高等代数与解析几何第二章相关知识点与题目.docx
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高等代数与解析几何第二章相关知识点与题目
高等代数与解析几何第二章相关知识点与题目
篇一：
高等代数与解析几何教学大纲
附件1
教学大纲
课程编号：
课程英文名：
AdvancedAlgebraandAnalyticGeometry
课程性质：
学科基础课
课程类别：
必修课
先修课程：
高中数学
学分：
4+4
总学时数：
72+72
周学时数：
4+4
适用专业：
统计学
适用学生类别：
内招生
开课单位：
信息科学技术学院数学系
一、教学目标及教学要求
1.本课程是统计学专业的一门重要基础课。
它不仅是学习后继课程及在各个学科领域进行理论研究和实际应用的必要基础，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练。
学生学好这门课程的基本内容和方法，对今后的提高和发展有着深远的影响。
2.通过本课程的学习，要使学生了解高等代数与解析几何的概貌、各部分内容的结构和知识的内在联系；学会代数与几何方法，培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、运算能力和综合应用能力。
3.要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。
通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题。
二、本课程的重点和难点
（略。
由课任教师自行掌握）
三、主要实践性教学环节及要求
精讲、细读、自学相结合方法，加强课内外训练为手段。
四、教材与主要参考文献
教材：
《高等代数与解析几何》（上、下）（第二版），孟道骥编著，
科学出版社，2004年。
参考书：
1.《高等代数与解析几何》，陈志杰编著，高等教育出版社，
2000年；
2.《数论基础》，张君达主编，北京科学技术出版社，2002年。
五、考核形式与成绩计算
考核形式：
闭卷考试。
成绩计算：
平时成绩（包括平时作业、小测验、考勤等）占30%，
期末考试占70%。
六、基本教学内容
第二学期
第一周—第二周：
（8课时）
第一章：
向量代数与解析几何基础
1.代数与几何发展概述。
2.向量的线性运算及几何意义：
定义与性质、向量的共线、共面与线
性关系
3.坐标系：
标架、向量和点的坐标、n维向量空间。
4.向量的线性关系与线性方程组。
5.三维空间中向量的乘积运算：
内积、外积、混合积、三重外积。
6.方程及几何意义：
（1）二元方程及几何意义：
平面曲线的表示（非参数式、极坐标、
参数式、向量式）;
（2）三元方程及几何意义：
直线与平面方程、曲线与曲面方程（非
参数式、参数式、向量式）。
第三周—第五周：
（12课时）
第二章：
三维空间中的基本曲面与曲线
1.基本曲面：
旋转曲面、柱面、曲线的射影柱面、锥面、二次曲面、
直纹面。
2.空间曲线：
一般方程、参数方程、在坐标面上的投影、空间曲线和
曲面围城的区域。
3.平面及其方程：
点法式、一般方程、平面束、几何度量与位置关
系。
4.空间直线及其方程：
一般式、对称式、参数式、几何度量与位置关
系。
第六周：
（4课时）
第三章：
代数学基础知识
1．数环和数域。
2.综合除法。
3.数学归纳法。
4.映射与二元运算。
第七周—第九周：
（12课时）
第四章：
行列式
1．映射、变换与置换：
定义与基本性质，置换的反序数及奇偶性。
2.矩阵：
基本概念与基本运算，初等变换。
3.行列式：
定义、性质、计算。
4.应用：
求解线性方程组（Cramer法则）。
第十周—第十一周：
（8课时）
第五章：
线性方程组与线性子空间
1．线性方程组的基本解法：
消元法与行初等变换。
2.线性方程组解的讨论。
3.向量组的线性相关性。
4.线性子空间：
基本概念、基、维数。
5.线性方程组解的结构：
齐次的情形、非齐次的情形。
第十二周—第十三周：
