人教版最新高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解及参考答案.docx

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人教版最新高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解及参考答案

——教学资料参考参考范本——

人教版最新高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解及参考答案

______年______月______日

____________________部门

（附参考答案）

一、选择题

1．已知f（x）＝－x－x3，x∈[a，b]，且f（a）·f（b）<0，则f（x）＝0在[a，b]内（　　）

A．至少有一实数根B．至多有一实数根

C．没有实数根D．有唯一实数根

[答案]　D

[解析]　∵函数f（x）在[a，b]上是单调减函数，

又f（a），f（b）异号．∴f（x）在[a，b]内有且仅有一个零点，故选D.

2．（20xx·北京文）给定函数①y＝x，②y＝log（x＋1），③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间（0,1）上单调递减的函数的序号是（　　）

A．①②B．②③

C．③④D．①④

[答案]　B

[解析]　易知y＝x在（0,1）递增，故排除A、D选项；又y＝log（x＋1）的图象是由y＝logx的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y＝logx相同为递减的，所以②符合题意，故选B.

3．（20xx·××市模拟）设y1＝0.4，y2＝0.5，y3＝0.5，则（　　）

A．y3

C．y2

[答案]　B

[解析]　∵y＝0.5x为减函数，∴0.5<0.5，

∵y＝x在第一象限内是增函数，

∴0.4<0.5，∴y1

4．（20xx·××市）已知函数，若f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）

A．（1,2）B．（2,3）

C．（2,3]D．（2，＋∞）

[答案]　C

[解析]　∵f（x）在R上单调增，

∴，

∴2

5．（文）（20xx·山东济宁）若函数f（x）＝x2＋2x＋alnx在（0,1）上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≥0B．a≤0

C．a≥－4D．a≤－4

[答案]　D

[解析]　∵函数f（x）＝x2＋2x＋alnx在（0,1）上单调递减，∴当x∈（0,1）时，f′（x）＝2x＋2＋＝≤0，∴g（x）＝2x2＋2x＋a≤0在x∈（0,1）时恒成立，

∴g（0）≤0，g

（1）≤0，即a≤－4.

（理）已知函数y＝tanωx在内是减函数，则ω的取值范围是（　　）

A．0<ω≤1B．－1≤ω<0

C．ω≥1D．ω≤－1

[答案]　B

[解析]　∵tanωx在上是减函数，

∴ω<0.当－

－≤<ωx<－≤，

∴，∴－1≤ω<0.

6．（20xx·天津文）设a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，则（　　）

A．a＜c＜bB．b＜c＜a

C．a＜b＜cD．b＜a＜c

[答案]　D

[解析]　∵1>log54>log53>0，∴log53>（log53）2>0，而log45>1，∴c>a>b.

7．若f（x）＝x3－6ax的单调递减区间是（－2,2），则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，0]B．[－2,2]

C．{2}D．[2，＋∞）

[答案]　C

[解析]　f′（x）＝3x2－6a，

若a≤0，则f′（x）≥0，∴f（x）单调增，排除A；

若a>0，则由f′（x）＝0得x＝±，当x<－和x>时，f′（x）>0，f（x）单调增，当－

∴f（x）的单调减区间为（－，），从而＝2，

∴a＝2.

[点评]　f（x）的单调递减区间是（－2,2）和f（x）在（－2，2）上单调递减是不同的，应加以区分．

8．（文）定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，若f（）＝0，则适合不等式f（logx）>0的x的取值范围是（　　）

A．（3，＋∞）B．（0，）

C．（0，＋∞）D．（0，）∪（3，＋∞）

[答案]　D

[解析]　∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，且f（）＝0，则由f（logx）>0，得|logx|>，即logx>或logx<－.选D.

（理）（20xx·××市）已知函数f（x）图象的两条对称轴x＝0和x＝1，且在x∈[－1,0]上f（x）单调递增，设a＝f（3），b＝f（），c＝f

（2），则a、b、c的大小关系是（　　）

A．a>b>cB．a>c>b

C．b>c>aD．c>b>a

[答案]　D

[解析]　∵f（x）在[－1,0]上单调增，f（x）的图象关于直线x＝0对称，

∴f（x）在[0,1]上单调减；又f（x）的图象关于直线x＝1对称，

∴f（x）在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．

由对称性f（3）＝f（－1）＝f

（1）

（2），

即a

9．（20xx·天津高考）已知函数f（x）＝若f（2－a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）

B．（－1,2）

C．（－2,1）

D．（－∞，－2）∪（1，＋∞）

[答案]　C

[解析]　∵x≥0时，f（x）＝x2＋4x＝（x＋2）2－4单调递增，且f（x）≥0；当x<0时，f（x）＝4x－x2＝－（x－2）2＋4单调递增，且f（x）<0，∴f（x）在R上单调递增，由f（2－a2）>f（a）得2－a2>a，∴－2

10．（20xx·泉州模拟）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y），当x<0时，f（x）>0，则函数f（x）在[a，b]上有（　　）

A．最小值f（a）

B．最大值f（b）

C．最小值f（b）

D．最大值f

[答案]　C

[解析]　令x＝y＝0得，f（0）＝0，

令y＝－x得，f（0）＝f（x）＋f（－x），

∴f（－x）＝－f（x）．

对任意x1，x2∈R且x1

f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）

＝f（x1－x2）>0，∴f（x1）>f（x2），

∴f（x）在R上是减函数，

∴f（x）在[a，b]上最小值为f（b）．

二、填空题

11．（20xx·重庆中学）已知函数f（x）＝ax＋－4（a，b为常数），f（lg2）＝0，则f（lg）＝________.

