角平分线的性质.docx

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角平分线的性质

2017年08月13日sun****chun的初中数学组卷

一．选择题（共11小题）

1．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（　　）

A．1B．2C．

D．4

2．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：

S△BCO：

S△CAO等于（　　）

A．1：

1：

1B．1：

2：

3C．2：

3：

4D．3：

4：

5

3．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（　　）

A．PN＜3B．PN＞3C．PN≥3D．PN≤3

4．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处B．二处C．三处D．四处

5．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到两边距离相等的点应是（　　）

A．C点B．D点C．E点D．F点

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，∠C的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，则∠AEB是（　　）

A．50°B．45°C．40°D．35°

7．如图，在CD上找一点P，使得它到OA、OB的距离相等，则应找到（　　）

A．线段CD的中点B．CD与∠AOB平分线的交点

C．OC垂直平分线与CD的交点D．OD垂直平分线与CD的交点

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（　　）

A．mnB．5mnC．7mnD．6mn

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　　）

A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

10．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（　　）

A．PC=PDB．∠CPD=∠DOPC．∠CPO=∠DPOD．OC=OD

11．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　）

A．OE是∠AOB的平分线B．OC=OD

C．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE

二．填空题（共8小题）

12．如图，已知：

△ABC中，∠C=90°，AC=40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：

DC=5：

3，则D点到AB的距离是　　．

13．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=2，则△ABD的面积为　　．

14．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8，则点P到BC的距离是　　．

15．如图所示，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的面积是　　．

16．如图，∠A=90°，∠ABC的角平分线交AC于E，AE=3，则E到BC的距离为　　．

17．如图在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=10，则△BDE的周长等于　　．

18．如图所示，△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC=10cm，CD=6cm，则DE的长为　　cm．

19．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45cm2，AB=16cm，AC=14cm，则DE=　　．

三．解答题（共7小题）

20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．

求证：

DE=BF．

21．如图AB=AC，BD=CD，DE⊥BA，点E为垂足，DF⊥AC，点F为垂足，求证：

DE=DF．

22．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积为36cm2，AB=18cm，BC=12cm，求DE的长．

23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FH⊥BC于点H，求证：

AE=FH．

24．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：

△DBE的周长等于AB．

25．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如图：

一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：

“射线OP就是∠BOA的角平分线．”你认为小明的想法正确吗？

请说明理由．

26．已知：

如图AB∥CE，BE平分∠ABC，CP平分∠BCE交BE于点P．

（1）求证：

△BCP是直角三角形；

（2）若BC=5，S△BCP=6，求AB与CE之间的距离．

2017年08月13日sun****chun的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）

1．（2017•台州）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（　　）

A．1B．2C．

D．4

【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质解答．

【解答】解：

作PE⊥OA于E，

∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，

∴PE=PD=2，

故选：

B．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

2．（2017•石家庄模拟）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：

S△BCO：

S△CAO等于（　　）

A．1：

1：

1B．1：

2：

3C．2：

3：

4D．3：

4：

5

【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是2：

3：

4．

【解答】解：

利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．

故选C．

【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的．

3．（2017•龙岩一模）如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（　　）

A．PN＜3B．PN＞3C．PN≥3D．PN≤3

【分析】作PM⊥OB于M，根据角平分线的性质得到PM=PE，得到答案．

【解答】解：

作PM⊥OB于M，

∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，

∴PM=PE=3，

∴PN≥3，

故选：

C．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

4．（2017春•开江县期末）如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处B．二处C．三处D．四处

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．

【解答】解：

如图所示，加油站站的地址有四处．

故选D．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键，作出图形更形象直观．

5．（2017春•北海期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到两边距离相等的点应是（　　）

A．C点B．D点C．E点D．F点

【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点C、D、E、F中的哪一点在∠AOB的平分线上．

【解答】解：

从图上可以看出点E在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．

所以点E到∠AOB两边的距离相等．

故选C．

【点评】本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键．

6．（2017春•昌江区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，∠C的平分线与∠ABC的外角的平分线交于E点，则∠AEB是（　　）

A．50°B．45°C．40°D．35°

【分析】首先求得AE也是∠BAC的外角的平分线，根据平角的定义和角平分线的定义求得∠EAB，∠EBA的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得∠AEB．

