导数及其应用.docx
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导数及其应用
导数及其应用
导数及其应用
一.设计立意及思路：
导数是高中新课程的新增内容，它既是研究函数性态的有力工具，又是对学生进行理性思维训练的良好素材。
从近几年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：
第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。
第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；
第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。
正是基于以上的认识，本专题在例题设计上也是逐层递进，而在每一个例题上又注意一题多解和多题一解，并且逐步拓展，使学生能循序渐进的掌握知识和方法，
二.高考考点回顾：
1.考试要求：
（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）。
掌握函数在某一点处的导数的定义和导数的几何意义。
理解导函数的概念。
（2）熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）。
掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。
了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。
（3）了解可导函数的单调性与其导数的关系。
了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）。
会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
2.近5年全国新课程卷对本章内容的考查情况：
三.基础知识梳理：
1.导数的有关概念。
（1）定义：
函数y=f（x）的导数f/（x），就是当∆x→0时，函数的增量∆y与自变量的增量∆x的比
∆y∆yf（x+∆x）-f（x）
的极限，即f/（x）=lim。
=lim
∆x→0∆x→0∆x∆x∆x
（2）实际背景：
瞬时速度，加速度，角速度，电流等。
（3）几何意义：
函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0,f（x0））处的切线的斜率。
2.求导的方法：
（1）常用的导数公式：
C/=0（C为常数）；（xm）/=mxm-1（m∈Q）;
（sinx）/=cosx;（cosx）/=-sinx;（ex）/=ex;（ax）/=axlna
1;x1
（logax）/=logae.
x（lnx）/=
（2）两个函数的四则运算的导数：
（u±v）/=u/±v/;（uv）/=u/v+uv/;u/v-uv/⎛u⎫
（v≠0）.⎪=2
v⎝v⎭
/
（3）复合函数的导数：
y/x=y/u⋅u/x3.导数的运用：
（1）判断函数的单调性。
当函数y=f（x）在某个区域内可导时，如果f/（x）>0，则f（x）为增函数；如果f（x）
（2）极大值和极小值。
设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f（x）f（x0））,我们就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值（或极小值）。
（3）函数f（x）在[a,b]上的最大值和最小值的求法。
四.例题讲解：
例1.
（1）试述函数y=f（x）在x=0处的导数的定义；
（2）若f（x）在R上可导，且f（x）=-f（x），求f/（0）。
（1）解：
如果函数y=f（x）在x=0处的改变量△y与自变量的改变量△x之比
∆yf（0+∆x）-f（0）
，当∆x→0时有极限，这极限就称为y=f（x）在x=0=
∆x∆x
f（0+∆x）-f（0）
。
∆x
/
处的导数。
记作f/（0）=lim
∆x→0
（2）解法一：
∵f（x）=f（-x），则f（△x）=f（-△x）
∴f/（0）=lim
∆x→0
f（∆x）-f（0）f（-∆x）-f（0）
=-lim
∆x-∆x∆x→0
当∆x→0时，有-∆x→0∴f/（0）=-lim∴f/（0）=0。
解法二：
∵f（x）=f（-x），两边对
f/（x）=f/（x）⋅（-x）/=-f/（x）
-∆x→0
f（-∆x）-f（0）
