人教版八年级上册数学课堂同步练习全等三角形三.docx

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人教版八年级上册数学课堂同步练习全等三角形三

人教版八年级上册数学课堂同步练习：

全等三角形（三）

1．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝AE，BC＝DE，连接CE交BD于点F．求证：

BF＝DF

小明经探究发现，过B点作∠CBG＝∠EDF，交CF于点G（如图2），从而可证△DEF≌△BCG，使问题得到解决

（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程：

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

（2）如图3，在△ABC与△BDE中，∠ABC＝∠BDE，BC＝DE，AB＝BD，CF、EG分别为AB、BD的中线，连结FG并延长交CE于点H，是否存在与CH相等的线段？

若存在，请找出并证明；若不存在，说明理由．

2．如图，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，满足AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF，连接AF；

（1）求证：

∠B＝∠C；

（2）若∠B＝40°，∠DFC＝30°，当AF平分∠BAE时，求∠BAF．

3．如图，点F、G分别是正五边形ABCDE边BC、CD上的点，且BF＝CG，AF与BG交于点H．

（1）求证：

△ABF≌△BCG

（2）求∠AHG的度数．

4．如图，有一条两岸平行的河流，一数学实践活动小组在无法涉水过河情况下，成功测得河的宽度，他们的做法如下：

①正对河流对岸的一棵树A，在河的一岸选定一点B；

②沿河岸直走15步恰好到达一树C处，继续前行15步到达D处；

③自D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处时，停止行走；

④测得DE的长就是河宽．

请你运用所学知识说明他们做法是正确的．

5．如图，AD⊥BC于D，AD＝BD，AC＝BE．

（1）请说明∠1＝∠C；

（2）猜想并说明DE和DC有何特殊关系．

6．已知：

如图，点E，D，B，F在同一条直线上，AD∥CB，∠BAD＝∠BCD，DE＝BF．求证：

（1）AD＝BC；

（2）AE∥CF．

7．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8，BC＝6，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．

（1）用含t的代数式表示线段PC的长；

（2）若点P、Q的运动速度相等，t＝1时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．

（3）若点P、Q的运动速度不相等，△BPD与△CQP全等时，求a的值．

8．已知：

AB＝AC，AF＝AG，AE⊥BG交BG的延长线于E，AD⊥CF交CF的延长线于D．求证：

AD＝AE．

9．如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：

AB＝CD．

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM＝AC，过点M作ME∥BC交AB于点E，

（1）试说明△ABC与△MED全等；

（2）若∠M＝35°，求∠B的度数？

11．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．

（1）求证：

AC＝DF；

（2）若∠D＝65°，求∠EGC的大小．

12．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．

（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；

（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？

请说明理由．

13．如图

（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图

（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值．

14．如图，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，点F是AD上一点，FE的延长线交BC延长线BH于点G．

