高考数学中的内切球和外接球问题附习题.docx
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高考数学中的内切球和外接球问题附习题
高考数学中的内切球和外接球问题
一、有关外接球的问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
一、直接法（公式法）
1、求正方体的外接球的有关问题
例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________.27.
例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的
表面积为24，则该球的体积为______________.43.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条
棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为
.14.
例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，
体积为
16，则这个球的表面积为（
）.C
A.
16
B.
20
C.
24
D.
32
3.求多面体的外接球的有关问题
例5.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知
该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周
8
长为3，则这个球的体积为.
解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有
6x
3,
x
1,
9
6
3
x2h,
2
h
．
8
4
3
∴正六棱柱的底面圆的半径r
1，球心到底面的距离d
3.∴外
2
2
接球的半径R
r2
d2.体积：
V
4
R3.
3
小结本题是运用公式R2
r2
d2求球的半径的，该公式是求球
的半径的常用公式.
二、构造法（补形法）
1、构造正方体
例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.9.
例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外
接球的表面积是.
故其外接球的表面积S4R29.
小结：
一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分
别为a、b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的
体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，
则有2Ra2b2c2.
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：
长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为，则
体对角线长为l
a2
b2
c2，几何体的外接球直径为
2R体对角线长l
a2
b2
c2
即R
2
练习：
在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分
别为1,6,3，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面
积。
球的表面积为S4R216
例6一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点
在同一球面上，则此球的表面积为（）
A.3B.4C.33D.6
A.（如图2）
例7在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=600，E为AB的中
点，将ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，
则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）.
4
3
6
6
6
A.27
B.2
C.8
D.24
解析：
（如图3）因为AE=EB=DC=1，DAB=
CBE=DEA=600，
所以
ADAE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，
这与例6就完全相同了，故选C.
DC
P
AEB
DC
E
例8（2已知球O的面上四点A、B、C、D，DA
平面ABC，AB
BC，
DA=AB=BC=3，则球O的体积等于
.
解析：
本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.
而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA平面ABC，
ABBC，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，
又因为DA=AB=BC=3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球
9
的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O的体积等于2.（如图4）
D
O
A
BC
图4
2、例9（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，
AB平面BCD，BCDC，若AB6,AC=213,AD=8，则球的体积是
解析：
首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD为球的
直径，O为球心，OB=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离，
只要求出
BOC即可，在RtABC中，求出BC=4，所以
BOC=600，故
4
B、C两点间的球面距离是3.（如图5）
A
O
B
C
D
图5
本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。
三.多面体几何性质法
例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积
为16，则这个球的表面积是
A.16B.20C.24D.32.选C.
小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
四.寻求轴截面圆半径法
例4正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点
S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为
.
S
D
C
解设正四棱锥的底面中心为O1，外接球的球心
O1
A
图3
B
为O，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得
OO1平面ABCD.
又
SO平面ABCD
1
1
∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.
在ASC中，由SASC
2，AC
2，得SA2
SC2
AC2
.
∴ASC是以AC为斜边的Rt.
AC
V球
4
1
.故
3.
∴2是外接圆的半径，也是外接球的半径
小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半
径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.
五.确定球心位置法
例5
在矩形ABCD中，AB
4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一
个直二面角B
ACD，则四面体ABCD的外接球的体积为
D
125
125
125
C
A.12
B.9
C.6
AO
图4B
125
D.3
解设矩形对角线的交点为O，则由矩形对角线互相平分，可知
OAOBOCOD.∴点O到四面体的四个顶点A、B、C、D的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径
ROA5V球4R3125
2.故36
.选C.
出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：
直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角
形斜边中点。
【例题】：
已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且
，，，,求球的体积。
解：
且，，，,
因为所以知
所以所以可得图形为：
在中斜边为
在中斜边为
取斜边的中点，
在中
在中
所以在几何体中，即为该四面体的外接球的球心
所以该外接球的体积为
【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
1.（陕西理?
6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积
是（
）
A．33
B．3
C
．
3
4
3
4
答案B
D．3
12
2.直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若
ABACAA12,BAC120，则此球的表面积等于。
解:
在ABC中ABAC2,BAC120,可得BC23,由正弦定理,可
得ABC
外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径R5，故此球的表面积为4R220.
