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教案
第一讲曲线拟和与机翼加工
一、实验目的
1.学习Mathematic的绘图语言及选项；
2.从图形上认识一元函数，并会观察函数的基本特性。
3.能用Mathematic进行曲线拟合并进行相应的分析。
二、实验要求
1.理解函数的概念和基本初等函数与初等函数的概念；
2.掌握函数的基本特性；
3.理解曲线的参数方程；
4.掌握基本初等函数的图形；
5.掌握曲线拟合的基本原理并能用曲线拟合的方法解决实际问题。
1.基本原理
根据一组数据（即平面上的若干个点），确定一个一元函数（即曲线），使这些点与曲线总体来说尽可能地接近，这就是曲线拟合。
2.数据拟合的基本方法
已知坐标平面上一组点（xi,yi），（i=1,2,…,n），用最小二乘法做曲线拟合。
最小二乘法的原理是：
求
，使误差
达到最小，拟合时需要取定拟合曲线的形式。
最常见的有多项式函数拟合。
3.基本命令
Plot[f，{x，xmin，xmax}，option->value]绘制形如y=f（x）的函数的图形
Plot[{f1,f2,f3,…},{x,xmin,xmax},option->>value]将多个图形绘制在同一坐标系上
Plot[Evaluzte[Table[f,…],{x,xmin,xmax}]产生一个函数集合并画图
Fit[{点集},Table[xk,{k,k1,k2}],x]
4.曲线拟合步骤:
（1）观察给出的曲线，分析与其形状大致相似的函数图形。
必要时可将函数分段。
（2）选择模拟函数的类型，其中可以有待定的参数。
（3）确定模拟函数。
即根据期限光滑的特点，确定参数。
画出模拟函数的图形。
（4）将模拟函数的图形与已给图形进行比较，进行模拟函数的调整。
必要时重新选择模拟函数。
三、函数作图的基本命令
1.函数作图的基本命令
1Plot[f，{x，xmin，xmax}，option->value]绘制形如y=f（x）的函数的图形；
2
②Plot[{f1,f2,f3,…},{x,xmin,xmax},option->>value]将多个图形绘制在同一坐标系上；
③Plot[Evaluzte[Table[f,…],{x,xmin,xmax}]产生一个函数集合并画图。
2.实例分析
1.Plot[1/x,{x,-20,20}]
2.Plot[{ArcSin[x],ArcCos[x]},{x,-1,1}]
3.Clear[a,y,x]
v=200;g=9.8;
y[a_,x_]:
=Tan[a]*x-g*x^2*Sec[a]^2/（2v^2）
Plot[Evaluate[Table[y[i,x],{i,Pi/12,5Pi/12,Pi/12}]],{x,0,4000}]
Option为选项，每个选项都有一个确定的名字，以“选项名->选项值”的形式放在Plot中的最右边位置，一次可设置多个选项，选项依次排列，用逗号隔开，也可以不设置选项，采用系统的默认值。
如：
选项
说明
默认值
AspectRatio
图形的高、宽比
1/0.618
AxesLabel
给坐标轴加上名字
不加
PlotLabel
给图形加上标题
不加
PlotRange
指定函数因变量的区间
计算的结果
PlotStyle
用什么样方式作图
值是一个表（颜色，粗细等）
PlotPoint
画图时计算的点数
25
4.Plot[{ArcSin[x],ArcCos[x]},{x,-1,1},
PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0],
Thickness[0.01]},{RGBColor[0,1,0],
Dashing[{0.05,0.05}]}}]
5.如果要标注坐标名称x轴为“Time”,y轴为“Height,则：
f[x_]:
=Sin[x^2]/（x+1）;
Plot[f[x],{x,0,2Pi},AxesLabel->{“time”,“hight”}，PlotLabel->Sin[x^2]/（x+1）]
6.比较下面的两个图形
Plot[Tan[x],{x,-10,10}]
Plot[Tan[x],{x,-10,10},PlotRange->{-5,5}]
7.ListPlot[List]，用于绘制散点图。
注意，List的形式应为：
例：
在同一坐标系下绘制下列两组散点图
p1={{0,0},{0,45},{5.3,89.6},{22.6,131.2}};
p2={{0,0},{2.68,44.8},{12.57,88.28},{27,130.3}};
mathematica程序：
g1=ListPlot[p1,PlotJoined->True,
