初一数学培训讲义第2讲 平行线及其判定.docx

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初一数学培训讲义第2讲平行线及其判定

第二讲平行线及其判定

一、主要知识点回顾

1．平行定义：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

（无公共点）

2．平行公理推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（传

递性）。

若a∥c，b∥c，则ac。

3．如图1，三线八角：

几何符号语言：

∵∠3＝∠2

∴AB∥CD（）

∵∠1＝∠2

∴AB∥CD（）

图1

∵∠4＋∠2＝180°

∴AB∥CD（）

二、感悟与实践

例题1：

如图2

∵∠1=∠D，

∴______∥________（内错角相等，两直线平等）

∵∠1=∠B，

∴______∥________（同位角相等，两直线平行）

∵∠A+∠B=180°，

∴______∥________（同旁内角互补，两直线平行）

∵∠A+∠D=180°，

∴______∥________（同旁内角互补，两直线平行）

变式练习1：

如图3，填空：

当∠ECF=时，AB∥CF

当∠BCF=时，AB∥CF

当∠ABF=时，AC∥BF

当∠ACF=时，AB∥CF

例题2：

如图4所示，∠BAN＝70°，∠CNG＝70°，∠EMN＝110°，可以推出AB∥CD，AG∥EF。

请完成下列填空：

解：

∵∠BAN＝70°，∠CNG＝70°，（已知）

∴∠BAN＝∠CNG。

（）

∴_______∥_______。

（）

又∵∠ANM＝∠CNG，（）

∴∠ANM＝70°。

（）

∴∠ANM+∠EMN＝110°+70°＝180°，

∴AG∥EF。

（）

变式练习2：

如图5所示，点E在CD上，点F在BA上，G是AD延长线上一点。

（1）∵∠A＝∠1，

∴____∥_____（）

（2）∵∠1＝∠_____，

∴AG∥BC（内错角相等，两直线平等）

（3）∵∠2+∠____＝180°，

∵CD∥AB（）

例题3：

如图6所示，已知∠1＝∠2，AC平分∠DCB。

请问：

CB∥DA成立吗？

可以的话，请说明原因。

变式练习3：

如图7，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°，AC与BD平行吗？

AE与BF平行吗？

为什么？

例题4：

已知：

如图8，直线AB、CD、EF被MN所截，∠1＝∠2，∠3+∠1＝180°，试说明CD∥EF。

变式练习4：

如图9，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D。

试说明：

AC∥DF。

三、巩固与提高

（A）巩固练习

1．下图10中，∠1和∠2是同位角的是（）。

A．B．C．D．

2．如图11所示，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则图形中平行的是（）。

A．AB∥CD∥EF

B．CD∥EF

C．AB∥EF

D．AB∥CD∥EF，BC∥DE

3．下列说法正确的个数有（）。

①在同一平面内不相交的两直线叫平行线

②过一点只有一条直线与已知直线平行

③在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

④连接两点之间的线段叫两点之间的距离

A．4个B．0个C．1个D．2个

4．如图12，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）。

A．∠1＝∠3B．∠4＝∠5

C．∠2＋∠4＝180°D．∠2＝∠3

5．如图13，∵∠1＝∠2＝80°，

∴∥（）

∵∠3＝∠4＝100°，

∴∥（）

6．如图14，如果∠＝∠，那么ED∥BC，根据。

（只需写出一种情况）

7．a、b、c是直线，且a∥b，b∥c，则ac；

a、b、c是直线，且a⊥b，b⊥c，则ac；

8．如图15，AC平分∠DAB，所以∠1＝_________，又因为∠1＝∠2，所以∠2＝_________，所以AB∥_________，

9．如图16所示，直线AB、CD被直线EF所截，∠1＝∠2，请问直线AB和CD平行吗？

为什么？

10．如图17所示，已知∠ADE＝∠DEF，∠EFC+∠C＝180°，求证：

AD∥BC。

证明：

∵∠ADE＝∠DEF（已知）

∴∥。

（）。

又∵∠EFC+∠C＝180°（已知）

∴EF∥。

（）。

∴∥。

（）。

（B）能力提高

1．同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（）。

A．a∥dB．b⊥dC．a⊥dD．b∥c

2．如图18，下列条件中能判定AB∥CE的是（）。

A．∠B=∠ACEB．∠B=∠ACB

C．∠A=∠ECDD．∠A=∠ACE

3．如图19示，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且∠1＝∠2，要使DF∥BC，只需再有下列条件中的（）。