（1）若∠DBE＝40°，∠EBC＝35°，求∠BDE的度数；

（2）求证∠EGH＞∠ADE；

（3）若点E是AC和FG的中点，△AFE与△CEG全等吗？

请说明理由．

15．已知：

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．

（1）求证△CDF≌△EDB；

（2）请你判断BE+DE与DF的大小关系，并证明你的结论．

16．如图，AD⊥BC于D，AD＝BD，AC＝BE．

（1）证明：

∠BED＝∠C；

（2）猜想并说明BE和AC有什么数量和位置关系．

17．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．

求证：

（1）△AEF≌△CEB；

（2）AF＝2CD．

18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m）、B（n，0），且|m﹣n﹣3|+

＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．

（1）求OA、OB的长；

（2）连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；

（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

19．如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．

（1）求证：

△ABC≌△DEF．

（2）求证：

AO＝OD．

20．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．

（1）求证：

CD⊥AB；

（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

①求证：

DE平分∠BDC；

②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；

③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．

参考答案

1．

（1）证明：

∵∠ACB＝∠AED＝90°，

∴∠DEF+∠AEC＝∠ACE+∠BCG＝90°，

∵AE＝AC，

∴∠AEC＝∠ACE，

∴∠DEF＝∠BCG，

在△BCG与△DEF中

，

∴△BCG≌△DEF，（ASA），

∴BG＝DF，∠BGC＝∠DFC，

∴∠BGF＝∠BFG，

∴BF＝BG，

∴BF＝DF；

（2）解：

CH＝EH，

理由：

如图3，延长FH至L，使HL＝FG，连接LE，

则HL+HG＝FG+HG，即LG＝FH，

∵AB＝BD，CF、EG分别为AB、BD的中线，

∴BF＝

AB，DG＝

BD，

∴BF＝DG，

∵BC＝DE，∠CBF＝∠EDG，

∴△BCF≌△DEG（SAS），

∴CF＝EG，∠BFC＝∠DGE，

∵BG＝

BD，BF＝

AB，

∴BG＝BF，

∴∠BFG＝∠BGF，

∵∠BGF＝∠DGH，

∴∠CFH＝∠EGL，

在△CFH与△EGL中，

，

∴△CFH≌△EGL，（SAS），

∴CH＝EL，∠ELH＝∠CHF，

∴∠ELH＝∠EHL，

∴EH＝EL，

∴EH＝CH．

2．

（1）证明：

∵CE＝BF，

∴CE+EF＝BF+EF，

∴BE＝CF，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SSS），

∴∠B＝∠C；

（2）解：

由

（1）得：

△ABE≌△DCF，

∴∠AEB＝∠DFC＝30°，

∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝180°﹣40°﹣30°＝110°，

∵AF平分∠BAE，

∴∠BAF＝

∠BAE＝

×110°＝55°．

3．

（1）证明：

∵正五边形ABCDE，

∴AB＝BC，∠ABF＝∠C，

∴在△ABF和△BCG中

，

∴△ABF≌△BCG（SAS）；

（2）解：

∵△ABF≌△BCG，

∴∠BAF＝∠CBG，

∵∠BAF+∠ABH＝∠AHG，

∴∠CBH+∠ABH＝∠AHG＝∠ABC＝

＝108°．

∴∠AHG＝108°．

4．解：

∵AB⊥BD，ED⊥BD，

∴∠ABC＝∠EDC＝90°．

在△ABC与△EDC中，

，

∴△ABC≌△EDC（ASA），

∴DE＝AB，即测得DE的长就是河宽．

5．解：

（1）∵AD⊥BC于D，

∴∠BDE＝∠ADC＝90°．

∵AD＝BD，AC＝BE，

∴△BDE≌△ADC（HL）．

∴∠1＝∠C．

（2）由

（1）知△BDE≌△ADC．

∴DE＝DC．

6．证明：

（1）∵AD∥CB，

∴∠ADB＝∠CBD，

在△ADB和△CBD中

∴△ADB≌△CBD（AAS），

∴AD＝BC；

（2）∵∠ADB＝∠CBD，∠ADB+∠EDA＝180°，∠CBD+∠FBC＝180°，

∴∠EDA＝∠FBC，

在△EDA和△FBC中

∴△EDA≌△FBC（SAS），

∴∠E＝∠F，

∴AE∥CF．

7．解：

（1）PC＝BC﹣BP＝6﹣2t；

（2）∵t＝1时，PB＝2，CQ

＝2，

∴PC＝BC﹣PB＝6﹣2＝4，

∵BD＝AD＝4，

∴PC＝BD，

∵∠C＝∠B，CQ＝BP，

∴△QCP≌△PBD．

（3）∵点P、Q的运动速度不相等，

∴BP≠CQ，

又∵△BPD与△CPQ全等，∠B＝∠C，

∴BP＝PC，BD＝CQ，

∴2t＝6﹣2t，at＝4，

解得：

t＝

，a＝

．

8．证明：

在△AFC与△AGB中

，

∴△AFC≌△AGB（SAS），

∴∠AFC＝∠AGB，

∴∠AFD＝∠AGE，

∵AE⊥BG交BG的延长线于E，AD⊥CF交CF的延长线于D．

∴∠ADF＝∠AEG＝90°，

在△ADF与△AEG中

，

∴△ADF≌△AEG（AAS），

∴AD＝AE．

9．证明：

∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，

∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，

∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，

∴∠ACB＝∠CED．

在△ABC和△CDE中，

，

∴△ABC≌△CDE（ASA），

∴AB＝CD．

10．解：

（1）理由：

∵MD⊥AB，

∴∠MDE＝∠C＝90°，

∵ME∥BC，

∴∠B＝∠MED，

在△ABC与△MED中，

