石景山区学年第一学期高三数学文科试题及答案word版.docx
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石景山区学年第一学期高三数学文科试题及答案word版
石景山区2016—2017学年第一学期高三年级期末试卷
数学（文）
考生须知
1．本试卷共6页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．
2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．
4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合
那么
等于（）
A．
B．
C．
D．
2．复数
（）
A．
B．
C．
D．
3．执行如图所示的程序框图，输出的
值是（）
A．
B．
C．
D．
4．下列函数中既是奇函数又在区间
上单调递减的是（）
A．
B．
C．
D．
5．已知关于
的一次函数
，设
，
，则函数
是增函数的概率是（）
A．
B．
C．
D．
6．一个四棱锥的三视图如右图所示，
这个四棱锥的体积为（）
A．
B．
C．
D．
7．已知抛物线
的准线与圆
相切，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
8．六名同学A、B、C、D、E、F举行象棋比赛，采取单循环赛制，即参加比赛的每两个人之间仅赛一局．第一天，A、B各参加了
局比赛，C、D各参加了
局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过．那么F在第一天参加的比赛局数为（）
A．
B．
C．
D．
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．向量
，
，
与
夹角的大小为______________．
10．函数
的最大值为_______________．
11．已知
中，
，
，
，则
的面积为．
12若双曲线
的渐近线方程为
，则双曲线的焦点坐标是．
13．设变量
，
满足约束条件
则
的最大值为_______．
14．甲、乙、丙三厂联营生产同一种产品，产品是哪个厂生产就在产品上盖哪个厂的厂名，如果是两个厂或三个厂联合生产，那么产品上就盖上两个厂或三个厂的厂名．今有一批产品，发现盖过甲厂、乙厂、丙厂的厂名的产品分别为18件、24件、30件，同时盖过甲、乙厂，乙、丙厂，丙、甲厂的产品，分别有12件、14件、16件．
①产品上盖有甲厂厂名没有盖乙厂厂名的产品共有件；
②这批产品的总数最多有件．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知等比数列
的公比为
，且
，
成等差数列．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
是一个首项为
，公差为
的等差数列，求数列
的前
项和．
16．（本小题共13分）
已知函数
．
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）求
在
上的最大值．
17．（本小题共13分）
新高考政策已经在上海和浙江试验实施．为了解学生科目选择的意向，从某校高一学生中随机抽取30位同学，对其选课情况进行统计分析，得到频率分布表如下：
科目选择
物理
化学
生物
历史
地理
政治
物理
化学
地理
历史
地理
生物
物理
政治
历史
其他
频率
（Ⅰ）若所抽取的30位同学中，有2位同学选择了“历史、地理、生物”组合，
3位同学选择了“物理、政治、历史”组合．求
、
、
的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将选择了“历史、地理、生物”组合的2位同学记为x1、x2，选择了“物理、政治、历史”组合的3位同学记为y1、y2、y3．现从这5位同学中任取2位（假定每位同学被抽中的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两位同学科目选择恰好相同的概率．
18．（本小题共14分）
如图1，等腰梯形
中，
∥
，
于点
，
，且
．
沿
把
折起到
的位置（如图2），使
．
（Ⅰ）求证：
⊥平面
；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积；
（Ⅲ）线段
上是否存在点
，使得
∥平面
．若存在，指出点
的位置并证明；若不存在，请说明理由．
图1图2
19．（本小题共14分）
已知椭圆
的离心率为
，点
在椭圆
上．
（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；
（Ⅱ）过点
的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于
两点，设点
关于
轴的对称点为
．直线
与
轴的交点
是否为定点？
请说明理由．
20．（本小题共13分）
已知函数
．
（Ⅰ）若
在点
处的切线方程为
，求
的值；
（Ⅱ）求
的单调区间；
（Ⅲ）当
时，设
在
处取到极值，记
．
，
，
，判断直线
、
、
与函数
的图象各有几个交点（只需写出结论）．
石景山区2016—2017学年第一学期期末考试
高三数学（文）参考答案
一．选择题共8小题，每小题5分，共40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
A
B
C
D
二．填空题共6小题，每小题5分，共30分．
题号
9
10
11
12
13
14
答案
3
三．解答题共6小题，共80分．
15．（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）因为
成等差数列，
所以
．……2分
所以
．
所以
．
所以
．……4分
所以
．……6分
（Ⅱ）
．……8分
所以
．……9分
所以
=
=
．………13分
16．（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）
……1分
……2分
，……4分
因此
的最小正周期为
．…………6分
（Ⅱ）当
时，
，………8分
当
，
有最大值
．………10分
即
时，
的最大值为
．……………13分
17．（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）由频率分布表得
，……2分
因为抽取的30位同学中，有2位同学选择了史地生组合，所以
，
有3位同学选择了理政史组合，所以
，从而
所以
，
，
．……5分
（Ⅱ）从
位同学
，
中任取
位，所有可能的结果为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．……8分
设事件
表示“从这5位同学中任取2位，这两位同学科目选择恰好相同”，
则
包含的基本事件为：
，
，
，
共
个，
又基本事件的总数为
，故所求的概率
．……13分
18．（本小题共14分）
解：
（Ⅰ）因为
，所以
⊥
．
因为在等腰梯形中，
⊥
，所以在四棱锥中，
⊥
．
又
，所以
⊥面
．
因为
面
，所以
⊥
．……3分
因为等腰梯形
中，
，
，且
．
所以
，
，
．所以
．
所以
⊥
．
因为
=
所以
⊥平面
．……5分
（Ⅱ）
……7分
因为
⊥面
．
所以
．……9分
（Ⅲ）存在一点
，
为
的中点，使得
∥面
，……10分
证明：
取
中点
，
中点
，连结
，
，
，
因为
，
为中点，
所以
∥
，
=
，
因为
∥
，
=
，
所以
∥
，
=
．
所以四边形
为平行四边形．……12分
所以
∥
．
因为
面
，
面
．
所以
∥平面
．…………………………14分
19．（本小题共14分）
解：
（Ⅰ）因为点
在椭圆
上，所以
．
又因为
，所以
．
所以
．
所以椭圆
的标准方程为：
．……………………5分
（Ⅱ）设
．
设直线
：
．……………………6分
联立
，得：
．
所以
，
．……………8分
直线
的方程为
，……………9分
令
，解得
………11分
又
，
所以
．………13分
所以直线
与
轴的交点
是定点，坐标为
．………14分
20．（本小题共13分）
解：
（Ⅰ）由题意
……………1分
因为
在
点处切线方程为
，
所以
，解得
，
经检验
时满足条件．……………3分
（Ⅱ）由（I）
令
，则
或
……………4分
1当
时，
，
令
，解得
或
;
令
，解得
．
所以函数
的单调增区间为
和
，
单调减区间为
．……………6分
2当
时，
，此时，
恒成立，
且仅在
处
，
故函数
的单调增区间为
．……………7分
3当
时，
，
同理可得函数
的单调增区间为
和
，
单调减区间为
．……………9分
（Ⅲ）直线
与
的图象的交点个数是
个；…………10分
直线
与
的图象的交点个数是
个；……………11分
直线
与
的图象的交点个数是
个．……………13分
【注：
若有其它解法，请酌情给分．】
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