二次函数的例题.docx
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二次函数的例题
（2014•邵阳）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．
（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；
（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，-1），求∠ACB的大小；
（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．
解：
（1）∵y=x2-（m+n）x+mn=（x-m）（x-n），
∴x=m或x=n时，y都为0，
∵m＞n，且点A位于点B的右侧，
∴A（m，0），B（n，0）．
∵m=2，n=1，
∴A（2，0），B（1，0）．
（2）∵抛物线y=x2-（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，-1），
∴-1=mn，
∴n=-
1
m
，
∵B（n，0），
∴B（-
1
m
，0）．
∵AO=m，BO=
1
m
，CO=1
∴AC=
AO2+OC2
=
m2+1
，
BC=
OB2+OC2
=
m2+1
m
，
AB=AO+BO=m+
1
m
，
∵（m+
1
m
）2=（
m2+1
）2+（
m2+1
m
）2，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°．
（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，
∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．
∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，
∴AC=
AO2+OC2
=2
1+n2
，
BC=
OB2+OC2
=
5
|n|，
AB=xA-xB=2-n．
①当AC=BC时，2
1+n2
=
5
|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=-2；
②当AC=AB时，2
1+n2
=2-n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=-
4
3
；
③当BC=AB时，
5
|n|=2-n，
当n＞0时，
5
n=2-n，解得n=
5
−1
2
，
当n＜0时，-
5
n=2-n，解得n=-
5
+1
2
．
综上所述，n=-2，-
4
3
，-
5
+1
2
，
5
−1
2
时，△ABC是等腰三角形．
2014•益阳）如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A
B，抛物线y=a（x-2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．
分析：
（1）先求出直线y=-3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x-2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3-m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3-m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；
（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，-1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，则四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长．
解答：
解：
（1）∵直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，3）．
又∵抛物线抛物线y=a（x-2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），
∴
a+k＝0
4a+k＝3
，解得
a＝1
k＝−1
，
故a，k的值分别为1，-1；
（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．
在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，
在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3-m）2，
∵AQ=BQ，
∴1+m2=4+（3-m）2，
∴m=2，
∴Q点的坐标为（2，2）；
（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．
又∵对称轴x=2是AC的中垂线，
∴M点与顶点P（2，-1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）．
此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，
∴四边形AMCN为正方形．
在Rt△AFN中，AN=
AF2+NF2
=
2
，即正方形的边长为
2
．
点评：
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组。
2014•黔东南州）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（1.5，2.5）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．
（3）根据直线AB的解析式，可求得直线AC的解析式y=-x+b，已知了点A的坐标，即可求得直线AC的解析式，联立抛物线的解析式，可求得C点的坐标；
解答：
解：
（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B（4，6），
∵A（
1
2
，
5
2
）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx-4上，
∴
5
2
＝（
1
2
）2a+
1
2
b+c
6＝42a+4b+c
，
∵c=6，
∴a=2，b=-8，
∴y=2x2-8x+6．
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2-8n+6），
∴PC=（n+2）-（2n2-8n+6），
=-2n2+9n-4，
=-2（n-
9
4
）2+
49
8
，
∵PC＞0，
∴当n=
9
4
时，线段PC最大且为
49
8
．
（3）当∠PAC=90°时，设直线AC的解析式为y=-x+b，
把A（
1
2
，
5
2
）代入得：
5
2
=-
1
2
+b，解得：
b=3，
∴直线AC解析式：
y=-x+3，
点C在抛物线上，设C（m，2m2-8m+6），代入y=-x+3得：
2m2-8m+6=-m+3，
整理得：
2m2-7m+3=0，
解得；m=3或m=
1
2
（舍去）
∴P（3，5），
当∠PCA=90°时，把y=
5
2
代入y=2x2-8x+6，得x=
7
2
，
x=
7
2
代入y=x+2得：
y=
11
2
，
∴P（
7
2
，
11
2
），
所以P的坐标为（3，5）或（
7
2
，
11
2
），
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