A．∠2＝∠CB．∠1＝∠FAD

C．∠1＝∠ADFD．∠2＝∠AFD

4．如图20，已知∠1＝∠2，∠BAD＝∠BCD，则下列结论：

①AB//CD；②AD//BC；③∠B＝∠D；④∠D＝∠ACB。

其中正确的有（）。

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．如图21，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠BCF。

（1）AE与FC会平行吗？

说明理由。

（2）AD与BC的位置关系如何？

为什么？

（C）趣味数学

马明巧解数学趣题

著名数学家马明先生曾巧妙地解答了美国《数学月刊》上刊登的一道趣题：

有人在如图所示的小路上行走，当他从A处走到B处时，共走了几米？

（假设小路宽度都是1米）

马明看到这道趣题时，电视台正在播放排球比赛，运动员挥汗如雨，中场休息时，服务员用宽宽的扁平拖把擦拭地板上的汗迹，见此情景，马明先生灵机一动，心想，如果这个扁平的拖把宽度是1米，把行人看作服务员带着扁平拖把

沿着小路往前推进，即服务员拖1米2面积的场地，相当于行

人前进1米，而整个场地面积为，所以行人在小

路上从A走到B，共行进了米。

此题，马明先生巧妙地将长度问题转化为问题。

由于思路新颖，解题过程显得清晰、明快，希望同学们认真学习和借鉴。

四、考考你

1．如图22所示，如果∠D＝∠EFC，那么（）。

A．AD∥BCB．EF∥BCC．AB∥DCD．AD∥EF

2．（2000江苏）如图23，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：

①∠1＝∠5；②∠1＝∠7；③∠2+∠3＝180°；④∠4＝∠7。

其中能说明a∥b的条件序号为（）。

A．①②B．①③C．①④D．③④

3．如图24，由已知条件推出的结论，正确的是（）。

A．由∠1＝∠5，可推出AB∥CDB．由∠3＝∠7，可推出AD∥BC

C．由∠2＝∠6，可推出AD∥BCD．由∠4＝∠8，可推出AD∥BC

4．如图25，若∠2＝∠6，则______∥_______，如果∠3+∠4+∠5+∠6＝180°，那么_______∥_______，如果∠9＝_____，那么AD∥BC；如果∠9＝_____，那么AB∥CD。

5．下列说法错误的是（）。

A．同位角不一定相等B．内错角都相等

C．同旁内角可能相等D．同旁内角互补，两直线平行

五、课外练习

1．如图26，已知

，

，

。

试判断

与

的关系，并说明你的理由。

解：

BE∥CF。

理由：

∵

，

（已知）

∴__________＝___________＝

（）

∵

（）

∴∠ABC-∠1＝∠BCD-∠2，即∠EBC＝∠BCF

∴________∥________（）

2．如图27所示，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，并且∠1＋∠2＝90°，试问AB与CD有什么关系，并说明理由。

（参考例2的书写格式）

补充讲义平行线及其判定

【能力拓展】

1．如图1，AB⊥BD，CD⊥MN，垂足分别是B，D点，∠FDC＝∠EBA。

（1）判断CD与AB的位置关系；

（2）BE与DE平行吗？

为什么？

2．如图2，已知直线EF和AB，CD分别相交于K，H，且EG⊥AB，∠CHF＝60°，

∠E＝30°，试说明AB∥CD。

H

3．如图3所示，在折线ABCDEFG中，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5，延长AB。

GF交于点M。

试探索∠AMG与∠3的关系，并说明理由。

【课堂小测】共5题，每小题20分，满分100分

1．下列说法正确的是（）。

A．两条不相交的直线叫做平行线。

B．一条直线的平行线有且只有一条。

C．若a∥b，a∥c，则b∥c。

D．两直线不相交就平行。

2．（2009年枣庄市）如图4，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是（）。

A．当∠1＝∠2时，a∥b

B．当a∥b时，∠1＝∠2

C．当a∥b时，∠1＝∠2＝90°

D．当a∥b时，∠1+∠2＝180°

3．（2009年肇庆市）如图5，

中，

，DE过点C，且

，若

，则∠B的度数是（）。

A．35°

B．45°

C．55°

D．65°

4．如图6所示，能够判断EB∥AC的条件是（）。

A．∠C＝∠ABE

B．∠A＝∠EBD

C．∠C＝∠ABC

D．∠A＝∠ABE

5．如图7所示，在下列给出的条件中，不能判断AB∥DF的是（）。

A．∠A＋∠2＝180°

B．∠3＝∠A

C．∠1＝∠4

D．∠1＝∠A

初一数学讲义第二讲参考答案（58期）

一、主要知识点回顾

2．∥

3．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。

二、感悟与实践

例题1：

AD，BC；AB，CD；AD，BC；AB，CD。

变式练习1：

70°；40°；110°；110°。

例题2：

等量代换，AB，CN，同位角相等，两直线平行，对顶角相等，等量代换，同旁内角互补，两直线平行。

点评：

不要混淆两直线平行的三个判定定理的应用，尽量去尝试用正确的几何证明的书写格式。

变式练习2：

（1）AB，DC，同位角相等，两直线平行；

（2）C；

（3）EFB，同旁内角互补，两直线平行。

例题3：

CB∥DA成立.

