高考数学理科一轮复习椭圆学案带答案.docx
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高考数学理科一轮复习椭圆学案带答案
高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案
学案51 椭 圆
导学目标：
1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．
自主梳理
．椭圆的概念
在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．
集合P＝{||F1|＋|F2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
若________，则集合P为椭圆；
若________，则集合P为线段；
若________，则集合P为空集．
．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2a2＋y2b2＝1
y2a2＋x2b2＝1
图形
性
质范围－a≤x≤a
－b≤y≤b－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性对称轴：
坐标轴
对称中心：
原点
顶点A1，A2
B1，B2A1，A2
B1，B2
轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距|F1F2|＝2c
离心率e＝ca∈
a，b，c
的关系c2＝a2－b2
自我检测
．已知△ABc的顶点B、c在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在Bc边上，则△ABc的周长是
A．23B．6c．43D．12
．“>n>0”是方程“x2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条
c．充要条件D．既不充分也不必要条
．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1的焦点在y轴上，则α的取值范围是
A.3π4，πB.π4，3π4
c.π2，πD.π2，3π4
．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的
A．7倍B．5倍c．4倍D．3倍
．椭圆5x2＋y2＝5的一个焦点是，那么等于
A．－1B．1c.5D．－5
探究点一 椭圆的定义及应用
例1 一动圆与已知圆o1：
2＋y2＝1外切，与圆o2：
2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
变式迁移1 求过点A且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．
探究点二 求椭圆的标准方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
长轴是短轴的3倍且经过点A；
经过两点A和B12，3.
变式迁移2 已知椭圆过，离心率e＝63，求椭圆的标准方程；
已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1、P2，求椭圆的标准方程．
探究点三 椭圆的几何性质
例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
求椭圆离心率的范围；
求证：
△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
变式迁移3 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥o.
求椭圆的离心率e；
设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．方程思想的应用
例 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆c的离心率为12，且经过点，过点P的直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B.
求椭圆c的方程；
是否存在直线l，满足PA→•PB→＝P→2？
若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答题模板】
解 设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，
由题意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a2＝4，b2＝3.故椭圆c的方程为x24＋y23＝1.[4分]
若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y＝＋1，由x24＋y23＝1，y＝x－2＋1，
得x2－8x＋162－16－8＝0.[6分]
因为直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B，
设A，B两点的坐标分别为，，
所以Δ＝[－8]2－4••>0.
整理得32>0，解得>－12.[7分]
又x1＋x2＝82－13＋42，x1x2＝162－16－83＋42，
且PA→•PB→＝P→2，
即＋＝54，
所以＝54，
即[x1x2－2＋4]＝54.[9分]
所以[162－16－83＋42－2×82－13＋42＋4]＝4＋423＋42＝54，
解得＝±12.[11分]
所以＝12.于是存在直线l满足条件，
其方程为y＝12x.[12分]
【突破思维障碍】
直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大
于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．
．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x2＋y2n＝1，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1，这种形式在解题中更简便．
．椭圆的几何性质分为两类：
一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：
长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：
顶点坐标，焦点坐标等．类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．
．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．一、选择题
．若△ABc的两个顶点坐标分别为A、B，△ABc的周长为18，则顶点c的轨迹方程为
A.x225＋y29＝1B.y225＋x29＝1
c.x216＋y29＝1D.y216＋x29＝1
．已知椭圆x210－＋y2－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则等于
A．4B．5c．7D．8
．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是
A.32B.22c.2－1D.2
．已知圆2＋y2＝36的圆心为，设A为圆上任一点，N，线段AN的垂直平分线交A于点P，则动点P的轨迹是
A．圆B．椭圆
c．双曲线D．抛物线
．椭圆x225＋y29＝1上一点到焦点F1的距离为2，N是F1的中点，则|oN|等于
A．2B．4c．8D.32
二、填空题
．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．
．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．
如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率是______．
三、解答题
．已知方向向量为v＝的直线l过点和椭圆c：
x2a2＋y2b2＝1的右焦点，且椭圆的离心率为63.
求椭圆c的方程；
若已知点D，点，N是椭圆c上不重合的两点，且D→＝λDN→，求实数λ的取值范围．
0．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，c是AB的中点，若|AB|＝22，oc的斜率为22，求椭圆的方程．
1．已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点A，且点F为其右焦点．
求椭圆c的方程．
是否存在平行于oA的直线l，使得直线l与椭圆c有公共点，且直线oA与l的距离等于4？
若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．学案51 椭 圆
自主梳理
．椭圆 焦点 焦距 a>c a＝c a|AB|＝4.
