二次函数的例题.docx

1、二次函数的例题（2014邵阳）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-（m+n）x+mn（mn）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，-1），求ACB的大小；（3）若m=2，ABC是等腰三角形，求n的值解：（1）y=x2-（m+n）x+mn=（x-m）（x-n），x=m或x=n时，y都为0，mn，且点A位于点B的右侧，A（m，0），B（n，0）m=2，n=1，A（2，0），B（1，0）（2）抛物线y=x2-（m+n）x+mn（mn）过C（0，-1），-1=mn，n=-1m

2、，B（n，0），B（-1m，0）AO=m，BO=1m，CO=1AC=AO2+OC2=m2+1， BC=OB2+OC2=m2+1m， AB=AO+BO=m+1m，（m+1m）2=（m2+1）2+（m2+1m）2，AB2=AC2+BC2，ACB=90（3）A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，A（2，0），B（n，0），C（0，2n）AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，AC=AO2+OC2=21+n2， BC=OB2+OC2=5|n|， AB=xA-xB=2-n当AC=BC时，21+n2=5|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=-2；当AC=AB时，21+n2=2-n

3、，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=-43；当BC=AB时，5|n|=2-n，当n0时，5n=2-n，解得n=512，当n0时，-5n=2-n，解得n=-5+12综上所述，n=-2，-43，-5+12，512时，ABC是等腰三角形2014益阳）如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点AB，抛物线y=a（x-2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长分析：（1）先求出直线

4、y=-3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x-2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E在RtAQF与RtBQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3-m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3-m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标；（3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，-1）重合，N点为点P关

5、于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且ACMN，则四边形AMCN为正方形，在RtAFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长解答：解：（1）直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，A（1，0），B（0，3）又抛物线抛物线y=a（x-2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），a+k04a+k3，解得a1k1，故a，k的值分别为1，-1；（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E在RtAQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在RtBQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3-m）2，AQ=BQ，1+m2=4+（3-m）2，m=

6、2，Q点的坐标为（2，2）；（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线又对称轴x=2是AC的中垂线，M点与顶点P（2，-1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）此时，MF=NF=AF=CF=1，且ACMN，四边形AMCN为正方形在RtAFN中，AN=AF2+NF2=2，即正方形的边长为2点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组。2014黔东南州）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（1.5，2.5）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物

7、线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC为直角三角形时点P的坐标（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值（3）根据直线AB的解析式，可求得直线AC的解析式y=-x+b，已知了点A的坐标，即可求得直线AC的解析式，

8、联立抛物线的解析式，可求得C点的坐标；解答：解：（1）B（4，m）在直线线y=x+2上，m=4+2=6，B（4，6），A（12，52）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx-4上，52(12)2a+12b+c642a+4b+c，c=6，a=2，b=-8，y=2x2-8x+6（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2-8n+6），PC=（n+2）-（2n2-8n+6），=-2n2+9n-4，=-2（n-94）2+498，PC0，当n=94时，线段PC最大且为498（3）当PAC=90时，设直线AC的解析式为y=-x+b，把A（12，52）代入得：52=-12+b，解得：b=3，直线AC解析式：y=-x+3，点C在抛物线上，设C（m，2m2-8m+6），代入y=-x+3得：2m2-8m+6=-m+3，整理得：2m2-7m+3=0，解得；m=3或m=12（舍去）P（3，5），当PCA=90时，把y=52代入y=2x2-8x+6，得x=72，x=72代入y=x+2得：y=112，P（72，112），所以P的坐标为（3，5）或（72，112），