=-f/（0）
-∆x
x求导，得
∴f/（0）=-f/（0）∴f/（0）=0。
评析：
本题旨在考查学生对函数在某一点处的定义的掌握。
题
（2）
可对其几何意义加以解释：
由于f（x）=f（-x）,所以函数y=f（x）为偶函数，它的图象关于y轴对称，因此它在x=x0处的切线关于y轴对称，斜率为互为相反数，点（0,f（0））位于y轴上，且f/（0）存在，故在该点的切线必须平行x轴（当f（0）=0时，与x轴重合），于是有f（0）=0。
在题
（2）的解二中可指出：
可导的偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：
可导的奇函数的导函数为偶函数吗？
例
lim
/
2.设f（x）在点x0处可导，a为常数，则
∆x→0
f（x0+a∆x）-f（x0-a∆x）
等于（）
∆x
A.f/（x0）B.2af/（x0）C.af/（x0）D.0解：
f（x0+a∆x）-f（x0-a∆x）∆x→0∆x
f（x0+a∆x）-f（x0）+f（x0）-f（x0-a∆x）=lim∆x→0∆x
f（x0+a∆x）-f（x0）f（x0-a∆x）-f（x0）
=alim+alima∆x→0-a∆x→0a∆x-a∆x=2af/（x0）lim
故选（C）
评析：
在例1的基础之上，本题旨在巩固学生对函数在某一点处的
导数的定义的掌握。
例3.一汽车以50km/h的速度沿直线驶出，同时，一气球以10km/h
的速度离开此车直线上升，求1h后它们彼此分离的速度。
（人教版高三数学教材（选修Ⅱ）第三章复习参考题B组第6题）
解：
以汽车和气球运动方向所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标
系系（如图），t时刻汽车位于（50t,0）处，气球位于（0,10t）处，
则两汽车和气球的距离s=（50t）2+（10t）2
s/（t）=
11
⋅⋅（2⨯502t+2⨯102t）2（50t）2+（10t）2
令t=1,
s/
（1）=
11⋅⋅（2⨯502+2⨯102）2（50）2+（10）2
=1026
故1h后它们彼此分离的速度为1026km/h。
（例3图）
评析：
本题考查学生对导数的某些实际背景的了解，要求学生能熟
练运用复合函数的求导法则。
而且考查了学生的画图识图能力，考查了学生用所学数学知识处理实际问题的能力。
2019年全国高考湖北卷（数学理科）第16题就是由本题改编而成。
例4.已知抛物线C：
y=x2+2x，按下列条件求切线方程：
（1）切线过曲线上一点（1，3）。
拓展：
已知抛物线C1：
y=x2+2x和C2：
y=-x2+a，如果直线l同时是
C1和C2的切线，当a取何值时，C1和C2有且仅有一条切线？
写出此公切线的方程。
（2019年全国高考卷新课程（数学文科））
（2）切线过抛物线外的一点（1，1）。
（3）切线的斜率为2。
拓展：
点P为抛物线C:
：
y=x2+2x上任意一点，则点P到直线y=2x-2
的最小距离为_______。
评析：
本题考查曲线y=f（x）在点x0处的导数的几何意义：
曲线y=f（x）
在点P（x0,y0）处切线的斜率。
以题组的形式通过不同角度让学生熟练掌握导数几何意义的应用。
第
（1）小题的拓展是将第
（1）小题中的点一般化，考查内容是一样的，是在第
（1）小题的基础上有所提高，激发学生的兴趣。
第（3）小题的拓展与第（3）小题解法类似，只是在出题上换个角度，属多题一解的类型。
例5.设f/（x）是函数f（x）的导函数，y=f/（x）的图象如右图所示，则
y=f（x）的图象最有可能是（）
（2019年全国高考浙江卷（数学理科）第11题）
答案：
（C）
评析：
此题以直观的角度揭示了可导函数的单调性和其导数的关系。
令f（x）=
13
x-x2+1，可由对此题的分析，结合图象作以下拓展：
3
（1）求f（x）的极值；
在此处注意结合图形让学生理解极值的有关概念。
如让学生判断下
列说法是否正确：
①极大值一定比极小值大；②区间的端点一定是极值点；③导数为0的点一定是极值点；④极值点一定是导数为0的点。
从而进一步强调求极值的方法。
（2）求y=f（x）在x∈[0,3]上的最值；
让学生辨析极值和最值的区别，让学生进一步熟悉利用导数求函数
最值的基本思路。
（3）用总长为14.8的钢条制做一个长方形的框架，如果所制做容器
的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少是容器的容积最大？
并求出它的最大容积。
（2002年全国新课程高考卷（理科）第20题）
