高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义复习课一 任意角的三角函数及三角恒等变换 Word版含答案.docx
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高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义复习课一任意角的三角函数及三角恒等变换Word版含答案
复习课
（一） 任意角的三角函数及三角恒等变换
三角函数的定义
1．题型多以选择题、填空题为主，一般难度较小．主要考查三角函数的定义的应用，多与求三角函数值或角的大小有关．
2．若角α的终边上任意一点P（x，y）（原点除外），r＝|OP|＝
，则sinα＝
，cosα＝
，tanα＝
（x≠0）．
[典例] 已知角α的终边过点P（－3cosθ，4cosθ），其中θ∈
，则sinα＝________，tanα＝________.
[解析] ∵θ∈
，∴cosθ＜0，∴r＝
＝
＝－5cosθ，故sinα＝
＝－
，tanα＝
＝－
.
[答案] －
－
[类题通法]
利用三角函数定义求函数值的方法
当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时，一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值，再求其他．但当角经过的点不固定时，需要进行分类讨论．
求与正切函数有关问题时，不要忽略正切函数自身的定义域．
1．已知角α的终边上一点的坐标为
，则角α的最小正值为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选C 由三角函数的定义知：
tanα＝
＝
＝
＝－
.
又sin
＞0，cos
＜0.
所以α是第四象限角，因此α的最小正值为
.
2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（ ）
A．－
B．－
C.
D.
解析：
选B 在角θ的终边上任取一点P（a,2a）（a≠0）．
则r2＝|OP|2＝a2＋（2a）2＝5a2.
所以cos2θ＝
＝
，
cos2θ＝2cos2θ－1＝
－1＝－
.
3．若θ是第四象限角，则点P（sinθ，tanθ）在第________象限．
解析：
因θ是第四象限角，则sinθ＜0，tanθ＜0，
∴点P（sinθ，tanθ）在第三象限．
答案：
三
同角三角函数间的基本关系及诱导关系
1．题型既有选择题、填空题，又有解答题．主要考查三角函数式的化简与求值，利用公式进行恒等变形以及基本运算能力．
2．
（1）牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及
＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．
（2）诱导公式可概括为k·
±α（k∈Z）的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：
奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指
的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．
[典例] 已知
＝－4，求（sinθ－3cosθ）·（cosθ－sinθ）的值．
[解] 法一：
由已知
＝－4，
∴2＋tanθ＝－4（1－tanθ），
解得tanθ＝2.
∴（sinθ－3cosθ）（cosθ－sinθ）
＝4sinθcosθ－sin2θ－3cos2θ
＝
＝
＝
＝
.
法二：
由已知
＝－4，
解得tanθ＝2.
即
＝2，∴sinθ＝2cosθ.
∴（sinθ－3cosθ）（cosθ－sinθ）
＝（2cosθ－3cosθ）（cosθ－2cosθ）
＝cos2θ＝
＝
＝
.
[类题通法]
三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧
（1）化弦：
当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．
（2）化切：
当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．
（3）“1”的代换：
在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式．
1．若sin（π－α）＝－
且α∈
，则sin
＝（ ）
A．－
B．－
C.
D.
解析：
选A sin（π－α）＝sinα＝－
，又α∈
，
所以sin
＝cosα＝－
＝－
＝－
.
2．如果tanθ＝2，那么1＋sinθcosθ＝（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选B 1＋sinθcosθ＝
＝
＝
，
又tanθ＝2，
所以1＋sinθcosθ＝
＝
.
3．计算：
sin
cos
＝________.
解析：
因为sin
＝sin
＝－sin
＝－
，
cos
＝cos
＝cos
＝cos
＝
，
所以sin
cos
＝－
×
＝－
.
答案：
－
4．已知sin（180°＋α）＝－
，0°＜α＜90°，
求
的值．
解：
由sin（180°＋α）＝－
，0°<α<90°，
得sinα＝
，cosα＝
，
∴原式＝
＝
＝
＝2.
简单的三角恒等变换
1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查给角求值、给值求值、给值求角、三角函数式的化简以及利用三角恒等变换研究函数的性质等．
2．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ；
（2）cos（α±β）＝cosαcosβ∓sinαsinβ；
（3）tan（α±β）＝
.
3．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）sin2α＝2sinαcosα；
（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
（3）tan2α＝
.
[典例] （广东高考）已知tanα＝2.
（1）求tan
的值；
（2）求
的值．
[解]
（1）tan
＝
＝
＝－3.
（2）
＝
＝
＝
＝1.