（8课时）
第六章：
基本矩阵论
1．秩：
向量组的秩、矩阵的秩、应用（讨论线性方程组解的存在性）。
2.矩阵的运算：
背景、基本运算、分块。
3.线性映射：
定义、象空间与核空间。
第十四周—第十五周：
（8课时）
第七章：
线性空间与内积空间
1．线性空间：
定义、同构关系、和与直和。
2.内积空间：
定义、内积与正交性、正交基、正交投影、正交变换
与正交阵。
第十六周：
总复习（4课时）
第三学期
第一周—第二周：
（8课时）
第八章：
数论初步
1.整除：
带余除法、约数与倍数、基本性质、数的奇偶性、素数与
合数。
2.最大公约数与最小公倍数：
Euclid算法、初等变换法。
3.算术基本定理。
4.同余：
基本概念与性质、线性同余方程、中国剩余定理、多项式同
余方程、线性不定方程。
第三周—第四周：
（8课时）
第九章：
多项式基本理论
1．基本概念。
2.整除性与综合除法。
3.最大公因式。
4.因式分解。
5.根。
6.可约性
7．多元多项式。
8.对称多项式。
第五周—第六周：
（8课时）
第十章：
线性变换
1.线性的表示：
过渡矩阵。
2.线性变换的特征理论：
特征值与特征向量。
3.对角化与不变子空间。
第七周—第八周：
（8课时）
第十一章：
线性空间上的函数
1.线性函数与双线性函数、张量。
2.对称双线性函数、张量积。
3.二次型及其标准化。
第九周—第十周：
（8课时）
第十二章：
二次型理论的应用
1.二次曲线方程的化简和分类。
2.二次曲面及二次超曲面方程的化简。
3.平面的等距变换和仿射变换。
4.变换群与几何学、二次曲线（面）的正交分类与仿射分类。
第十一周—第十二周：
（8课时）
第十三章：
矩阵的Jordan标准型
1.λ矩阵：
运算、秩、可逆性、正规形。
2.矩阵的相似与Jordan标准型。
3.在常微分方程中的应用。
第十三周—第十四周：
（8课时）
第十四章：
矩阵分析初步
1.矩阵直积。
2.向量函数与矩阵函数。
3．矩阵级数。
4.矩阵导数与微分。
5.在概率统计中的应用：
多元正态分布、最小二乘法、最大似然法。
第十五周：
（4课时）
篇二：
高等代数与解析几何1~4章习题答案
高代与解几第二章自测题
（一）——行列式
一、判断题
1.一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（×）2.一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（√）3.n?
2时，n级的奇排列共
n!
个.（√）2
二、填空题
1.排列（15342）的逆序数是.排列13?
（2n?
1）（2n）（2n?
2）?
2的逆序数是n（n－1）.2.设行列式D?
aij
n?
n
,则a11A11?
a12A12?
...?
a1nA1na11A51?
a12A52?
...?
a1nA5n.
?
x123
23xx2
3.行列式D＝的展开式中x4的系数是12x?
33x122x
4.排列j1j2?
j8的逆序数是9，则排列j8j7?
j1的逆序数是.
7
5.设D?
623
2?
13?
2
，则M11?
M12?
M13?
M1441948?
127?
8
二、证明题
2?
20?
00
02?
00
0?
0?
?
?
0?
000?
2
123?
n?
1n
3.Dn?
?
22?
（提示：
逐行向下叠加得上三角形行列式）
0?
?
2
122?
2222?
2
4.Dn?
223?
2（提示：
爪型行列式）
?
?
?
?
?
222?
n
高代与解几第二章自测题
（二）——矩阵，线性方程组
一、判断题
1.如果矩阵A有r阶子式大于零,那么rank（A）?
r.（×）2.如果矩阵A没有非零子式，那么rank（A）?
0.（√）3.如果矩阵A的r阶子式都等于零,那么rank（A）?
r.（√）4.初等变换不改变矩阵的秩.（√）
5.若n元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n.（√）三、填空题
?
