研究生数学建模竞赛优秀论文选《高速公路行车时间估计及最优路径选择问题》14页.docx

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研究生数学建模竞赛优秀论文选《高速公路行车时间估计及最优路径选择问题》14页

高速公路行车时间估计及最优路径选择问题

1问题复述

I

行车时间的估计对于旅行者来说非常重要。

因此，有些美国高速公路安装了传感器。

比如在圣安东尼奥（SanAntonio）市在所有的双向六车道的高速路上都安装了传感器。

但是车辆往往会不停的变换车道，为了简化问题我们可以忽略换道的影响，而只考虑一个车道的交通问题（如下图所示（参见原题），正方形代表传感器）。

1.传感器可以每天24小时探测每个车辆的速度。

每辆车的速度信息每20秒刷新一次记录。

下表是一组真实数据（由于交通数据非常巨大，因此只记录了每2分钟间隔中最后20秒的数据，单位：

英里/小时）。

请分析高速公路上的路况特点（如：

拥塞及其疏导。

一般来说时速高于50英里/小时认为不存在拥塞问题。

）如果车辆在时间t经过传感器，那么经过多久它通过第5个传感器？

请设计一种算法来估计车辆的运行时间，并证明算法的合理性和精确性。

如果路况信息每20秒（而不是每2分钟）刷新一次，那么这对你们的估计算法有影响吗？

在上面问题条件的基础上，如果传感器不仅能探测车辆速度，而且能探测单

位时间的交通流量（如下表，流量的单位是：

车辆数/每20秒）。

这些信息是否有助于算法的合理性和精确性的提高？

如果是，请重新设计你的算法。

II

第一张图（参见原题）是美国德克萨斯州圣安东尼奥市的地图。

第二张图（参见原题）反映了圣安东尼奥市的路况信息。

旅行者可以在车辆内置的导引系统中输入当前位置和目的地，系统会帮助选择路径并估计需要的时间。

不幸的是，由于每一路段（两个十字路口之间的道路）的路况是随机的，系统不能很好地确定最优（最快）路线和可靠的时间估计。

你能在问题1的基础上改进这个系统吗？

1.假设每段路的运行时间是互相独立的随机变量，请为系统设计一种算法来确定最优路线及时间估计。

请明确你的“最优”是如何定义的。

2.每一段路的行车时间依赖于其出发时间，并且行车时间之间具有相关性。

为了考察相关性如何随时间变化，通常会建立一个和时间有关的协方差矩阵Cov（ij,kl），i,j,k,l分别表示两端路的两个交叉口。

用上图设计一个合理矩阵和算法来寻找最有路线。

请定义清楚最优路线的含义。

如果有n个交叉口，那么时间相关的函数Cov（ij,kl）是一个n（n-1）/2阶的矩阵每一行或列代表路段：

12,...,1n,21,...,2n,n1,...,n（n-1）。

III

上图（参见原题），粗线表示高速公路的不同方向，上面的表示从左到右，左边的表示从上到下。

车辆通过十字路口时，可以到达其它连接的路段。

图中共有14个路口。

路口之间的距离如上表所示。

请分别找出从路口3到路口14，从路口14到路口3的最优路线和时间估计。

旅行时间的条件同问题1，每一段路的运行时间的期望和该路段长度成比例，方差和（路段长度）2/3的倒数成比例，同时也和路段两头的连接的道路数量的乘积成正比。

2基本假设

（1）认为道路上行驶的车辆只有一种，即不考虑由于车辆种类而造成路况及行车时间的影响；