此题为题
（2）的类似拓展，强调了导数在实际生活中的应用。
（4）解不等式f（x）≥1。
导数是分析函数单调性的有力工具，故有很多问题如：
证明不等式、
解不等式、解方程、分析方程根的个数等等都可以转化为利用函数单调性处理，进而用导数方法求解。
例6.设函数f（x）=
x2+1-ax，其中a>0。
（1）求f（x）的单调区间；
（2）解不等式f（x）≤1。
解：
（1）f/（x）=
xx+1xx2+1
2
-a
①当a≥1时，有
∴函数f（x）在区间（-∞,+∞）上是单调递减函数。
②当0
a-a
2
a-a
2
，
∴f（x）在区间（-∞,]上是单调递减函数。
解不等式f/（x）>0得x>
a-a
2
a-a
2
，
∴f（x）在区间[,+∞）上是单调递增函数。
（2）当a≥1时,∵函数f（x）在区间（-∞,+∞）上是单调递减函数,由f（0）=1,
∴当且仅当x≥0时f（x）≤1.当0
a-a
2
a-a
2
]上是单调递减函数,
f（x）在区间[,+∞）上是单调递增函数,
由f（x）=1得x=0或x=且0
a-a2
2a
，2
1-a
2a
1-a2
∴当且仅当0≤x≤综上可得：
2a
时，f（x）≤1.2
1-a
当a≥1时，f（x）≤1的解集为{x|x≥0};当0
2a
}。
2
1-a
评析：
本题是将2000年全国高考新课程卷（理科）第19题稍作改
动而得到。
使学生在例5中题（4）的基础上进一步熟悉运用导数解决函数单调性的问题。
并在解题过程中考查学生对求导公式和法则的熟练运用。
五.思维能力训练：
（一）选择题：
2x≥0
1.已知函数那么y/|x=0的值为（）A.0B.1C.1或0D.不存在2.已知曲线C:
y=3x-x3及点P（2,2），则过点P可向C引切线的条数为
（）
A.0B.1C.2D.3
3.下列求导的式子中正确的是（）
A.[cos（1-x）]/=-sin（-x）B.（eπx）/=eπ+eπx
11
C.（ax）/=xax-1D.（ln）/=-
xx
1π
4．函数y=asinx+sin3x在x=处有极值，则（）
33
1
A.a=2B.a=1C.a=D.a=-2
2
5.函数y=x3-3x，x∈[a2+1,2]的最小值是a2-1，则实数a的值是
（）
11
C.a=-D.122
6.若f（x）=ax3+bx2+cx+d（a>0）为增函数，则（）
A.b2-4ac>0B.b>0,c>0C.b=0,c>0D.b2-3ac
7.对函数f（x），已知f（3）=2，f/（3）=-2，则
A.0B.a=
lim
2x-3f（x）
=___________。
x→3x-3
8.某日中午12时整，6船自A处以16km/h的速度向正东行驶，乙船
自A的正北18km处以24km/h的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率是_______km/h。
（2019年全国高考湖北卷（理科）16题）
（三）解答题：
9.设抛物线C:
y=x2（x≥0）上的点P0（x0,y0），过P0做曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1（x1,y1），然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线交于P2（x2,y2），仿此作出以下各点：
P0,Q1,P1,Q2,P2,Q3…,Pn,Qn+1,…,已知x0=1。
（1）求过P0的切线方程；
（2）
求lim（x0+x1+x2++xn）的值。
n→∞
10.如果f（x）=x2+1，g（x）=f[f（x）],设F（x）=g（x）-λ（x），问是否存在适当的λ，使f（x）在（-∞,-
22
0）上是增函数？
）上是减函数，在（-22
若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由。
11.在半径为R的球内，内接一个圆柱，问该圆柱的高为多少时，其体积最大？
参考答案：
（一）1.（D）2.（D）3.（D）4.（A）5.（A）6.（D）
（二）7.88.-1.6
（三）9.
（1）2x-y-1=0;
（2）2
10.λ=311.x=
积最大。
[参考文献]
223
R时圆柱的体R，即圆柱的高为33
1.《热点重点难点专题透析》，吉林文史出版社，2019年10月2.《高中新教材导教导学》，北京师范大学出版社，2019年4月3．《数学通讯》，2019年11月
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