1、高考数学中的内切球和外接球问题附习题高考数学中的内切球和外接球问题一、 有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上, 那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球 . 有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点, 也是高考考查的一个热点 . 考查学生的空间想象能力以及化归能力 .研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识, 又要运用球的知识, 并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系, 而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用 .一、直接法 (公式法 )1、求正方体的外接球的有关问题例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面
2、上, 则该球的表面积为 _ .27 .例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为 24 ,则该球的体积为 _.4 3 .2、求长方体的外接球的有关问题例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上, 且一个顶点上的三条棱长分别为 1,2,3 ,则此球的表面积为.14 .例 4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为16,则这个球的表面积为(). CA.16B.20C.24D.323.求多面体的外接球的有关问题例 5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 9 ,底面周8长为 3,则这个球的体积为 .解
3、 设正六棱柱的底面边长为 x ,高为 h ,则有6x3,x1 ,963x2 h,2h843正六棱柱的底面圆的半径 r1 ,球心到底面的距离 d3 .外22接球的半径 Rr 2d 2 . 体积: V4R3 .3小结 本题是运用公式 R2r 2d 2 求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式 .二、构造法 (补形法 )1、构造正方体例 5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 _.9 .例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直, 且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积 S 4 R2 9 .小结:一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别
4、为 a、b、c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体, 于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径 .设其外接球的半径为 R ,则有 2R a2 b2 c2 .出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。【原理】:长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 ,则体对角线长为 la2b2c2 ,几何体的外接球直径为2R 体对角线长 la 2b2c2即 R2练习:在四面体 中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为 1, 6,3 ,若该四面体的四个顶点在一个球面上,求这个球的表面积。球的表面积为 S 4 R2 16例 6 一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )
5、A. 3 B.4 C.33 D.6A. (如图 2)例 7 在等腰梯形 ABCD 中, AB=2DC=2 , DAB=60 0 , E 为 AB 的中点,将 ADE 与 BEC 分布沿 ED 、 EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P ,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为( ).43666A. 27B. 2C. 8D. 24解析:(如图 3) 因为 AE=EB=DC=1 , DAB=CBE= DEA=60 0 ,所以AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1 ,即三棱锥 P-DCE 为正四面体,至此,这与例 6 就完全相同了,故选 C.D CPA E BD CE例 8 (2 已知球 O
6、的面上四点 A、B、C、D,DA平面 ABC ,ABBC ,DA=AB=BC= 3 ,则球 O 的体积等于.解析:本题同样用一般方法时,需要找出球心,求出球的半径 .而利用长方体模型很快便可找到球的直径,由于 DA 平面 ABC ,AB BC ,联想长方体中的相应线段关系, 构造如图 4 所示的长方体,又因为 DA=AB=BC= 3 ,则此长方体为正方体,所以 CD 长即为外接球9的直径,利用直角三角形解出 CD=3 .故球 O 的体积等于 2 .(如图 4)DOAB C图 42、例 9(2008 年安徽高考题)已知点 A 、B、C、D 在同一个球面上,AB 平面 BCD , BC DC ,若
7、 AB 6, AC=2 13,AD=8 ,则球的体积是解析:首先可联想到例 8,构造下面的长方体,于是 AD 为球的直径, O 为球心, OB=OC=4 为半径,要求 B、C 两点间的球面距离,只要求出BOC 即可,在 Rt ABC 中,求出 BC =4,所以BOC=60 0 ,故4B、C 两点间的球面距离是 3 .(如图 5)AOBCD图 5本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。三 .多面体几何性质法例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为 16,则这个球的表面积是A. 16 B. 20 C. 24 D. 32 .选 C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角
8、线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的 .四.寻求轴截面圆半径法例 4 正四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ,点S、 A、B、C、 D 都在同一球面上,则此球的体积为.SDC解设正四棱锥的底面中心为 O1 ,外接球的球心O1A图 3B为 O ,如图 1 所示 .由球的截面的性质,可得OO1 平面 ABCD .又SO 平面 ABCD11 ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆,外接圆的半径就是外接球的半径 .在 ASC中,由 SA SC2, AC2 ,得 SA2SC2AC 2. ASC是以 AC为斜边的 Rt .ACV 球41.故3 . 2是外接圆的半径,也是外接球的半径小
9、结 根据题意,我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆, 于是该圆的半径就是所求的外接球的半径 .本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法,该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆, 从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究 .这种等价转化的数学思想方法值得我们学习 .五 .确定球心位置法例 5在矩形 ABCD 中, AB4, BC 3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 BAC D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积为D125125125CA. 12B. 9C. 6AO图 4 B125D. 3解 设矩形对角线的交点为 O ,则由矩形对角线互
10、相平分,可知OA OB OC OD .点 O 到四面体的四个顶点 A、B、C、D 的距离相等,即点 O 为四面体的外接球的球心,如图 2 所示 .外接球的半径R OA 5 V球 4 R3 1252.故 3 6.选 C.出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。【例题】:已知三棱锥的四个顶点都在球 的球面上, 且, , , ,求球 的体积。解: 且 , , , ,因为 所以知所以 所以可得图形为:在 中斜边为在 中斜边为取斜边的中点 ,在 中在 中所以在几何体中 ,即为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为【总结】斜边一般为四面
11、体中除了直角顶点以外的两个点连线。1. (陕西理?6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上, 则该正三棱锥的体积是()A3 3B 3C3434答案 BD 3122. 直三棱柱 ABC A1 B1C1 的各顶点都在同一球面上,若AB AC AA1 2 , BAC 120 ,则此球的表面积等于 。解 :在 ABC 中 AB AC 2 , BAC 120 ,可得 BC 2 3 ,由正弦定理 ,可得 ABC外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O ,球心为 O ,在 RT OBO 中,易得球半径 R 5 ,故此球的表面积为 4 R2 20 .3正三棱柱 AB
12、C A1 B1C1 内接于半径为 2 的球,若 A, B 两点的球面距离为 ,则正三棱柱的体积为 答案 84. 表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上, 则此球的体积为A 2B 1C2D223333答案A【解析】 此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形,所以由3a22 3知,84a 1 ,则此球的直径为 2 ,故选 A。5. 已知正方体外接球的体积是32,那么正方体的棱长等于()3A.22B. 23C.4233D.4 33答案D6. (2006 山东卷) 正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )A. 1 3 B. 13 C. 13 3D. 19答案 C7. (2008
13、海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 9,底面周长为 3,则这个球的体积为8答案 438. (2007 天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上, 且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 答案 149.(2007 全国理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 cm2.答案 2 4 210.( 2006 辽宁) 如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF ,则此正六棱P锥的侧面积是 _答案 6
14、7C DBEA F11. (辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考 )棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形 ( 正四面体的截面 ) 的面积是 .答案 212.(2009 枣庄一模) 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为 ( )A3 B 2C 16 D以上都不对3答案 C13.设正方体的棱长为23,则它的外接球的表面积为()3A 8B2C4 D 433答案 C20 、人因为心里不快乐,才浪费,是一种补偿作用。21 、我要你知道,在这个世界上总有一个人是等着你的,不管在什么时候,不管在什么地方,反正你知道,总有
15、这么个人。22 、回忆这东西若是有气味的话,那就是樟脑的香,甜而稳妥,像记得分明的块乐,甜而怅惘,像忘却了的忧愁。23 、对于三十岁以后的人来说,十年八年不过是指缝间的事,而对于年轻人而言,三年五年就可以是一生一世。24 、一般的说来,活过半辈子的人,大都有一点真切的生活经验,一点独到的见解。他们从来没想到把它写下来,事过境迁,就此湮没了。25 、男人做错事,但是女人远兜远转地计划怎样做错事。女人不大想到未来 同时也努力忘记她们的过去所以天晓得她们到底有什么可想的!26 、男人憧憬着一个女人的身体的时候,就关心到她的灵魂,自己骗自己说是爱上了她的灵魂。惟有占领了她的身体之后,他才能够忘记她的灵
16、魂。27 、要是真的自杀,死了倒也就完了,生命却是比死更可怕的,生命可以无限制地发展下去,变的更坏,更坏,比当初想象中最不堪的境界还要不堪。28 、太大的衣服另有一种特殊的诱惑性,走起路来,一波未平,一波又起,有人的地方是人在颤抖,无人的地方是衣服在颤抖,虚虚实实,极其神秘。29 、因为懂得,所以慈悲。30 、这世上没有一样感情不是千疮百孔的想要忘记一段感情,方法永远只有一个:时间和新欢。要是时间和新欢也不能让你忘记一段感情,原因只有一个:时间不够长,新欢不够好。张小娴面包树上的女人假如没有遇上你,我会不会有另一种人生?不管有没有结果,我还是宁愿与你相逢。张小娴只是希望能有个人,在我说没事的时
17、候,知道我不是真的没事;能有个人,在我强颜欢笑的时候,知道我不是真的开心。张小娴有一些人,这辈子都不会在一起,但是有一种感觉却可以藏在心里,守一辈子张小娴爱情是一百年的孤独,直到遇上那个矢志不渝的守护你的人,那一刻,所有苦涩的孤独,都有了归途。张小娴我终究是爱你的当你想念一个人的时候,尽情去想念吧,也许有一天,你再也不会如此想念他了。到了那一天,你会想念曾经那么想念一个人的滋味。当你爱一个人的时候,尽情去爱吧,也让他知道你是如此爱他。也许有一天,当你长大了,受过太多的伤,失望太多,思虑也多了,你再也不会那么炽烈地爱一个人。张小娴我没有很刻意的去想念你,因为我知道,遇到了就应该感恩,路过了就需要释怀。我只是在很多很多的小瞬间,想起你。比如一部电影,一首歌,一句歌词,一条马路和无数个闭上眼睛的瞬间。张小娴思念往昔最难过的,莫过于当你遇上一个特别的人,却明白永远不可能在一起,或迟或早,你不得不放弃。张小娴永不,永不说再见男人对女人的伤害,不一定是他爱上了别人,而是他在她有所期待的时候让她失望,在她脆弱的时候没有扶她一把。
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