DisplayFunction->Identity];
g2=ListPlot[p2,PlotJoined->True,
DisplayFunction->Identity];
Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction];%PlotJoinde->True,将点用实线连起来
8.Fit[{点集},Table[x^i,{i,n1,n2}],x]用x^n1-x^n2的多项式拟合曲线
例：
某次实验得到生物的浓度与时间的关系如下表，求浓度与时间关系的拟合曲线。
T（分）
1
2
3
4
5
6
7
8
Y
4
6.4
8.0
8.4
9.28
9.5
9.7
9.86
T（分）
9
10
11
12
13
14
15
16
Y
10
10.2
10.32
10.42
10.5
10.55
10.5
10.6
Clear[a,b,c1,c2,d]
a={{1,4},{2,6.4},{3,8.4},{4,8.4},{5,9.28},{6,9.5},{7,9.7},{14,10.55},{15,10.5},
{16,10.6}};
b=ListPlot[a,PlotStyle->{RGBColor[0.5,0,0.5],PointSize[0.05]}];
c1=Fit[a,Table[x^i,{i,0,1}],x];
c2=Fit[a,Table[x^i,{i,0,4}],x];
d=Plot[{c1,c2},{x,0,16},PlotRange->{2,11},
PlotStyle->{{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01]},
{RGBColor[0,1,0],Dashing[{0.05,0.05}]}}];
Show[b,d];
9.ParametricPlot[{fx,fy},{t,tmin,tmax}
用于绘制形如{x=fx（t）,y=fy（t）}的参数方程图形。
例如：
f[t_]:
=2Cos[3t];ParametricPlot;[{f[t]Cos[t],f[t]Sin[t]},{t,0,2Pi},
AspectRatio->Automatic];
四、曲线拟合
某次实验得到生物的浓度与时间的关系（见下面的集合阿a），求浓度与时间的关系的拟合曲线。
Clear[A,B,c1,c2,d]
A={{1,4},{2,6.4},{3,8.4},{4,8.4},{5,9.28},{6,9.5},{7,9.7},{8,9.86},{9,10},{10,10.2},{11,10.32},{12,10.42},{13,10.5},{14,10.55},{15,10.5},{16,10.6}};
B=ListPlot[A,PlotStyle->{RGBColor[0.5,0,0.5],PointSize[0.05]}];
C1=Fit[A,Table[x
{i=0,1}],x];
C2=Fit[A,Table[x
{i=0,4}],x];
D=Plot[{c1,c2},{x,0,16},PlotRange->{2,11},PlotStyle->{{RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01]},{RGBColor[0,1,0],Dashing[{0.05,0.05}]}}];
Show[B,D];
五、（本次实验）机翼加工
待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据（x,y）给出（在平面直角坐标系下），用程控铣床加工时，每一刀只能沿x轴方向和y轴方向走向非常小的一步，这就需要从已知数据出发得到加工所要求的步长很小的（x,y）坐标。
表1给出的（x,y）数据位于机翼断面的下轮廓线上。
假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标。
试完成加工所需数据，画出曲线，并求出x=0处的曲线斜率和13<=x<=15范围内y的最小值。
[表1]机翼断面下轮廓线上的部分数据
x
0
3
5
7
9
11
12
13
14
15
y
0
1.2
1.7
2.0
2.1
2.0
1.8
1.2
1.0
1.6
六、练习
1.用作图法判断方程
有几个正根和极值？
并求其最小正根和极值。
（误差不超过0.01）
2.绘制函数z=sinxsiny在[-0.3，0.3]之间的图形。
（写出命令）
3.在研究某单质分子的化学反应的速度时，已获得下列数据
反应时间（t）
3691215182124
反应物存量（y）
57.641.931.022.716.612.28.96.5
（1）试确定经验分布函数（即拟和函数）y=f（t）;
（2）假定
，其中
待定。
确定
。
（通过取对数变为变为线性关系）；
比较二曲线f（t）和
。
给出你的判断意见。
4、试将幂函数
绘制在一起，调整其定义域、值域使得图形既组合协调又便于区分。
5、给药方案
一种新药用于临床，在快速静脉注射的给药方式下（所谓“给药方式”是指：
每次注射计量多大，时间间隔多长），由于药物进入机体后随血液输送到全身，在这个过程中不断地被吸收、分布、代谢，最终被排除体外。
药物在血液中的浓度（即单位体积血液中的药物含量）称“血药浓度”。
在最简单的一室模型中，将整个机体看作房室，称为“中心室，室内的血药浓度是均匀的。
快速静脉注射后，血药浓度迅速上升，然后逐渐下降。
当浓度太低时，达不到预期的治疗效果；血药浓度太高时，又可能导致病人药物中毒或副作用太强。
临床上，每种药物有一个最小有效浓度C1和最大治疗浓度C2。
设计给药方案时，要使血药浓度保持在C1、C2之间。
设本模型所研究药物的最小有效浓度C1=10（mug/ml）,最大治疗浓度C2=25（mug/ml）。
对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg后，在一定时刻t（小时）采集血样，测得血药浓度C（mug/ml）如下表：
[表2]血药浓度C（t）的数据
t
0.25
0.5
1
1.5
2
3
4
6
8
c
19.21
18.15
15.36
14.10
12.89
9.32
7.45
5.24
3.01
试给出函数c（t）的拟合曲线。
（提示：
t=logc为近似直线）
6、某地区作物生长所需的营养素主要有氮（N）、钾（K）、磷（P）。
某作物研究所在某地区对土豆做了一定数量的实验，实验数据如表三，试分别拟合出土豆产量依赖于氮、磷、钾的施肥量的关系。
[表3]对某地区土豆的实验数据
氮肥量（kg/ha）
0
34
67
101
135
202
259
336
404
471
土豆产量（t/ha）
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
7、曲线拟合
试选定合适的函数模拟如下曲线
12.
8、利用计算机作函数的图形时，必须注意选择好图形的显示区域。
若选择的不好，则显示的图形不能充分表示出所求作的图形的特点，甚至可能因机器误差而产生变形，得出错误的图形。
试作下例图形：
（1）y=x^3-49x显示区域分别为：
（a）（x,y）[-10,10]×[-10,10]
（b）（x,y）[-10,10]×[-100,100]
（c）（x,y）[-10,10]×[-200,200]
试对显示的图形进行比较，哪个能比较充分地反应所求作的图形的特点？
（2）Y=sin50x,显示的区域分别为：
（a）[-12,12]×[-1.5,1.5]；
（b）[-9,9]×[-1.5,1.5]；
（c）[-0.25,0.25]×[-1.5,1.5]；
试对显示的图形进行比较，哪个显示了真实的函数图形。
9、根据中华人民共和国个人所得税法规定：
公民的个人工资，薪金应依法缴纳个人所得税，所得税的计算方法为：
在每个人的月收入中超过800元以上的部分应该纳税，这部分收入称为应纳税所得额，应纳所得额实行分段累计税率，按下列税率表计算：
个人所得税税率表（适用于工资薪金）等级全月应纳税所得额税率（%）
1不超过500元的部分5%
2超过500元不到2000元的部分10%
3超过2000元不到5000元的部分15%
4超过5000元不到20000元的部分20%
5超过20000元不到40000元的部分25%
6超过40000元不到60000元的部分30%
7超过60000元不到80000元的部分35%
8超过80000元不到100000元的部分40%
9超过100000元的部分45%
如果某人的月工资x，求他应缴纳的税款y与收入x之间的函数关系，并拟合该函数曲线。
第二讲线性规划与有价证卷投资
一、实验目的
1.利用mathematica数学软件计算代数问题；
2.了解mathematica数学软件求解各种方程及方程组的解；
3.熟悉mathematica数学软件求解微分方程组的解；
4.利用mathematica软件计算线性规划问题；
5.了解mathematica数学软件求解线性规划问题的各种方法。
二、实验要求
1.熟悉线性代数和微分方程的基本概念；
2.mathematica软件有关线性代数；
3.熟悉线性规划的基本概念；
4.用mathematica软件求解线性规划问题。
三、线性代数基础知识
1.构造矩阵和向量
{a,b,c}
{{a,b,c},{d,e,f},{g,h,i}}或者用矩阵,并用Ctrl+Enter增加行,用Ctrl+,键增加列.