，

∴△ABC≌△MED（AAS）．

（2）由

（1）知△ABC≌△MED，

∴∠A＝∠M＝35°，在Rt△ABC中，

∠B＝90°﹣35°＝55°．

11．证明：

如图所示：

（1）∵BC＝BE+EC，EF＝CF+EC，BE＝CF，

∴BC＝EF，

又∵AB∥DE，

∴∠B＝∠DEC，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS），

∴AC＝DF；

（2）∵△ABC≌△DEF，

∴∠F＝∠ACB，

∴DF∥AC，

∴∠D＝∠EGC，

又∵∠D＝65°，

∴∠EGC＝65°．

12．解：

（1）∵∠B＝70°，AB＝AD，

∴∠ADB＝∠B＝70°，

∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，

∴∠BAD＝40°，

∵∠CAE＝∠BAD，

∴∠CAE＝40°，

∵AE∥BC，

∴∠C＝∠CAE＝40°；

（2）AD平分∠BDE，

理由是：

∵∠BAD＝∠CAE，

∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，

即∠BAC＝∠DAE，

在△BAC和△DAE中，

，

∴△BAC≌△DAE（SAS）

∴∠B＝∠ADE，

∵∠B＝∠ADB，

∴∠ADE＝∠ADB，

即AD平分∠BDE．

13．解：

（1）△ACP≌△BPQ，

∵AC⊥AB，BD⊥AB

∴∠A＝∠B＝90°

∵AP＝BQ＝2，

∴BP＝5，

∴BP＝AC，

在△ACP和△BPQ中，

，

∴△ACP≌△BPQ；

∴∠C＝∠BPQ，

∵∠C+∠APC＝90°，

∴∠APC+∠BPQ＝90°，

∴∠CPQ＝90°，

∴PC⊥PQ；

（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，

①若△ACP≌△BPQ，

则AC＝BP，AP＝BQ，可得：

5＝7﹣2t，2t＝xt

解得：

x＝2，t＝1；

②若△ACP≌△BQP，

则AC＝BQ，AP＝BP，可得：

5＝xt，2t＝7﹣2t

解得：

x＝

，t＝

．

14．

（1）解：

∵DE∥BC，∠EBC＝35°，

∴∠DEB＝∠EBC＝35°，

又∵∠BDE+∠DEB+∠DBE＝180°，∠DBE＝40°，

∴∠BDE＝105°；

（2）证明：

∵∠EGH是△FBG的外角，

∴∠EGH＞∠ABC，

又∵DE∥BC，

∴∠ABC＝∠ADE，

∴∠EGH＞∠ADE；

（3）全等．

证明：

E是AC和FG的中点，

∴AE＝CE，FE＝GE，

在△AFE和△CEG中，

，

∴△AFE≌△CEG（SAS）．

15．证明：

（1）∵DE⊥AB，CD⊥AC，

∴∠C＝∠DEB．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴CD＝DE．

∵BD＝DF，

∴△CDF≌△EDB（HL）．

（2）BE+DE＞DF．

∵△CDF≌△EDB，

∴CF＝EB．

∴BE+DC＞DF（三角形的两边之和大于第三边）．

16．

（1）证明：

∵AD⊥BC于D，AD＝BD，AC＝BE，

∴△ACD≌△BED（HL），

∴∠BED＝∠C；

（2）解：

BE和AC的数量和位置关系为：

BE＝AC，BE⊥AC．理由如下：

∵△ACD≌△BED（已证得），

∴BE＝AC；

延长BE交AC于F，

∵∠EBD+∠BED＝90°，∠BED＝∠C（已证得），

∴∠EBD+∠C＝90°，即BE⊥AC．

17．证明：

（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，

∴∠AEF＝∠CEB＝90°．

即∠AFE+∠EAF＝∠CFD+∠ECB＝90°．

又∵∠AFE＝∠CFD，

∴∠EAF＝∠ECB．

在△AEF和△CEB中，

∴△AEF≌△CEB（AAS）；

（2）∵△AEF≌△CEB，

∴AF＝BC，

∵AB＝AC，AD⊥BC

∴CD＝BD，BC＝2CD．

∴AF＝2CD．

18．解：

（1）∵|m﹣n﹣3|+

＝0，

且|m﹣n﹣3|≥0，

≥0

∴|m﹣n﹣3|＝

＝0，

∴n＝3，m＝6，

∴点A（0，6），点B（3，0）．

∴OA＝6，OB＝3；

（2）连接PB，

t秒后，AP＝t，OP＝|6﹣t|，

∴S＝

OP•OB＝

|6﹣t|；（t≥0）

（3）作出图形，

∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠APD＝90°，∠OPE＝∠APD，

∴∠OBA＝∠OPE，

∴只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB，

∴AP＝AO﹣OP＝3，或AP′＝OA+OP′＝9

∴t＝3或9．

19．

（1）证明：

∵AB∥DE，

∴∠B＝∠C，

∵AC∥FD，

∴∠BCA＝∠EFD，

∵FB＝EC，

∴BC＝EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA）

（2）证明：

∵△ABC≌△DEF，

∴AC＝CF，∠ACB＝∠DFE，

在△ACO和△DFO中，

，

∴△ACO≌△DFO（AAS），

∴AO＝OD．

20．

（1）证明：

∵CB＝CA，DB＝DA，

∴CD垂直平分线段AB，

∴CD⊥AB．

（2）①证明：

∵AC＝BC，

∴∠CBA＝∠CAB，

又∵∠ACB＝90°，

∴∠CBA＝∠CAB＝45°，

又∵∠CAD＝∠CBD＝15°，

∴∠DBA＝∠DAB＝30°，

∴∠BDE＝30°+30°＝60°，

∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD＝15°，

∴BD＝AD，

在△ADC和△BDC中，

，

∴△ADC≌△BDC（SAS），

∴∠ACD＝∠BCD＝45°，

∴∠CDE＝60°，

∵∠CDE＝∠BDE＝60°，

∴DE平分∠BDC；

②解：

结论：

ME＝BD，

理由：

连接MC，

∵DC＝DM，∠CDE＝60°，

∴△MCD为等边三角形，

∴CM＝CD，

∵EC＝CA，∠EMC＝120°，

∴∠ECM＝∠BCD＝45°

在△BDC和△EMC中，

，

∴△BDC≌△EMC（SAS），

∴ME＝BD．

③当EN＝EC时，∠ENC＝7.5°或82.5°；当EN＝CN时，∠ENC＝150°；当CE＝CN时，∠CNE＝15°，

所以∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°．