第五章微分方程模型.docx
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第五章微分方程模型
延边大学教案
周次
第7周,第1次课
—尸片早节名称
第5章微分方程模型5.1传染病模型5.2经济增长模型5.3正规战
与游击战
授课方式
多媒体授课
教学时数
2
教学目的要求
通过建模案例,让学生掌握数学建模的微分方程法,让学生了解本章的动态模型主要是非物理领域的实际问题,要根据建模目的,分析具体问题情况或进行类比才能给出假设条件。
不同的假设,就得到不同的方程,所以是事先没有答案的。
求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。
教学重点难点
重点:
5.1传染病模型5.2经济增长模型5.3正规战与游击战5.4药
物在体内的分布与排除5.5香烟过滤嘴的作用
难点:
5.1传染病模型5.2经济增长模型5.3正规战与游击战5.4药
物在体内的分布与排除5.5香烟过滤嘴的作用
教学方法手段
多媒体演示讨论推演
教学基本内容、过程、学时分配;课堂讨论、练习、作业
备注
如果实际对象的某特性是随时间(或空间)变化的,那么分析它的变化规律,预测它的未来性态时,通常要建立此实际对象的动态模型,这就是微分方程模型•
§1传染病模型
建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮的到来等,一直是各国有关专家和官员关注的课题.
考虑某地区的传染病的传染情况,设该地区人口总数为N,既不考虑生
死,也不考虑迁移,时间以天为计量单位.
一.SI模型
假设条件:
1、人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类人,简称为健康人和病人,在时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作st和
it.
1.当i
12时,
竺取到最大值
dt
di
dt
,此时刻为
m
.1[1彳
tmln—1
i0
2.当t时,i1即所有人终将被传染,全变为病人(这是不实际的)
二.SIS模型
在前面假设1、2之下,再考虑病人可以医治,并且有些传染病如伤风、
痢疾等愈后免疫力很低,可以假定无免疫性,于是病人被治愈后变成健康者,
健康者还可以被感染再变成病人,此模型称SIS模型.
假设1、2同SI模型,增加假设:
解得
1
io
1
t
i0
[结果分析]1.令
均人数,称为接触数•
1
当1时,病人比例it越来越小,最终趋于零•
1
当1时,it的增减性取决于io的大小,其极限值i1.
3.SI模型是sis模型中0的情形•
三.SIR模型
大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力,
所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统,此时模型的假设为
1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类,称为SIR模型•三类人在
总人数N中占的比例分别记作si、it和rt.
2.病人的日接解率为,日治愈率为(与SIS模型相同),传染期接触数
为=
解:
由假设1,有
教学基本内容、过程、学时分配;课堂讨论、练习、作业
备注
stit
rt
ds
1—dt
didr
一——0dtdt
由假设
2,得N
drdt"
NiNd
dt
siNiN
dr
i
dtdidt
si
又设s
i
0s°,i0i°,r0
0
于是
didt
si
i
ds
si
⑵
dt
i0
i0,
s
0
S°
我们在相平面上来讨论解的性质•
相轨线的定义域为
D
s,i
s
0,i
0,si1
由⑵式消去dt
得
di1
1
c
is
s
这里
/
i
sso
i
0
解得i
Soi
-s
丄肿
⑶
0
in
S°
在疋乂域D内,
(3)式表示的曲线即为相轨线.
§3正规战与游击战
此战争模型是第一次世界大战期间.F.W.Lanchester提出来的,是一个
预测战争结局的数学模型,它包括正规战争、游击战争和混合战争
Lanchester战争模型很简单,只考虑双方兵力的多少和战斗力的强弱,兵力因战争减员和非战斗减员而减少,又由后备力量的增援而增加,战斗力即杀伤对方的能力,则与射击率(单位时间的射击次数),射击命中率以及战
争的类型(正规战、游击战)等有关,而没有考虑双方的政治、经济、社会等因素,此模型对于判断整个战争的结局是不可能的,但对于局部战役或许还有参考价值.
一般战争模型
用xt和yt表示甲乙交战双方时刻t的兵力,不妨视为双方的士兵人
数,假设
1.xt、yt是连续变化且充分光滑;
2.每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力(战争减员率指单位时间
内的战斗减员数),分别用fx,y和gx,y表示;
3.每一方的非战争减员率(单位时间内非战斗减员数)(由疾病、逃跑等因素
引起)与本方的兵力成正比,比例系数分别为、;
4.每一方的增援率(单位时间的增援数)是给定的函数,用Ut和Vt表示.
