若命题q为真,则函数y=x2+(2a-3)x+1的图象与x轴交于不同的两点,由Δ=(2a-3)2-4>0,得4a2-12a+5>0,解得a<
或a>
.
因为p∧q是假命题,p∨q是真命题,所以p,q一真一假.
①若p真q假,则
所以
≤a<1;
②若p假q真,则
所以a≤0或a>
.
故实数a的取值范围是a≤0或
≤a<1或a>
.
4.[2017·山西联考]已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件:
①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0;②∃x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0,求m的取值范围.
解 由题意知m≠0,∴f(x)=m(x-2m)(x+m+3)为二次函数,若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,必须抛物线开口向下,即m<0.
f(x)=0的两根x1=2m,x2=-m-3,则x1-x2=3m+3.
(1)当x1>x2,即m>-1时,必须大根x1=2m<1,即m<
.
(2)当x1-4.
(3)当x1=x2,即m=-1时,x1=x2=-2<1也满足条件.
∴满足条件①的m的取值范围为-4若∃x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0,则满足方程f(x)=0的小根小于-4.
(1)当m>-1时,小根x2=-m-3<-4且m<0,无解.
(2)当m<-1时,小根x1=2m<-4且m<0,解得m<-2.
(3)当m=-1时,f(x)=-(x+2)2≤0恒成立,∴不满足②.
∴满足①②的m的取值范围是-4