Table[f,{i,m},{j,n}]构造m×n矩阵，f是i,j的函数，给出[i,j]项值.
Array[f,{m,n}]构造m×n矩阵，[i,j]项的值是f[i,j].
DiagonalMatrix[List]生成对角线元素为List的对角矩阵.
IdentityMatrix[n]构造n阶单位阵.
2.截取矩阵块
M[[i]]…………………………………………………………取矩阵M的第i行；
Map[#[[i]]&,M]………………………………………………取矩阵M的第i列；
M[[i,j]]……………………………………………………取矩阵M的i,j位置的元素；
M[[{i1,…,ir},{j1,…,js}]]………………矩阵M的r×s子矩阵，元素行标为ik，列标为jk；
M[[Range{i0,i1},Range{j0,j1}]]…………矩阵M的从i0到i1行，j0到j1列元素组成的子矩阵；
（3）矩阵及向量的运算
M+/-N……………………………………………………………对M、N做矩阵加/减法；
M.N…………………………………………………………………对M、N做矩阵乘法（向量内积）；
M*N…………………………………………………………………将M、N的对应位置元素相乘
Dimensions[M]…………………………………………………给出矩阵M的维数
Transpose[M]……………………………………………………转置
Inverse[M]………………………………………………………求逆
Det[M]…………………………………………………………方阵M的行列式值
MatrixPower[M,n]………………………………………………n阶矩阵幂
Tr[M]或者Sum[M[[i,i]],{i,n}]………………………………矩阵的迹
Eigenvalues[M]…………………………………………………M的特征值
Eigenvectors[M]…………………………………………………M的特征向量
Eigensystem[m]…………………………………………………矩阵m的特征值与特征向量组
RowReduce[m]……………………………………………对矩阵m进行初等变换化其为最简阶梯阵。
MatrixExp[M]…………………………………………………矩阵指数
Outer[Times,M,N]……………………………………………求M、N的外积
SingularValues[m]………………………………………………矩阵的奇异值分解
3.各种方程及方程组的基本运算命令
1.Solve[{方程1,…方程n}，{变量1，…变量n}]…………求非（线性）方程1，…方程n的解
2.NullSpace[m]…………………………………………………求矩阵方程mx=0的解
3.LinearSolve[m,b]]………………………………求矩阵方阵mx=b的解求矩阵方程mx=b的解
4.求函数值和数的近似值.
f[x_]:
=Sin[x]
f[Pi]
f[Pi/4]//N
N[f[20Degree],10]
5.求解微分方程的解
Dsolve[微分方程，未知函数，自变量]
6.函数的极值
1.FindMaximum[f,{x,x0}]
2.FindMinimum[f,{x,x0}]
功能:
1.求函数f在x0附近的极大值
2.求函数f在x0附近的极小值
结果:
1.{fmax,{x->xmax}}
2.{fmin,{x->xmin}}
3.ConstrainedMin[f,{inequalities},{x1,x2,...}]
4.ConstrainedMax[f,{inequalities},{x1,x2,...}]
功能:
3.求在给定约束条件inequalities下线性目标函数f极小值和对应的极小点.