（2）道路每个方向上只有一个车道；

（3）道路发生拥塞时能够有效疏导，即不会发生长时间的严重拥塞；

3符号说明

Li：

两个路口之间的一条道路；

li：

传感器i到i+1的距离（英里）；

ti：

车辆到达第i个传感器的时刻；

τi（tk）：

tk时刻从第i个传感器出发，到达第i+1个传感器的行车时间；

Tt：

道路在t时刻出发需要的行车时间；uti：

t时刻传感器i处的速度；

ut：

t时刻路段上探测点的平均速度，

4模型背景及分析

道路交通状态是非线性的，而且车辆、速度、路况之间具有交互作用。

其研究一般有二种模型：

宏观、微观。

宏观模型主要考察一些描述整体行为的变量，如单位时间流量、流量密度、平均速度等。

而微观模型主要考察单个车辆的瞬时速度、车距等指标。

从问题本身来看主要考察的是交通的宏观行为。

高速公路（highway）是国内较普遍的翻译，但在美国高速公路有另外一个单词freeway，其实highway大致相当于我国的一级公路或主干公路。

由于美国交通特别发达，而且没有中国这样多的收费站，因此高速公路（highway）是美国最繁忙的公路。

其特点是：

1.上下班有明显的高峰期；2.由于公路建设时间较长，很多车道需要维修，因此经常会有临时的车道封闭，从而造成交通拥挤的情况。

对高速公路行车时间的预测和当时的路况、天气、地形等因素有关，当拥塞现象比较明显时，行车时间的随机性和非线性更加显著，因此造成预测值可靠性非常差。

从旅行者的出行角度考虑，一般用四个指标来衡量，一是考虑期望的行车时间最短；二是考虑路线具有较高的可靠性，即发生严重阻塞的概率较小；三是考虑路程最短；四是考虑费用最低。

而有时这些指标之间往往是互相矛盾的，需要在两者间做出平衡，在本文中我们把行车时间最短作为设计目标。

5问题（I）的分析与建模

令ti表示车辆到达第i个传感器的时刻，τi（ti）表示ti时刻出发，从第i个传感器到第i+1个传感器的行车时间。

易知，从t时刻出发，到达各传感器的时刻分别为：

t1=t

t2=t1+τ1（t1）

...

tn=tn-1+τn-1（tn-1）

整个路段的运行时间为：

n

Tt=∑τi（ti）

i=1

（1）

因为传感器之间的距离不大，因此可以认为速度线性变化，此时每一个路段的运行时间可以用

（2）式计算：

τi（ti）=li

这个算法可用以下模型表示：

（2）

⎧n

⎪Tt=∑τi（ti）

⎪i=1

⎪（t）=l

i=1,...,n

（3）

⎨τiii

⎪

⎪t1=t

t

⎪

⎩i+1

=ti+τi（ti）

针对题目中的数据，用Matlab计算出了从某一时刻出发从第1个传感器到第5个传感器的行车时间，结果如下图所示：

图1不同出发时刻总行车时间的变化图

为了考察不同时刻出发运行时间的变差情况，我们把每10分钟的探测信息作为一组（共20组），然后计算每组的变差值σi，计算公式如下：

i+5

∑Ti

Ti,i+5=n=i

5

σi=

图2为总行车时间标准差随出发时刻不同的变化图；图3是每段路行车时间标准差随出发时刻不同的变化图。

图2不同时刻出发的总行车时间标准差

图3不同路段不同时刻出发的行车时间标准差

从图中可以看出在5:

18:

07PM（分组11）到6:

18:

07PM（分组17）这段时间变差比较大，这反映了下班时间道路比较拥挤的情况。

路段三在高峰期的方差最大，其次是路段四，这说明这两段路的通行能力较差（可能是本身的原因，也可能是受交通信号、意外事故的影响）。

为了刻画不同时间出发，所经历的路程上路况的变化，我们定义了空间变差

t

οS，它表示从t时刻出发，路程上速度的变化，计算公式如下：

οS=

t

其中uti表示t时刻传感器i处的速度，ut表示t时刻路段上探测点的平均速度，ni为探测点数量。

针对题目中数据，可得图形如下：

图4不同时刻出发旅行者所经历的速度变差图

为了进一步分清道路所处的状态，可以用两个探测点的探测速度（英里/小时）来定义此段路所处的状态：

⎧uti≥50,ut,i+1≥50正常

⎪

⎨uti<50,ut,i+1或uti>50,ut,i+1≤50拥塞

⎪u<50,u

<50

严重拥塞

⎩tit,i+1

i=1,2,3,4

此时，我们可以计算出每一段路在不同路况情况下每英里行车时间（秒/英里）的期望和标准差：

表1不同路况下行车时间的期望和标准差

路段

路况

路段一

路段二

路段三

路段四

期望

标准差

期望

标准差

期望

标准差

期望

标准差

正常

59.8

26.0

57.3

25.2

58.4

25.9

60.0

29.1

拥塞

74.6

27.8

86.5

29.6

88.0

45.9

84.5

39.8

严重拥塞

132.0

38.4

392.1

168.7

536.0

347.9

283.4

225.2

从表中可以看出在正常情况下车辆的速度非常稳定，在拥塞的情况下变动要大一些，而在严重拥塞的情况下车辆的速度变化非常剧烈。

我们可以对两个传感器之间运行时间进行一种很简单的预测：

用从tk时刻开始和从tk+1时刻开始走完两个传感器间距离的时间的平均值，预测从tk+2时刻开始走完这段路所需要的时间。

即：

τi（tk+2

）=τi（tk）+τi（tk+1）

2

然后根据公式（3）既可预测走完整段路的时间。

下图是4个路段预测值和真实值的比较图。

图5预测值和真实值比较图

从图中可以看出虽然预测方法简单，但是大部分时间预测值和实际值非常接近；但是在路况拥塞的情况下，预测误差就比较大。

这是因为模型考虑因素较为简单，无法反映交通流的不确定性与非线性特征，抗干扰能力差。

卡尔曼滤波（KalmanFiltering）是一种先进的控制方法,是一种基于线性回归的预测方法。

其采用由状态方程和观测方程组成的线性随机系统的状态空间模型来描述滤波器,并利用状态方程的递推性,按线性无偏最小均方误差估计准则,采用一套递推算法对滤波器的状态变量作最佳估计,从而求得滤掉噪声的有用信号的最佳估计。

卡尔曼滤波具有独特的优点:

具有广泛的适应性,由于卡尔曼滤波采用较灵活的递推状态空间模型,既能处理平稳数据,也能处理非平稳数据;只要对状态变量作不同的假设,就可使其描述及处理不同类型的问题;模型具有线性、无偏、最小均方差性;模型便于在计算机上实现,且大大减少了计算机的存储量和计算时间,适于在线分析;预测精度较高。

设x（t）为要预测的t时刻出发的行车时间，Φ（t）是状态转移参数（通过历史数据获得），w（t）为随机干扰，服从参数为（μ=0,σ2=Q（t））的正态分布。

则状态转移方程为：

x（t）=Φ（t-1）x（t-1）+w（t-1）

（4）

令z（t）为区段运行时间的观测值（需要通过观测的速度计算出来），v（t）为观测误差（在此表示用速度均值计算区段运行时间的误差），它服从参数为

（μ=0,σ2=R（t））的正态分布。

因为只有区段运行时间一个参数，所以观测方程

为：

z（t）=x（t）+v（t）

（5）

对任意i,j，有E[w（i）v（j）]=0。

令P（t）为预测方差。

根据卡尔曼滤波理论可以得到如下的计算步骤：

①初始化：

t=0,E[x（0）]=xˆ（0）,E⎢⎣（x（0）-xˆ（0））2⎥⎦=P（0）

②外推：

xˆ（t）-=Φ（t-1）xˆ（t）+

P（t）-=Φ（t-1）P（t-1）+Φ（t-1）+Q（t-1）

③卡尔曼增益矩阵：

--

K（t）=P（t）[P（t）+R（t）]-1

④更新：

xˆ（t）++K（t）[z（t）-xˆ（t）-]

P（t）+=[I-K（t）]P（t）-

⑤令t=t+1，直到终止条件满足。

通过编制程序，用卡尔曼滤波的方法对时间进行预测，并把结果和上文提到的简单平均的方法对比，其偏差平方和明显降低，尤其在公路的高峰时段，比简单平均的方法，预测值更加平稳。

图6卡尔曼滤波获得的预测值和真实值比较

如果要对24小时的行车情况进行预测，我们可以根据所给数据进行平移，在上班和下班高峰期，路况和车辆的运行速度应该是相似的，因此，我们可以把表中16：

00：

07—>17：

00：

07这一个小时的数据可以近似的认为是交通正常时车辆的运行情况。

把表中17：

00：

07——>18：

00：

07这一个小时的数据近似的认为是上班或者下班高峰期的车辆运行情况。

这样我们就可以得到一天24小时的路况预测信息。

6问题（II）的分析与建模

（1）问题1

根据上一部分的结果，我们可以把一条路Li上的路况信息分为三种：

正常、拥塞、严重拥塞，对应路段的个数分别是ni1,ni2,ni3。

通过上面的办法可以得到每一段路行车时间的期望和标准差，则整条路的期望和标准差为：

ni1

ni2

ni3

Liiii

μ=∑μn+∑μc+∑μh

οLi=

i=1

i=1

i=1

iii

iii

其中μn,μc,μh分别表示在正常、拥塞、严重拥塞情况下路段i的行车时间的期望；σn,σc,σh分别表示在正常、拥塞、严重拥塞情况下路段i的行车时间的标

准差。

则道路Li的行车时间服从参数为（μLi

σ2）的正态分布，对没有数据的路段

Li

可以取相邻路段参数的均值作为自己的参数。

如果资料不够充分，则可以对走完Li所需要的时间做出三种估计：

最乐观估计、最可能估计和最保守估计，分别对应于正常、拥塞、严重拥塞。

可以将三种

估计分别记为a、c、b，并假定取值为a、c、b的概率分别为141，于是可以

666

得到走完这段路的时间的期望可以用ET=a+4c+b来估计。

由切比雪夫不等式

6

P{ti

-

ET

≥εσt}≤ε2

可知，当ε=3的时候，走完这段路所需要的时间的ti与其

期望时间ET的偏差超过走完该路段所需要的时间的均方差σt三倍的概率不大

于9，忽略偏差不计，令ti的最小值a=ET-3σt，ti的最大值a=ET+3σt，则

b-a=6σt

，所以走完Li所需要的时间的均方差可以用σt

=b-a来估计。

6

下面考虑某一条路，假设这条路总共可以分为m段，那么走完这条路所需要的时间期望μ的估计，可以表示为这m段路时间期望的和，走完这条路所需要的时间方差σ2的估计，可以表示为这m段路时间方差的和。

根据概率论的中心极

限定理可知，走完这条路的时间渐进的服从正态分布N（μ,σ2），据此可计算得

到在某一段时间内走完这条路的概率P。

（τ-μ）2

P=1

-

e2σ2

dτ=Φ⎛t-μ⎫

⎰-∞

çσ⎪

⎝⎭

根据以上讨论，我们可以将原问题转换为不确定的PERT网问题，优化目标定义为，在某一个概率P的条件下，走完某条路下的最短时间。

（2）问题2

1、随机过程的方法

因为每一段路的运行时间和出发时间具有相关性，因此我们可以将每一段路的运行时间看做一个随机过程。

走完一段路的时间记为X（t）,t∈T。

对于每一个固定的t∈T，随机变量X（t）

的分布函数与t有关，记为

F（x,t）P{X（t）≤x},x∈R，

称它为随机过程的一维分布函数，一维分布函数能够刻画随机过程在各个个别时刻的统计特性。

为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计关系，对任意n个不同的时刻t1,t2,...,tn∈T，引入n维随机变量（X（t1）,X（t2）,...,X（tn）），它的分

布函数记为

F（x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn）P{X（t1）≤x1,X（t2）≤x2,...,X（tn）≤xn}

对于固定的n，我们称{F（x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn）,ti∈T}为随机过程的n维分布函数族。

当n充分大时，n维分布函数族能够近似的描述随机过程的统计特性。

显然n取得越大，则n维分布函数族描述随机过程的特性也越完善，通常有限维分布函数族，即{F（x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn）,n=1,2...,ti∈T}，完全地确定了随机过