∵AC平分∠DAB

∴∠2＝∠3

又∵∠1＝∠2

∴∠1＝∠3

∴CB∥DA（内错角相等，两直线平行）

变式练习3：

（1）AC与BD平行，

∵∠1＝∠2＝35°

∴AC与BD平行，（同位角相等，两直线平行）

（2）AE与BF平行

∵AC⊥AE，BD⊥BF

∴∠EAC＝∠FBD＝90°

∴∠1+∠EAC＝∠2+∠FBD

∴∠EAB＝∠FBG

∴AE与BF平行（同位角相等，两直线平行）

例题4：

证明：

∵∠1＝∠2，

∴AB∥CD。

又∵∠3+∠1＝180°，

∴AB∥EF。

∴CD∥EF（如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行）。

点评：

证明两直线平行，除了用平行线的三种判定外，不要忽视了平行公理的推论也是一种证明两直线平行的好方法。

变式练习4：

证明：

∵∠1＝∠2（已知）

∵∠1＝∠3（对顶角相等）

∴∠2＝∠3（等量代换）

∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）

∴∠C＝∠ABD（两直线平行，同位角相等）

∵∠C＝∠D（已知）

∴∠D＝∠ABD（已知）

∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）

三、巩固与提高

（A）巩固练习

1．D2．D3．D4．D

5．AB∥CD；同位角相等，两直线平行；EF∥GH;内错角相等，两直线平行；

6．∠3＝∠C；∠1＝∠2

7．∥；∥；

8．∠CAB；∠CAB；CD

9．平行，证明：

∵∠1＝∠3（对顶角相等）

又∵∠1＝∠2，

∴∠3＝∠2（等量代换）

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

10．AD，EF；内错角相等，两直线平行；

BC，同旁内角互补，两直线平行；AD，BC。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

（B）能力提高

1．C2．D3．D4．C

5．

（1）AE与FC会平行

∵∠1+∠2＝180°（已知）

又∵∠CDB+∠2＝180°（邻补角定义）

∴∠1＝∠CDB（等量代换）

∴AE∥FC（同位角相等，两直线平行）

（2）AD与BC平行

∵AE∥FC

∴∠ADF＝∠A

又∵∠A＝∠BCF

∴∠ADF＝∠BCF（同位角相等，两直线平行）

（C）趣味数学

16×8＝128（米2），128米；面积。

四、考考你

1．D2．A3．D

4．AD∥BC，AD∥BC，∠9＝∠DAB，∠9＝∠DCB

5．B

五、课外练习

1．∠ABC、∠BCD、垂直的定义；已知；BE、CF、内错角相等，两直线平行；

2．AB∥CD，理由是：

∵∠1＋∠2＝90°，

∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，

∴∠CDB＝2∠1，∠ABD＝2∠2

∴∠CDB＋∠ABD＝2∠1＋2∠2＝2（∠1＋∠2）

又∵∠1＋∠2＝90°，

即∠CDB＋∠ABD＝180°，

∴AB∥CD。

初一数学补充讲义第二讲参考答案（58期）

【能力拓展】

1．

（1）CD∥AB

∵CD⊥MN，AB⊥MN，

∴CDN＝∠ABM＝90°

∴CD∥AB

（2）平行

∵∠CDN＝∠ABN=90°，∠FDC＝EBA

∴∠FDN＝∠EBN

∴FD∥EB

2．延长EG交CD于点M，在△EHM中，

∠EHD＝∠CHF＝600，又∠E＝30°，所以

∠EMH＝90°，EG⊥AB，得∠EGK＝90°，

所以∠EGK＝∠EMH，所以AB∥CD。

3．∠AMG＝∠3

理由：

∵∠1＝∠2，

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

∵∠3＝∠4，

∴CD∥EF（内错角相等，两直线平行）

∴AB∥EF（平行于同一条直线的两直线平行）

∴∠AMG＝∠5（两直线平行，同位角相等）

又∵∠5＝∠3

∴∠AMG＝∠3

【课堂小测】

1．C2．D3．A4．D5．D