∴点的轨迹是以点B、A为焦点、线段AB中点为中心的椭圆．
a＝3，c＝2，b＝5.
∴所求轨迹方程为x29＋y25＝1.
例2 解题导引 确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件和两个定形条件．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为x2＋ny2＝1．
解 若椭圆的焦点在x轴上，
设方程为x2a2＋y2b2＝1．
∵椭圆过点A，∴9a2＝1，
∴a＝3，又2a＝3•2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1．
∵椭圆过点A，∴9b2＝1，
∴b＝3，又2a＝3•2b，
∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.
综上可知椭圆的方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.
设经过两点A，B12，3的椭圆标准方程为x2＋ny2＝1，将A，B坐标代入方程得4n＝114＋3n＝1⇒＝1n＝14，∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.
变式迁移2 解 当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1.
当椭圆的焦点在y轴上时，
∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.
∴椭圆的标准方程为x29＋y227＝1.
∴所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.
设椭圆方程为x2＋ny2＝1．
∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，
则6＋n＝1，
①3＋2n＝1，②
①②两式联立，解得＝19，n＝13.
∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.
例3 解题导引 椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的关系．
对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式
⇔|PF1|＋|PF2|2＝2a2，4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ，S△＝12|PF1||PF2|sinθ.
解 设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，
|PF1|＝，|PF2|＝n.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
c2＝2＋n2－2ncos60°.
∵＋n＝2a，∴2＋n2＝2－2n＝4a2－2n.
∴4c2＝4a2－3n，即3n＝4a2－4c2.
又n≤＋n22＝a2，
∴4a2－4c2≤3a2.∴c2a2≥14，即e≥12.
∴e的取值范围是12，1.
证明 由知n＝43b2，∴S△PF1F2＝12nsin60°＝33b2，
即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
变式迁移3 解 ∵F1，则x＝－c，y＝b2a，
∴o＝－b2ac.∵AB＝－ba，o∥AB，
∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝ca＝22.
设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，
∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，
cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝r1＋r22－2r1r2－4c22r1r2
＝a2r1r2－1≥a2r1＋r222－1＝0，
当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．
课后练习区
．A 2.D 3.c 4.B 5.B
x236＋y29＝1 7.2 120° 8.53
．解 ∵直线l的方向向量为v＝，
∴直线l的斜率为＝3.
又∵直线l过点，
∴直线l的方程为y＋23＝3x.
∵a>b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点．
∴c＝2.又∵e＝ca＝63，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆方程为x26＋y22＝1.
若直线N⊥y轴，则、N是椭圆的左、右顶点，
λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－26.
若N与y轴不垂直，设直线N的方程为x＝y＋3．由x26＋y22＝1，x＝y＋3得y2＋6y＋3＝0.
设、N坐标分别为，，
则y1＋y2＝－62＋3，①
y1y2＝32＋3，②
Δ＝362－12＝242－36>0，∴2>32.
∵D→＝，DN→＝，D→＝λDN→，显然λ>0，且λ≠1，
∴＝λ．∴y1＝λy2.
代入①②，得λ＋1λ＝1222＋3－2＝10－362＋3.
∵2>32，得20，λ2－10λ＋1<0，
解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.
综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26，
且λ≠1.
0．解 方法一 设A、B，
代入椭圆方程并作差得
a＋b＝0.
而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝oc＝22，
代入上式可得b＝2a.
由方程组ax2＋by2＝1x＋y－1＝0，得x2－2bx＋b－1＝0，
∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，
再由|AB|＝1＋2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，
得2ba＋b2－4•b－1a＋b＝4，
将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.
∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.
方法二 由ax2＋by2＝1，x＋y＝1
得x2－2bx＋b－1＝0.
设A、B，
则|AB|＝2＋1x1－x22＝2•4b2－4a＋bb－1a＋b2.
∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①
设c，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，
∵oc的斜率为22，∴ab＝22.
代入①，得a＝13，b＝23.
∴椭圆方程为x23＋2y23＝1.
1．解 方法一 依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且可知其左焦点为F′．
从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，
解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆c的方程为x216＋y212＝1.
假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝32x＋t.
由y＝32x＋t，x216＋y212＝1，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.
因为直线l与椭圆c有公共点，
所以Δ＝2－4×3×≥0，
解得－43≤t≤43.
另一方面，由直线oA与l的距离d＝4，
得|t|94＋1＝4，解得t＝±213.
由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l不存在．
方法二 依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，
且有4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4.解得b2＝12或b2＝－3．
从而a2＝16.
所以椭圆c的方程为x216＋y212＝1.
同方法一．
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