?
10000?
1.4?
5矩阵A的秩为2，则A的标准形为___?
0
1000?
?
?
?
00000?
____________.?
?
0000
0?
?
?
2若n元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为.
三、计算与证明题
?
?
x1?
x2?
x3?
2x4?
x5?
0,1.求齐次线性方程组?
?
3x1?
x3?
x4?
x5?
0,
x的一般解.?
x1?
4x2?
3x3?
7x4?
55?
0,?
?
3x2?
2x3?
5x4?
4x5?
0
解：
对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得
?
?
1
1121?
1
21?
?
?
31?
1?
?
11121?
?
11
A＝01254?
?
?
?
?
?
0?
3?
2?
5?
?
?
?
1?
14375?
?
?
4?
?
?
?
03
?
?
00000
?
?
?
?
0?
?
032
54?
?
?
03254?
?
?
03254?
?
?
?
?
?
00
00
0?
?
?
?
?
0?
0
取x3,x4,x5为自由未知量，得其一般解为：
……
?
2x1?
x2?
x3?
x4?
1,2.解线性方程组?
?
4x1?
2x2?
2x3?
x4?
2,
?
?
2x1?
x2?
x3?
x4
?
1.解方程组的增广矩阵为：
?
21?
11?
1?
B=
?
?
42?
21?
2?
?
?
，….………………………………..2分?
21?
1?
1?
1
?
?
对B做行初等变换：
01133125030300
0?
1?
43?
?
?
3?
0?
0?
?
?
21?
10?
1?
B=?
0001?
0?
?
0000?
0
从而得方程组的解为……
?
?
，…………………………….....……6分?
?
?
3.设a1,a2,?
an是数域K中互不相同的数，b1,b2,?
bn是数域K中任一组给定的数，证明：
有唯一的数域K上的多项式f?
x?
?
c0?
c1x?
c2x2?
?
?
cn?
1xn?
1使f?
ai?
?
bi,i?
1,2,...,n.
证明:
要证有唯一的数域K上的多项式f?
x?
?
c0?
c1x?
c2x2?
?
?
cn?
1xn?
1使f?
ai?
?
bi
?
i?
1,2,?
n?
即要证有唯的一组数c0,c1,c2,...,cn?
1,使得
?
f（a1）?
c0?
c1a1?
c2a12?
...?
cn?
1a1n?
1?
b1
?
2n?
1
?
f（a2）?
c0?
c1a2?
c2a2?
...?
cn?
1a2?
b2?
?
...
2n?
1
?
f（a）?
c?
ca?
ca?
...?
ca?
bnn01n2nn?
1n?
即证方程组
……（2分）
?
x0?
a1x1?
a12x2?
...?
a1n?
1xn?
1?
b1
?
2n?
1
?
x0?
a2x1?
a2x2?
...?
a2xn?
1?
b2?
……（4分）?
...
2n?
1
?
x?
ax?
ax?
...?
an1n2nxn?
1?
bn?
0
有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式
a1a2
D?
a3
?
?
an
a12?
a1n?
1
2n?
1a2?
a2
2n?
1
……（5分）a3?
a3
?
?
?
2n?
1an?
an
DT是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,D?
DT?
1?
i?
j?
n
?
（a
j
?
ai）……（7分）
又a1,a2,?
an是数域K中互不相同的数,故D?
0,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证.……（10分）
4.设a1,a2,...,an是互不相同的数，b是任意数，证明线性方程组
x1?
x2?
...?
xn?
1?
?
a1x1?
a2x2?
...?
anxn?
b?
?
?
?
n?
1n?
1n?
1n?
1?
?
a1x1?
a2x2?
...?
anxn?
b
只有唯一解，并求出这个解.
证明:
观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式
1D=
1a2?
?
?
?
1
an
是n阶范德蒙德行列式……（4分）?
a1?
a1n?
1
n?
1n?
