|A|>0，设APj=λjPj，则A-1Pj=Pj，A-1的n个特征值，j=1,2,⋯,n，必都大于零，
这说明A-1为正定阵，XTA-1X为正定二定型，同理，XTB-1X为正定二次型，
对任意n维非零列向量X都有XT（A+B）X=XTAX+XTBX>0。
这说明XT（A+B）X为正定二次型，由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以XTABX未必为正定二次型。
4.正确答案：
D答案解析：
∵A、B正定∴对任何元素不全为零的向量X永远有XTAX>0；同时XTBX>0。
因此A+B正定，AB不一定正定，甚至AB可能不是对称阵。
5.正确答案：
A
答案解析：
f=xTAx=（Py）TA（Py）=yT（PTAP）y=yTBy，即B=PTAP，所以矩阵A与B一定合同。
只有当P是正交矩阵时，由于PT=P-1，所以A与B即相似又合同。
6.正确答案：
C
答案解析：
A的正惯性指数为t，负惯性指数为r-t，因此符号差等于2t-r。
7.正确答案：
C
答案解析：
主对角线元素对应x1，x2，x3平方项系数：
1，1，1。
a13和a31系数的和对应x1x3的系数2
8.正确答案：
C
答案解析：
x1，x2，x3平方项系数对应主对角线元素：
1，0，4。
x1x2系数-2，对应a12和a21系数的和，a12=-1,a21=-1。
9.正确答案：
D
答案解析：
∵C是正交阵，所以CT=C-1,B=C-1AC，因此A与B相似，A对。
C是正交阵|C|不等于0，CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等价，B对。
两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对。
（λE-A）X=0,（λE-B）X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D。
10.正确答案：
B答案解析：
属于同一特征值的特征向量未必线性相关，比如单位阵的特征值全是1，但它有n个线性无关的特
征向量，因此应选择B。
11.正确答案：
C答案解析：
C是对称阵，必相似于对角阵，故选C。
12.正确答案：
A
答案解析：
|A|=5-2x，A有零特征值，得|A|=0，故x=，显然应选A。
13.正确答案：
B
答案解析：
∵3阶矩阵A的特征值为1,2,3
∴|λE-A|展开式含有三个因子乘积：
（λ-1）（λ-2）（λ-3）
∵|λE-A|展开式λ3项系数为1
∴|λE-
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