【解答】解：

∵E在∠C的平分线上，

∴E点到CB的距离等于E到AC的距离，

∵E在∠B的外角的平分线上，

∴E点到CB的距离等于E到AB的距离，

∴E点到AC的距离等于E到AB的距离，

∴AE是∠BAC的外角的平分线．

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，

∴∠ABC=60°，

，

∵EB是∠ABC的外角的平分线，

∴∠ABE=60°，

∴∠AEB=180°﹣60°﹣75°=45°．

故选B．

【点评】此题主要考查角平分线的定义和性质，求得AE是∠A的外角的平分线，是关键．

7．（2017春•埇桥区期中）如图，在CD上找一点P，使得它到OA、OB的距离相等，则应找到（　　）

A．线段CD的中点B．CD与∠AOB平分线的交点

C．OC垂直平分线与CD的交点D．OD垂直平分线与CD的交点

【分析】根据角平分线的性质解答即可．

【解答】解：

∵点P到OA、OB的距离相等，

∴点P在∠AOB平分线上，

∴点P是CD与∠AOB平分线的交点，

故选：

B．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

8．（2017春•兰陵县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，若CD=m，AB=2n，则△ABD的面积是（　　）

A．mnB．5mnC．7mnD．6mn

【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．

【解答】解：

如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，

∴DE=CD=m，

∴△ABD的面积=

×2n×m=mn，

故选：

A．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

9．（2017春•崇仁县校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　　）

A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

【分析】根据角平分线的性质得到ED=EC，计算即可．

【解答】解：

∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB=90°，

∴ED=EC，

∴AE+DE=AE+EC=AC=3cm，

故选B．

【点评】本题考查的是角平分的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

10．（2016•怀化）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（　　）

A．PC=PDB．∠CPD=∠DOPC．∠CPO=∠DPOD．OC=OD

【分析】先根据角平分线的性质得出PC=PD，再利用HL证明△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质得出∠CPO=∠DPO，OC=OD．

【解答】解：

∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，

∴PC=PD，故A正确；

在Rt△OCP与Rt△ODP中，

，

∴△OCP≌△ODP，

∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．

不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．

故选B．

【点评】本题考查了角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质，得出PC=PD是解题的关键．

11．（2016•博白县一模）观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　）

A．OE是∠AOB的平分线B．OC=OD

C．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE

【分析】根据图形的画法得出OE是∠AOB的角平分线，再根据尺规作图的画法结合角平分线的性质逐项分析四个选项即可得出结论．

【解答】解：

根据尺规作图的画法可知：

OE是∠AOB的角平分线．

A、OE是∠AOB的平分线，A正确；

B、OC=OD，B正确；

C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；

D、∠AOE=∠BOE，D正确．

故选C．

【点评】本题考查了尺规作图中的作角的平分线以及角平分线的性质，解题的关键是逐项分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，牢记尺规作图的方法和步骤是关键．

二．填空题（共8小题）

12．（2017•杨浦区二模）如图，已知：

△ABC中，∠C=90°，AC=40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：

DC=5：

3，则D点到AB的距离是　15　．

【分析】先求出CD的长，再根据角平分线的性质即可得出结论．

【解答】解：

∵AC=40，AD：

DC=5：

3，

∴CD=40×

=15．

∵BD平分∠BAC交AC于D，

∴D点到AB的距离是15．

故答案为：

15．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．

13．（2017•徐州一模）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=2，则△ABD的面积为　8　．

【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算即可．

【解答】解：

作DE⊥AB于E，

∵AD是△ABC的一条角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=DC=2，

∴△ABD的面积=

×AB×DE=8，

故答案为：

8．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

14．（2017•路南区二模）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8，则点P到BC的距离是　4　．

【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．

【解答】解：

如图，过点P作PE⊥BC于E，

∵AB∥CD，PA⊥AB，

∴PD⊥CD，

∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，

∴PA=PE，PD=PE，

∴PE=PA=PD，

∵PA+PD=AD=8，

∴PA=PD=4，

∴PE=4．

故答案为：

4．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．

15．（2017春•桂林期末）如图所示，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的面积是　36　．

【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=OD=OF，然后根据三角形的面积列式计算即可得解．

【解答】解：

如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，

∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，

∴OE=OD=OF=4，

∴△ABC的面积=

×18×4=36．

故答案为：

36．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

16．（2016•始兴县校级一模）如图，∠A=90°，∠ABC的角平分线交AC于E，AE=3，则E到BC的距离为　3　．

【分析】作ED⊥BC于D，根据角平分线的性质得到DE=AE即可．

【解答】解：

作ED⊥BC于D，

∵BE是∠ABC的角平分线，∠A=90°，ED⊥BC，

∴DE=AE=3，

故答案为：

3．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

17．（2016秋•建昌县期末）如图在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=10，则△BDE的周长等于　10　．