1a2?
an
因此，D=
1?
j?
i?
n
?
（a
i
?
aj），由于a1,a2,...,an是互不相同的数，所以D?
0，根据克莱姆法则知此线性
Dk
,k?
1,2,...,n,其中Dk是将系数行列式D的第k列换成D
方程组只有唯一解,xk?
（1,b,b2,...,bn?
1）T，……（7分）
显然Dk依然是n阶范德蒙德行列式，且Dk的值只是将D的值中ak的地方换成b，因此
xk?
（an?
b）...（ak?
1?
b）（b?
ak?
1）...（b?
a1）
,k?
1,2,...,n（10分）
（an?
ak）...（ak?
1?
ak）（ak?
ak?
1）...（ak?
a1）
?
x1?
x2?
x3?
0,?
5.假设有齐次线性方程组?
x1?
2x2?
x3?
0,
?
px?
x?
x?
0,
123?
当p为何值时，方程组仅有零解？
又在何时有非零解？
在有非零解时，求出其一般解。
解|A|=
1111
21=1-p，…………………………...…………..4分
p11
当|A|?
0，即p?
1，方程组有唯一解。
……………..………….….6分
?
111?
?
101?
?
?
?
?
，…………………………….9分
p=1时，121010?
?
?
?
?
?
?
?
111?
?
?
000?
?
方程组的解为：
………
6.问常数k取何值时,方程组
?
x1?
?
?
x1?
x?
1
?
x2?
kx2?
x2?
kx3?
x3?
2x3
无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解。
解A=-（k+1）（k-4）。
……………………….…….….………....3分
当A?
0，即k?
-1，且k?
4时，方程组有唯一解。
.………....5分
?
4
?
k2?
?
4
1?
14?
1?
k=-1时，?
1?
111?
?
11
?
0?
?
0?
1
0?
?
，方程组无解.…...8分45
?
?
?
?
1?
12?
4
?
?
?
?
?
0?
2?
?
k=4时，?
1144?
?
?
14116?
?
114?
?
2?
4?
?
1?
1?
?
011?
?
?
000
方程组的解为：
…………
3
?
8?
?
?
4?
4?
?
，……………..…..10分0?
?
篇三：
一、高等代数与解析几何之间的关系
利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理
一、高等代数与解析几何的关系
代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。
解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。
例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。
高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。
例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。
“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。
”
--------拉格朗日
二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学中国科大：
陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：
2011.
南开大学：
孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：
2007.
华东师大：
陈志杰，高等代数与解析几何（上下册）（第2版），高等教育出版社，北京：
2008.
华中师大：
樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：
2004.
同济大学：
高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社（2005-05出版）
兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学
三、高等代数的特点
1、逻辑推理的严密性；2、研究方法的公理性；3、代数系统的结构性。
四、高等代数一些概念的引入
对于刚上大学的一年级新生,大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导
和应用。
通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。
五、高等代数的一些概念的几何解析
高等代数中相关概念和定理的几何解析，可以使学生更容易把握这些概念和定理的几何本质，更容易直观地理解这些抽象的概念和定理，从而可以提高学生运用这些抽象的概念和定理去解题的能力。
1.线性代数中“线性”的几何意义
线性代数是高等代数的一个分支，有线性空间、线性映射、线性变换、线性方程组、线性相关性等概念。
哪究竟这里的“线性”的直观理解是什么？
简单地说，就是因变量与自变量之间的关系可以描述为一条直线，例如线性函数y=f（x）=ax+b,最简单的情形就是过原点的直线y=f（x）=ax。
而对于过原点的直线y=f（x）=ax，其满足可加性和比例性，即
f（x1?
x2）?
f（x1）?
f（x2）,f（kx）?
kf（x）,或者f（k1x1?
k2x2）?
k1f（x1）?
k2f（x2）。
一句话，线性组合的函数，等于函数的线性组合。
将这种关系推广到高维的情形：
Y=AX,?