3．正三棱柱ABCA1B1C1内接于半径为2的球，若A,B两点的球面距离
为，则正三棱
柱的体积为．
答案8
4.表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A．2
B．1
C．2
D．22
3
3
3
3
答案
A
【解析】此正八面体是每个面的边长均为
a的正三角形，所以由
3a2
23知，
8
4
a1，则此球的直径为2，故选A。
5.已知正方体外接球的体积是
32
，那么正方体的棱长等于（
）
3
A.2
2
B.2
3
C.42
3
3
D.43
3
答案
D
6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）
A.1∶3B.1∶3C.1∶33
D.1∶9
答案C
7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边
形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且
该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为
8
．
答案4
3
8.（2007天津理?
12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱
的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．
答案14π
9.（2007全国Ⅱ理?
15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm
的球面上。
如果正四
棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2.
答案242
10.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥
PABCDEF，则此正六棱
P
锥的侧面积是________．
答案67
CD
B
E
AF
11.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形（正四面体的截面）的面积是.
答案2
12.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体
外接球的表面积为（）
A．3B．2
C．16D．以上都不对
3
答案C
13.设正方体的棱长为
2
3，则它的外接球的表面积为（
）
3
A．8
B．2π
C．4πD．4
3
3
答案C
20、人因为心里不快乐，才浪费，是一种补偿作用。
21、我要你知道，在这个世界上总有一个人是等着你的，不管在什么时候，不管在什么地方，反正你知道，总有这么个人。
22、回忆这东西若是有气味的话，那就是樟脑的香，甜而稳妥，像记得分明的块乐，甜而怅惘，像忘却了的忧愁。
23、对于三十岁以后的人来说，十年八年不过是指缝间的事，而对于年轻人而言，三年五年就可以是一生一世。
24、一般的说来，活过半辈子的人，大都有一点真切的生活经验，一点独到的见解。
他们从来没想到把它写下来，事过境迁，就此湮没了。
25、男人做错事，但是女人远兜远转地计划怎样做错事。
女人不大想到未来——同时也努力忘记她们的过去——所以天晓得她们到底有什么可想的！
26、男人憧憬着一个女人的身体的时候，就关心到她的灵魂，自己骗自己说是爱上了她的灵魂。
惟有占领了她的身体之后，他才能够忘记她的灵魂。
27、要是真的自杀，死了倒也就完了，生命却是比死更可怕的，生命可以无限制地发展下去，变的更坏，更坏，比当初想象中最不堪的境界还要不堪。
28、太大的衣服另有一种特殊的诱惑性，走起路来，一波未平，一波又起，有人的地方是人在颤抖，无人的地方是衣服在颤抖，虚虚实实，极其神秘。
29、因为懂得，所以慈悲。
30、这世上没有一样感情不是千疮百孔的
想要忘记一段感情，方法永远只有一个：
时间和新欢。
要是时间和新欢也不能让你忘记一段感情，原因只有一个：
时间不够长，新欢不够好。
——张小娴《面包树上的女人》
假如没有遇上你，我会不会有另一种人生？
不管有没有结果，我还是宁愿与你相逢。
——张小娴
只是希望能有个人，在我说没事的时候，知道我不是真的没事；能有个人，在我强颜欢笑的时候，知道我不是真的开心。
——张小娴
有一些人，这辈子都不会在一起，但是有一种感觉却可以藏在心里，守一辈子
——张小娴
爱情是一百年的孤独，直到遇上那个矢志不渝的守护你的人，那一刻，所有苦涩的孤独，都有了归途。
——张小娴《我终究是爱你的》
当你想念一个人的时候，尽情去想念吧，也许有一天，你再也不会如此想念他了。
到了那一天，你会想念曾经那么想念一个人的滋味。
当你爱一个人的时候，尽情去爱吧，也让他知道你
是如此爱他。
也许有一天，当你长大了，受过太多的伤，失望太多，思虑也多了，你再也不会那么炽烈地爱一个人。
——张小娴
我没有很刻意的去想念你，因为我知道，遇到了就应该感恩，路过了就需要释怀。
我只是在很多很多的小瞬间，想起你。
比如一部电影，一首歌，一句歌词，一条马路和无数个闭上眼睛
的瞬间。
——张小娴《思念往昔》
最难过的，莫过于当你遇上一个特别的人，却明白永远不可能在一起，或迟或早，你不得不放弃。
——张小娴《永不，永不说再见》
男人对女人的伤害，不一定是他爱上了别人，而是他在她有所期待的时候让她失望，在她脆弱的时候没有扶她一把。
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