[答案]　－8

[解析]　令φ（x）＝ax＋，则φ（x）为奇函数，f（x）＝φ（x）－4，

∵f（lg2）＝φ（lg2）－4＝0，∴φ（lg2）＝4，

∴f（lg）＝f（－lg2）＝φ（－lg2）－4

＝－φ（lg2）－4＝－8.

12．偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，且f（x）在[－2，k]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k＝________.

[答案]　3

[解析]　∵偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，∴f（x）在[0，＋∞）上单调递增．

因此，若k≤0，则k－（－2）＝k＋2<3，若k>0，∵f（x）在[－2,0]上单调减在[0，－k]上单调增，∴最小值为f（0），又在[－2，k]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k－0＝3，即k＝3.

13．函数f（x）＝在（－∞，－3）上是减函数，则a的取值范围是________．

[答案]　

[解析]　∵f（x）＝a－在（－∞，－3）上是减函数，∴3a＋1<0，∴a<－.

14．（20xx·江苏××市调研）设a（00，则t的取值范围是______．

[答案]　（1，）∪（0，）

[解析]　f（logat）>0，即f（logat）>f，

∵f（x）在（0，＋∞）上为增函数，∴logat>，

∵0

又f（x）为奇函数，∴f＝－f＝0，

∴f（logat）>0又可化为f（logat）>f，

∵奇函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，

∴f（x）在（－∞，0）上为增函数，∴0>logat>－，

∵0

综上知，0

三、解答题

15．（20xx·××市东××区）已知函数f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x），a>0且a≠1.

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；

（3）当a>1时，求使f（x）>0的x的取值集合．

[解析]　

（1）要使f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x）有意义，则

，解得－1

故所求定义域为{x|－1

（2）由

（1）知f（x）的定义域为{x|－1

且f（－x）＝loga（－x＋1）－loga（1＋x）＝－[loga（x＋1）－loga（1－x）]＝－f（x），故f（x）为奇函数．

（3）因为当a>1时，f（x）在定义域{x|－1

所以f（x）>0⇔>1.

解得0

所以使f（x）>0的x的取值集合是{x|0

16．（20xx·北京东××区）已知函数f（x）＝loga是奇函数（a>0，a≠1）．

（1）求m的值；

（2）求函数f（x）的单调区间；

（3）若当x∈（1，a－2）时，f（x）的值域为（1，＋∞），求实数a的值．

[解析]　

（1）依题意，f（－x）＝－f（x），即f（x）＋f（－x）＝0，即loga＋loga＝0，

∴·＝1，∴（1－m2）x2＝0恒成立，

∴1－m2＝0，∴m＝－1或m＝1（不合题意，舍去）

当m＝－1时，由>0得，x∈（－∞，－1）∪（1，＋∞），此即函数f（x）的定义域，

又有f（－x）＝－f（x），

∴m＝－1是符合题意的解．

（2）∵f（x）＝loga，

∴f′（x）＝′logae

＝·logae＝

①若a>1，则logae>0

当x∈（1，＋∞）时，1－x2<0，∴f′（x）<0，f（x）在（1，＋∞）上单调递减，

即（1，＋∞）是f（x）的单调递减区间；

由奇函数的性质知，（－∞，－1）是f（x）的单调递减区间．

②若0

当x∈（1，＋∞）时，1－x2<0，∴f′（x）>0，

∴（1，＋∞）是f（x）的单调递增区间；由奇函数的性质知，（－∞，－1）是f（x）的单调递增区间．

（3）令t＝＝1＋，则t为x的减函数

∵x∈（1，a－2），

∴t∈且a>3，要使f（x）的值域为（1，＋∞），需loga＝1，解得a＝2＋.

17．（20xx·山东文）已知函数f（x）＝lnx－ax＋－1（a∈R）．

（1）当a＝－1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程；

（2）当a≤时，讨论f（x）的单调性．

[解析]　

（1）a＝－1时，f（x）＝lnx＋x＋－1，x∈（0，＋∞）．

f′（x）＝，x∈（0，＋∞），

因此f′

（2）＝1，

即曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线斜率为1.

又f

（2）＝ln2＋2，

所以y＝f（x）在（2，f

（2））处的切线方程为y－（ln2＋2）＝x－2，

即x－y＋ln2＝0.

（2）因为f（x）＝lnx－ax＋－1，

所以f′（x）＝－a＋＝－　x∈（0，＋∞）．

令g（x）＝ax2－x＋1－a，

①当a＝0时，g（x）＝1－x，x∈（0，＋∞），

当x∈（0,1）时，g（x）>0，f′（x）<0，f（x）单调递减；

当x∈（1，＋∞）时，g（x）<0，此时f′（x）>0，f（x）单调递增；

②当a≠0时，f′（x）＝a（x－1）[x－（－1）]，

（ⅰ）当a＝时，g（x）≥0恒成立，f′（x）≤0，f（x）在（0，＋∞）上单调递减；

（ⅱ）当01>0，

x∈（0,1）时，g（x）>0，此时f′（x）<0，f（x）单调递减；

x∈（1，－1）时，g（x）<0，此时f′（x）>0，f（x）单调递增；

x∈（－1，＋∞）时，g（x）>0，此时f′（x）<0，f（x）单调递减；

③当a<0时，－1<0，

x∈（0,1）时，g（x）>0，有f′（x）<0，f（x）单调递减

x∈（1，＋∞）时，g（x）<0，有f′（x）>0，f（x）单调递增．

综上所述：

当a≤0时，函数f（x）在（0,1）上单调递减，（1，＋∞）上单调递增；

当a＝时，f（x）在（0，＋∞）上单调递减；

当0

注：

分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚．