二次函数和旋转周练.docx
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二次函数和旋转周练
二次函数和旋转周练
一．选择题（共6小题）
1．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示．则下列结论：
①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（ ）
A．①③B．②③C．②④D．②③④
2．已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0
3．若函数y=（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（ ）
A．﹣2或3B．﹣2或﹣3C．1或﹣2或3D．1或﹣2或﹣3
4．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABD=∠EB．AD∥BCC．∠CBE=∠CD．AD=BC
5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的是（ ）
A．B′C平分∠BB′A′B．∠ACB=2∠BC．∠B′CA=∠B′ACD．∠BCB′=∠ACA′
6．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是（ ）
A．40°B．60°C．50°D．70°
二．填空题（共6小题）
7．二次函数y=x2+6x+5图象的顶点坐标为 ．
8．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ．
9．如下图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE=x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为 ．
10．如下图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是 ．
11．如下图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若BE=2，DF=3，则AH的长为 ．
12．如下图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得C′C∥AB，则∠B′AB等于 ．
第12题
第11题
第10题
第9题
三．解答题（共8小题）
13．如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标．
14．某商店购买一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件．据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高一元，销售量相应减少20件．如何提高销售价，才能在半月内获得最大利润？
15．如图所示，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接
BG并延长交DE于F，将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′．
（1）判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．
（2）由△BCG经过怎样的变换可得到△DAE′？
请说出具体的变换过程．
16．已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图，当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；
（2）在
（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；
17．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．
（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．
18．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：
△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：
当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（﹣1，0）．将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线经过点C、M、N．解答下列问题：
（1）求直线BB′的函数解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上求出使的所有点P的坐标．
20．如图1，在平面直角坐标系中有一Rt△AOB，O为坐标原点，OA=1，B（0,3），将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线l：
y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线l的解析式及顶点G的坐标．
（2）①求证：
抛物线l经过点C．
②分别连接CG，DG，求△GCD的面积．
（3）在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使△PCD与△CDG的面积相等，请直接写出点P的坐标．
参考答案：
DCCBAB
13．如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标．
解：
（1）把A（4，0），B（1，3）代入y=ax2+bx得，解得，
所以抛物线解析式为y=﹣x2+4x；
（2）当y=3时，﹣x2+4x=3，解得x1=1，x2=3，则C点坐标为（3，3），
所以△ABC的面积=×2×3=3；
（3）作PQ⊥BH，如图，设P（m，﹣m2+4m）
∵S△ABH+S梯形APQH=S△PBQ+S△ABP，
∴×3×3+（3+m﹣1）×（m2﹣4m）=×（m﹣1）×（3+m2﹣4m）+6，
整理得m2﹣5m=0，解得m1=0（舍去），m2=5，
∴P点坐标为（5，﹣5）．
14．某商店购买一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件．据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高一元，销售量相应减少20件．如何提高销售价，才能在半月内获得最大利润？
解：
销售单价提高5元，才能在半月内获得最大利润4500元．
15．如图所示，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接
BG并延长交DE于F，将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′．
（1）判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．
（2）由△BCG经过怎样的变换可得到△DAE′？
请说出具体的变换过程．
解：
（1）四边形E′BGD是平行四边形．
理由：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′，
∵CE=CG，
∴AE′=CG，
∴BE′=DG，
∴四边形E′BGD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°．
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠BCD=∠DCE=90°．
在△BCG和△DCE，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS）；
∴由△BCG绕点C顺时针旋转90°可得到△DCE，再绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′．
16.已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．
（1）如图，当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；
（2）在
（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；
解：
（1）∵直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，
∴A（，0），B（0，﹣5）．
当点M与点A重合时，∴M（，0），
∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣）2，即y=﹣x2+5x﹣；
（2）N在直线y=2x﹣5上，设N（a，2a﹣5），又N在抛物线上，
∴2a﹣5=﹣a2+5a﹣，解得a1=，a2=（舍去），
∴N（，﹣4）．
过点N作NC⊥x轴，垂足为C，如图1
，
∵N（，﹣4），
∴C（，0），
∴NC=4．MC=OM﹣OC=﹣=2，
∴MN===2．
17．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．
（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．
解：
（1）如图1，延长EB交DG于点H，
∵ABCD和AEFG为正方形，
∴在Rt△ADG和Rt△ABE中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△ABE，
∴∠AGD=∠AEB，
∵∠HBG=∠EBA，
∴∠HGB+∠HBG=90°，
∴DG⊥BE；
（2）如图2，过点A作AP⊥BD交BD于点P，
∵ABCD和AEFG为正方形，
∴在△DAG和△BAE中，
，
∴△DAG≌△BAE（SAS），
∴DG=BE，
∵∠APD=90°，
∴AP=DP=，
∵AG=2，
∴PG==，
∴DG=DP+PG=+，
∵DG=BE，
∴BE=+．
18．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：
△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：
当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
（1）证明：
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形．
（2）解：
当α=150°时，△AOD是直角三角形．
理由是：
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，
∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．
（3）解：
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，
∴190°﹣α=α﹣60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，
∴α﹣60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，
∠OAD==120°﹣，
∴190°﹣α=120°﹣，
解得α=140°．
综上所述：
当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
19．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（﹣1，0）．将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线经过点C、M、N．解答下列问题：
（1）求直线BB′的函数解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上求出使的所有点P的坐标．
解：
（1）∵四边形OABC是矩形，
∴B（﹣1，3）
根据题意，得B′（3，1）
把B（﹣1，3），B′（3，1）代入y=mx+n中，，
解得，
∴y=﹣；
（2）由
（1）得，N（0，），M（5，0），
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把C（﹣1，0），M（5，0），N（0，）代入得
，
解得，
∴二次函数解析式为y=x2+2x+；
（3）∵S矩形OABC=3×1=3，
∴，
又∵B′C′=3，
∵B′（3，1），
∴点P到B′C′的距离为9，则P点的纵坐标为10或﹣8．
∵抛物线的顶点坐标为（2，），
∴P的纵坐标是10，不符合题意，舍去，
∴P的纵坐标是﹣8，
当y=﹣8时，﹣8=x2+2x+，
即x2﹣4x﹣21=0，
解得x1=﹣3，x2=7，
∴P1（﹣3，﹣8），P2（7，﹣8），
∴满足条件的点P的坐标是（﹣3，﹣8）和（7，﹣8）．
20．如图1，在平面直角坐标系中有一Rt△AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线l：
y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线l的解析式及顶点G的坐标．
（2）①求证：
抛物线l经过点C．
②分别连接CG，DG，求△GCD的面积．
（3）在第二象限内，抛物线上存在异于点G的一点P，使△PCD与△CDG的面积相等，请直接写出点P的坐标．
解：
（1）将A（1，0）、B（0，3）代入抛物线的解析式得：
，解得：
b=﹣2，c=3．∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点G的坐标为（﹣1，4）．
（2）①证明：
由旋转的性质可知；OC=OB=3，
∴C（﹣3，0）．
当x=﹣3时，y=﹣（﹣3）2﹣2×（﹣3）+3=﹣9+6+3=0，
∴点抛物线l经过点C．
②如图1所示；过点G作GE⊥y轴．
∵GE⊥y轴，G（﹣1，4），
∴GE=1，OE=4．
∴S梯形GEOC=（GE+OC）•OE=×（1+3）×4=8．
∵由旋转的性质可知；OD=OA=1，
∴DE=3．
∴S△OCD=OC•OD=×3×1=，S△GED=EG•ED=×1×3=．
∴S△CDG=S梯形GEOC﹣S△OCD﹣S△GED=8﹣﹣=5．
（3）如图2所示：
过点G作PG∥CD，交抛物线与点P．
∵PG∥CD，
∴△PCD的面积=△GCD的面积．
∵OD=OA=1，
∴D（0，1）．
设直线CD的解析式为y=kx+b．
∵将点C（﹣3，0）、D（0，1）代入得：
，解得：
k=，b=1，
∴直线CD的解析式为y=+1．
∵PG∥CD，
∴直线PG的一次项系数为．
设PG的解析式为y=x+b1．
∵将点G的坐标代入得：
+b1=4，解得：
b1=，
∴直线PG的解析式为y=+．
∵将y=+与y=﹣x2﹣2x+3联立．解得：
，，
∴P（﹣，）．
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