程的统计特性。

给定一个随机过程，固定t∈T，X（t）是一随机变量，它的均值与t有关，记

为

μX（t）E⎡⎣X（t）⎤⎦

我们称μX（t）为随机过程的均值函数，均值函数μX（t）表示随机过程在各个

时刻的摆动中心。

设任意t1,t2∈T，我们把随机变量X（t1）和X（t2）的二阶中心混合矩记作

CXX（t1,t2）cov[X（t1）,X（t2）]=E{⎣⎡X（t1）-μX（t1）⎤⎦⎡⎣X（t2）-μX（t2）⎤⎦}

称CXX（t1,t2）为随机过程的自协方差函数。

由多维随机变量数字特征的知识可知，自协方差函数是刻画随机过程在两个不同时刻的状态之间统计依赖关系的数字特征。

综上所述，我们可以用随机过程的自协方差函数来描述每一段路的运行时间和出发时间的相关性，建立一个运行时间和出发时间有关的协方差矩阵。

2、卡尔曼滤波方法

令x（t）为n（n-1）⨯1的列向量，代表系统中路段12,...,1n,21,...,2n,n1,...,n（n-1）

2

在t时刻出发的行车时间。

此时卡尔曼方程为：

x（t）=Φ（t-1）x（t-1）+w（t-1）

z（t）=H（k-1）x（t）+v（t）此时的递推公式为：

xˆ（t）-=Φ（t-1）xˆ（t）+

P（t）-=Φ（t-1）P（t-1）+Φ（t-1）+Q（t-1）

--

K（t）=P（t）HT（t）[H（t）P（t）HT（t）+R（t）]-1K（t）=P（k）

P（t）+=[I-K（k）H（k）]P（t）-

可知P（t）是维数为n（n-1）⨯n（n-1）的矩阵，它表示预测值和真实值的误差，

22

因此可用它作为要求的协方差矩阵。

7问题（III）的分析与建模

我们可以参考问题（I）的计算结果来给出期望和方差的比例系数的大致估计，第一问将路况分为三种不同的等级：

正常、拥塞、严重拥塞。

根据问题III提供的每一段路的运行时间和该路段长度成正比，方差和（路段长度）2/3的倒数成正比，同时也和路段两头的连接的道路数量的乘积成正比这两个条件，可以按照以下的方法来估计期望和方差的比例系数。

令路段1到路段4的长度分别为l1,l2,l3,l4。

在正常情况下的期望分别是E11,E12,E13,E14，标准差分别是σ11,σ12,σ13,σ14。

估算在正常路段期望时间与路程的比例系数为

14E1i

k1e=∑

i=1i

时间方差与（路段长度）2/3的倒数的比例系数为

4

22/3

k1σ

=∑σ1ili

i=1

在拥塞情况下的期望分别是E21,E22,E23,E24，标准差分别是σ21,σ22,σ23,σ24。

估算在拥塞路段期望时间与路程的比例系数为

14E2i

k2e=∑

i=1i

时间方差与（路段长度）2/3的倒数的比例系数为

4

22/3

k2σ

=∑σ2ili

i=1

在严重拥塞情况下的期望分别是E31,E32,E33,E34，标准差分别是

σ31,σ32,σ33,σ34。

在严重拥塞路段期望时间与路程的比例系数为

14E3i

k3e=∑

i=1i

时间方差与（路段长度）2/3的倒数的比例系数为

4

22/3

k3σ

=∑σ3ili

i=1

按照以上方法估计的比例系数可以估算出任意两个相邻路口i,j的时间期望和方差。

当相邻路口i,j之间的路段为正常路况的时候，其行驶时间的期望和方差分

别为μ=kl和σ=。

ij1eijij

当相邻路口i,j之间的路段为拥挤路况的时候，其行驶时间的期望和方差分

别为μ=kl和σ=。

ij2eijij

当相邻路口i,j之间的路段为严重拥挤路况的时候，其行驶时间的期望和方

差分别为μ=kl和σ=。

ij3eijij

其中ni,nj分别为与路段两端i,j相邻的道路数量。

按照以上的方法可以估算出车辆在任意两个路口之间行驶的时间期望和方差。

如果一条路线由路段d1,d2...dn-1,dn确定的，并且这n个路段的行车时间期望

和方差可以按照以上的方法估算为μ,μ...μ,μ和σ2,σ2...σ2,σ2为那么车辆

12n-1n12n-1n

在这条路线上的行驶时间期望μ和方差σ2可以按照以下两个式子估算出来

μ=∑μi;

i=1

n

22

i

i=1

由此可以得到走完任意一条路线的的时间期望和方差。

根据问题二定义优化问题的方法，我们同样可以将问题三的优化目标描述为：

在一定的概率条件下，车辆从路口a往路口b行驶所需要的最短时间。

根据表一给出的数据，按照以上给出的方法，可以给出每一个路段的时间期望和方差的估计如下：

表2不同路段行车时间的期望和方差

行车方向

时间（秒）

行车方向

时间（秒）

1——>2

476.7239

2——>1

476.7239

2——>3

538.5214

3——>2

538.5214

1——>4

406.0981

4——>1

2317.7

2——>5

344.3006

5——>2

344.3006

3——>6

308.9877

6——>3

308.9877

4——>5

300.1595

5——>4

300.1595

5——>6

291.3313

6——>5

412.8241

4——>10

565.0061

10——>4

565.0061

4——>7

361.9570

7——>4

512.9026

7——>8

114.7669

8——>7

655

5——>8

500.3928

8——>5

353.1288

8——>9

300.1595

9——>8

300.1595

6——>9

185.3926

9——>6

185.3926

10——>11

503.2085

11——>10

503.2085

7——>11

856.5

11——>7

150.0797

8——>12

167.7362

12——>8

167.7362

11——>12

141.2515

12——>11