考虑t到tt内甲、乙双方兵力数的增量,得到
xttxtfx,yxutt
yttytgx,yyvtt
教学基本内容、过程、学时分配;课堂讨论、练习、作业
备注
除以t,并令t0,得
—fx,yxut0
dt
(1)
dy.
-7gx,yyvt0
dt
正规战争模型
双方都处于公开活动,对于甲方士兵,处于乙方每一个士兵的监视和杀伤
范围.一旦甲方某个士兵被杀伤,乙方的火力立即集中在其余士兵身上,所以
甲方战斗减员率只与乙方兵力有关,可简单地设为f与y成正比,即fay.
a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率(单位时间的杀伤数),称
乙方的战斗有效系数•a可进一步分解为arypy,其中ry是乙方的射击率
(每个士兵单位时间的射击次数),py是每次射击的命中率.
类似地有gbx且brxpx.
于是得到如下正规战争模型:
dx
ayxut
dt⑵
业bxyvt
dt
简化的情形:
忽略非战斗减员,并设双方都没有增援,又设双方的初始兵力分别为xo、
yo,则
dx
lxay
dtcc
x0Xo,y0yo(3)
业bx
dt
在相平面上讨论相轨线:
dybxdxay
游击战争模型
甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为Sx的隐蔽区域内活动,乙方士
兵不是向甲方士兵开火,而是向这个隐蔽区域射击,并且不知道杀伤情况,
此时甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关,而且随着甲方兵力的增加而增加•
在有限区域内,士兵越多,被杀伤的就越多,于是可简单地假设为fcxy.
Sry
且CryPyry.
Sx
其中ry为射击率,Py为命中率,Sry为有效面积,Sx为甲方活动面积
类似地gdxy,drxPxrx宝.
Sy
于是得到如下游击战争模型:
dxdtdydt
cxyxutdxyyvt
并设u
v0在初始条件下(
5)式为
dxdtx0
dyCXy,dtXo,yo
dxy
Ye
dx
dy
cy
dxm,mcy0
dxo
其相轨线是直线族.
c
rySrySy
此模型称为线性律模型・
Xo
混合战争模型
甲方为游击部队,乙方为正规部队
根据前面二、三的分析和假设,得到
dx
—cxydt
dybxdt
xOXo,yO
它的相轨线为
2
cy2bxn
2
ncyo2bxo
它是抛物线.
yo
yo
Xo
°:
=>
2b(用brxPx、c口为代
CXoSx
2
入)/I-yo2rxPxSx
■~XqrySryXo
得到yoxo10.
硫磺岛战役
J.H.Engel用二次大战末期美日硫磺岛战役中美军战场记录,对正规战争
模型进行了验证,发现模型结果与实际数据吻合得很好
硫磺岛位于东京以南660英里的海面上,是日军的重要空军基地,美军在1945年2月19日开始进攻,激烈的战斗持续了一个多月,双方伤亡惨重,日方守军21,500人全部降亡或被俘,美方投入兵力73,000人,伤亡20,265
人.战争进行到28天时美军宣布占领该岛,实际战斗到36天才停止.
用At、Jt表示美军和日军第
t天的人数,在正规战争模型中,忽略
非战斗减员且v0,再加上初始条件,得
dAdt
aJt
ut
dJ
bAt
dt
A0
0,J0
21,500
教学基本内容、
过程、学时分配;课堂讨论、练习、作业
备注
54,000
0t1
6,000
2t3
美军增援率为
ut
W丿
13,000
5t6
0
其它
已知A36
52,735、J360
并利田美军每天
(实际)伤亡人数
,并利用美军每天
36
算出At,
这里
A2,037,000,求出
1
a,b•
从而算出
J1,J2,,J
36以及A1,A2,
A36(理论值)
•对(6)式用求和
代替积分,得
At
A0
t
aJ
1
t
u
1
(8)
Jt
J0
t
bA
1
(9)
J0J
36
21,500
h
nnihr
b36
U.0I06•
A
i
2,037,000
于是由(9)得到
J1,
J2,,J36.
36
uA36
a
1
20,2650.0544.
Oft
36
J
1
372,500
t
t
于是At0.0544
Ju
11
由此得到A
t的理论值•
作业:
P174ex4
延边大学教案
周次
第7周,第2次课
—尸片早节名称
第5章微分方程模型5.4药物在体内的分布与排除5.5香烟过滤嘴的作
用
授课方式
多媒体授课
教学时数
2
教学目的要求
通过建模案例,让学