4.求在给定约束条件inequalities下线性目标函数f极大值和对应的极大点.
结果:
3.{极小值,{自变量1->极小值点1,自变量2->极小值2,...}}
4.{极大值,{自变量1->极大值点1,自变量2->极大值2,...}}
四、实例
1.求解矩阵m={{1,1/5,1/3},{5,1,3},{3,1/3,1}}的特征值和特征向量。
ClearAll[]
m={{1,1/5,1/3},{5,1,3},{3,1/3,1}};
Eigenvalues[m]//N;
Eigenvectors[m]//N;
Eigensystem[m]//N;
2.求解下列方程组的解
解法1：
Solve[{5x1+6x2==1,x1+5x2+6x3==0,x2+5x3+6x4==0,x3+5x4+6x5==0,x4+5x5==1},{x1,x2,x3,x4,x5}]
解法2：
m={{5,6,0,0,0},{1,5,6,0,0},{0,1,5,6,0},{0,0,1,5,6},{0,0,0,1,5}};MatrixForm[%]
b={1,0,0,0,1};
解法3：
m1=Table[Switch[i-j,-1,6,0,5,1,1,_,0],{i,5},{j,5}];MatrixForm[%];LinearSolve[m,b]
3.求解微分方程
的解
解法：
Dsolve[
y[x],x]
4、试求方程
的根
解法：
plot[
]
FindRoot[f（x）=0,{x,{1,3}}]
FindRoot[f（x）=0,{x,{3,5}}]
FindRoot[f（x）=0,{x,{5,6}}]
FindRoot[f（x）=0,{x,{6,8}}]
FindRoot[f（x）=0,{x,{8,10}}]
五、线性规划
基本命令
ConstrainedMax[f,{inequalities},{x,y…………..}]
ConstrainedMin[f,{inequalities},{x,y…………..}]
LinearProgramming[c,m,b]
六、[本次实验]有价证卷投资
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级,到期年限,收益如下表所示.按照规定,市政证券的收益可以免税,其他证券的收益需按50%的税率纳税.此处还有以下限制：
（1）政府以及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；
（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前效益（％）
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？
（2）如果能够以2.75％的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？
（3）在1000万元资金的情况下，若证券A的税前收益增加为4.5％，投资应否改变？
若证券C的税前收益减少为4.8％，投资应否改变？
七、练习
1.求解线形方程组的解
2.求解方程
的根
3.求解微分方程
4.求函数
的极值方程
的根
5.求非线形方程
6.求非线形方程组
7.求微分方程
8.求lnx*sinx=0在[1，12]的根
9.求方程
的最接近于零的两个正根
10.解线性规划
11.试求函数y=lnx*sinx,x在[1,12]的极值方程
的根。
12.现有三种食品A1,A2,A3各含有两种营养成分B1,B2，每单位食物Ai含有Bi成分的数量及每种食物的单价如下表所示：
种类
成分
A1
A2
A3
营养成分需要量
B1
2
0
4
5
B2
2
3
1
4
单价
4
2
3
问：
应如何选购食物，才能够满足对营养成分B1,B2的需求，又使费用最少？
13.设圆柱形铁皮罐头的体积为V，高为h，底面半径为r.若V给定，求应为多少时，才能使罐头的表面积最小？
（1）由微积分知识知h/r=2；
（2）制作罐头的铁皮是从大铁皮上切割下来的。
罐头的侧壁用矩形铁片围成，从大铁皮上切割矩形片不会产生多少边角废料；而如果从一块正方形铁皮上切割下一块块的圆片（如图1所示），则不可避免地会余下一些边
角料而造成浪费。
若采用这种做法，
问h/r应为
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