【分析】由题中条件可得Rt△ACD≌Rt△AED，进而得出AC=AE，AC=AE，把△BDE的边长通过等量转化即可得出结论．

【解答】解：

∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE．

又∵AD=AD，

∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE．

又∵AC=BC，

∴BC=AE，

∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=10．

（提示：

设法将DE+BD+EB转成线段AB）．

故答案为：

10．

【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定及性质，能够掌握并熟练运用．

18．（2016春•罗湖区期末）如图所示，△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC=10cm，CD=6cm，则DE的长为　4　cm．

【分析】由已知进行思考，结合角的平分线的性质可得DE=AD，而AD=AC﹣CD=10﹣6=4cm，即可求解．

【解答】解：

∵∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，

∴DE=AD（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

∵AD=AC﹣CD=10﹣6=4cm，

∴DE=4cm．

故填4．

【点评】本题主要考查平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等；题目比较简单，属于基础题．

19．（2016秋•镇海区期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45cm2，AB=16cm，AC=14cm，则DE=　3　．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用△ABC的面积列方程求解即可．

【解答】解：

∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

∵△ABC面积是45cm2，

∴

×16•DE+

×14•DF=45，

解得DE=3cm．

故答案为：

3．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

三．解答题（共7小题）

20．（2017•西城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．

求证：

DE=BF．

【分析】根据角平分线的定义得到∠1=∠2，根据角平分线的性质得到DE=BD，∠3=∠4，由平行线的性质得到3=∠5，于是得到结论．

【解答】证明：

∵CD平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

∵DE⊥AC，∠ABC=90°

∴DE=BD，∠3=∠4，

∵BF∥DE，

∴∠4=∠5，

∴∠3=∠5，

∴BD=BF，

∴DE=BF．

【点评】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．

21．（2016秋•安图县期末）如图AB=AC，BD=CD，DE⊥BA，点E为垂足，DF⊥AC，点F为垂足，求证：

DE=DF．

【分析】利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可得证．

【解答】证明：

在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠BAD=∠CAD，

∵DE⊥BA，DF⊥AC，

∴DE=DF．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，求出∠BAD=∠CAD是解题的关键．

22．（2016秋•濮阳期末）如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积为36cm2，AB=18cm，BC=12cm，求DE的长．

【分析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理得到DE=DF，根据三角形的面积公式计算得到答案．

【解答】解：

作DF⊥BC于F，

∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，

∴DE=DF，

∴

×BC×DF+

×AB×DE=36，

∴DE=DF=

，

答：

DE的长为

．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

23．（2016秋•孟津县期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FH⊥BC于点H，求证：

AE=FH．

【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等可得：

FH=FA；则只要在确定FA与AE的关系即可确定AE与FH之间的关系；在直角三角形AFB中∠AFB+∠ABF=90°，在直角三角形BDE中，∠DEB+∠EBD=90°，根据角平分线的性质可知：

∠ABF=∠DBE，则∠AFB=∠DEB，又知∠AEF=∠DEB，则∠AFB=∠AEF，所以AE=FA，则AE=FH．

【解答】证明：

∵BF平分∠ABC，FA⊥AB，FH⊥BC，

∴FH=FA，

∵∠AFB+∠ABF=90°，∠DEB+∠EBD=90°，且∠ABF=∠EBD，

∴∠AFB=∠DEB，

∵∠AEF=∠DECB，

∴∠AFB=∠AEF，

∴AE=FA，

∴AE=FH．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质；解题时利用了AF这个中间量进行了等量代换是解答本题的关键．

24．（2016秋•和平区期中）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：

△DBE的周长等于AB．

【分析】如图，证明DC=DE；进而证明BC=AE，即可解决问题．

【解答】证明：

∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，

∴DC=DE；

∴BD+DE=BD+CD=BC；

∵AC2=AD2﹣CD2，AE2=AD2﹣DE2，

∴AC=AE，而AC=BC，

∴BC=AE，

∴BD+DE+BE=AE+BE=AB，

即△DBE的周长等于AB．

【点评】该题主要考查了角平分线的性质、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．

25．（2016秋•西城区校级期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个锐角的平分线．如图：

一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：

“射线OP就是∠BOA的角平分线．”你认为小明的想法正确吗？

请说明理由．

【分析】根据角平分线的判定定理解答即可．

【解答】解：

小明的想法正确．

理由如下：

作PC⊥OB于C，

∵PC⊥OB，PD⊥OA，PD=PC，

∴∠AOP=∠BOP，即射线OP就是∠BOA的角平分线．

【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上是解题的关键．

26．（2016秋•瑞安市校级期中）已知：

如图AB∥CE，BE平分∠ABC，CP平分∠BCE交BE于点P．

（1）求证：

△BCP是直角三角形；

（2）若BC=5，S△BCP=6，求AB与CE之间的距离．

【分析】

（1）先根