[类题通法]
解决条件求值应学会的三点
（1）分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．
（2）正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．
（3）求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．
1．（重庆高考）若tanα＝
，tan（α＋β）＝
，则tanβ＝（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选A tanβ＝tan[（α＋β）－α]
＝
＝
＝
.
2．计算：
cos
cos
＝________.
解析：
cos
cos
＝cos
sin
＝
sin
＝
.
答案：
.
3．已知0＜α＜
，0＜β＜
，且tan（α＋β）＝2tanα.
4tan
＝1－tan2
，则α＋β＝________.
解析：
∵4tan
＝1－tan2
，
∴tanα＝
＝
＝
，
∴tan（α＋β）＝2tanα＝2×
＝1.
∵0＜α＜
，0＜β＜
，
∴α＋β∈
，∴α＋β＝
.
答案：
4．在△ABC中，sinB＝cosA，若sinC－sinAcosB＝
，且B为钝角，求A，B，C.
解：
因为sinC－sinAcosB＝sin[180°－（A＋B）]－sinAcosB＝sin（A＋B）－sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝cosAsinB，
所以cosAsinB＝
.
因sinB＝cosA，因此sin2B＝
.
又B为钝角，所以sinB＝
，故B＝120°.
由cosA＝sinB＝
，知A＝30°.
从而C＝180°－（A＋B）＝30°.
综上所述，A＝30°，B＝120°，C＝30°.
1．若cosα＝－
，且角α的终边经过点P（x,2），则P点的横坐标x是（ ）
A．2
B．±2
C．－2
D．－2
解：
选D r＝
，由题意得
＝－
，
∴x＝－2
.故选D.
2．若－2π＜α＜－
，则
的值是（ ）
A．sin
B．cos
C．－sin
D．－cos
解析：
选D
＝
＝
＝
，
∵－2π＜α＜－
，∴－π＜
＜－
，
∴cos
＜0，∴
＝－cos
.
3．若α∈
，且sin2（3π＋α）＋cos2α＝
，则tanα的值等于（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选D ∵sin2（3π＋α）＋cos2α＝
，∴sin2α＋（1－2sin2α）＝
，即cos2α＝
.又α∈
，∴cosα＝
，则α＝
，∴tanα＝tan
＝
，故选D.
4．已知sinα－cosα＝－
，则tanα＋
的值为（ ）
A．－5B．－6
C．－7D．－8
解析：
选D ∵sinα－cosα＝－
，
∴1－2sinαcosα＝
，
∴sinαcosα＝－
，
∴tanα＋
＝
＋
＝
＝－8.
5．若3sinα＋cosα＝0，则
的值为（ ）
A.
B.
C.
D．－2
解析：
选A ∵3sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－
，
∴
＝
＝
＝
＝
，故选A.
6．已知sin（α－β）＝
，cos（α＋β）＝－
，且α－β∈
，α＋β∈
，则cos2β的值为（ ）
A．1B．－1
C.
D．－
解析：
选C 由题意知cos（α－β）＝－
，sin（α＋β）＝
，所以cos2β＝cos[α＋β－（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝
×
＋
×
＝
.
7．在0°～720°中与
角终边相同的角为________．
解析：
因为
π＝
π×
°＝72°，
所以终边与
角相同的角为θ＝72°＋k·360°（k∈Z），
当k＝0时，θ＝72°；
当k＝1时，θ＝432°，
所以在0°～720°中与
角终边相同的角为72°，432°.
答案：
72°，432°
8．已知α为钝角，sin
＝
，则sin
＝_______________________.
解析：
因为cos
＝sin
＝
，
所以cos
＝
.
因为α为钝角，即
＜α＜π，
所以－
＜
－α＜－
，
所以sin
＜0，
则sin
＝－
＝－
.
答案：
－
9．已知θ为第二象限角，tan2θ＝－2
，则
＝________.
解析：
∵tan2θ＝
＝－2
，
∴tanθ＝－
或tanθ＝
.
∵
＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z，
∴tanθ＜0，∴tanθ＝－
，
＝
＝
＝
＝
＝3＋2
.
答案：
3＋2
10．求值：
.
解：
＝
＝
＝
＝
.
11．已知cosα－sinα＝
，且π＜α＜
，求
的值．
解：
∵cosα－sinα＝
，
∴1－2sinαcosα＝
，
∴2sinαcosα＝
.
又∵α∈
，
∴sinα＋cosα＝－
＝－
，
∴
＝
＝
＝
＝－
.
12．已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝（2sinα，5sinα－4cosα），
α∈
，且a⊥b.
（1）求tanα的值；
（2）求cos
的值．
解：
（1）∵a⊥b，∴a·b＝0.
而a＝（3sinα，cosα），b＝（2sinα，5
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