?
?
?
AX=b.2.行列式的几何意义
（1）二级行列式的几何意义二级行列式D2?
a1a2b1
b2
是xoy平面上以行向量a=（a1,a2）和b=（b1,b2）为邻边的平行四边形的有向
面积：
若这个平行四边形是由向量a沿逆时针方向转到b而得到的，面积取正值；若这个平行四边形是由向量a沿顺时针方向转到b而得到的，面积取负值。
S（a,b）=|a||b|sin（?
?
?
）,而sin（?
?
?
）?
a1b2?
a2b1
。
|a||b|
另外，二级行列式的另一个几何意义就是是两个行向量或列向量的叉积a?
b的数值。
（2）三级行列式的几何意义
三级行列式的几何意义是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。
a1
a2b2c2a3
b3＝0.c3
x
y
y1?
0。
y2a3b3。
c3
向量a,b,c的混合积（a,b,c）=（a?
b）?
c=b1
c1
a1
a2b2c2
推论1：
三点a,b,c共面的等价条件是b1
c1
推论2：
过平面上两点（x1,y1）,（x2,y2）的直线方程为x1
x2
3.矩阵乘积的几何意义
要说到矩阵的乘积的几何意义，我们首先要了解矩阵的发展历程：
1801年德国数学家高斯（F.Gauss）把一个线性变换的全部系数作为一个整体。
1844年，德国数学家爱森斯坦（F.Eissenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。
1850年，英国数学家西尔维斯特（J.J.Sylvester）首先使用矩阵一词。
1858年，英国数学家凯莱（A.Cayley，）发表《关于矩阵理论的研究报告》。
他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等。
矩阵实质上就是一个线性变换。
矩阵乘积实质就是线性变换的复合。
下面来看R2中的一个简单例子：
?
a11a12?
?
x1?
?
y1?
?
y1?
a11x1?
a12x2
，即Y=AX，A?
?
X?
?
?
?
Y?
?
?
：
?
?
y?
ax?
axaaxy21122222?
?
21?
2?
?
2?
?
2?
y?
?
z?
?
z?
by?
by?
bb?
Y?
?
1?
?
Z?
?
1?
：
?
1111122，即Z=BY，B?
?
1112?
.
?
y2?
?
z2?
?
z2?
b21y1?
b22y2?
b21b22?
?
x1?
?
z1?
?
z1?
（b11a11?
b12a21）x1?
（b11a12?
b12a22）x2
则X?
?
?
?
Z?
?
?
：
?
，即Z=CX,
xzz?
（ba?
ba）x?
（ba?
ba）x?
2?
?
2?
?
221112*********2222
ba?
ba?
?
ba?
ba
C?
?
1111122111121222?
.
?
b21a11?
b22a21b21a12?
b22a22?
ba?
ba?
?
ba?
ba
又有Z=BAX，于是定义BA?
?
1111122111121222?
。
?
b21a11?
b22a21b21a12?
b22a22?
4.向量组线性相关（无关）与几何中向量共面、共线之间的关系
若?
?
?
是三维空间的向量,则:
?
线性相关;?
?
线性相关;?
?
?
线性相关对应几何直观分别为?
为零向量;?
?
共线;?
?
?
共面。
因此,一维空间的基是空间中任意一个非零向量;二维空间的基是空间中两个不共线向量;三维空间的基是空间中3个不共面的向量组成的。
5.向量组正交化的几何解释
线性无关的向量组可以由Schmidt正交化得到与其等价的正交组,它的几何解释为,如果有3个线性无关的向量?
1,?
2,?
3则可以通过Schmidt正交化得到相应的3个正交向量?
1,?
2,?
3。
这里
?
1?
?
1,?
2?
?
2?
?
2,?
3?
?
3?
?
3,其中?
2为?
2在?
1上的投影向量;?
3为?
3在?
1,?
2所确定的
平面上
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