研究生数学建模竞赛优秀论文选《高速公路行车时间估计及最优路径选择问题》14页.docx

1、研究生数学建模竞赛优秀论文选高速公路行车时间估计及最优路径选择问题14页高速公路行车时间估计及最优路径选择问题1问题复述I行车时间的估计对于旅行者来说非常重要。因此，有些美国高速公路安装了传感器。比如在圣安东尼奥（San Antonio）市在所有的双向六车道的高速路上都安装了传感器。但是车辆往往会不停的变换车道，为了简化问题我们可以忽略换道的影响，而只考虑一个车道的交通问题（如下图所示（参见原题），正方形代表传感器）。1.传感器可以每天 24 小时探测每个车辆的速度。每辆车的速度信息每 20秒刷新一次记录。下表是一组真实数据（由于交通数据非常巨大，因此只记录了每 2 分钟间隔中最后 20 秒的

2、数据，单位：英里/小时）。请分析高速公路上的路况特点（如：拥塞及其疏导。一般来说时速高于 50 英里/小时认为不存在拥塞问题。）如果车辆在时间 t 经过传感器，那么经过多久它通过第 5 个传感器？请设计一种算法来估计车辆的运行时间，并证明算法的合理性和精确性。如果路况信息每 20 秒（而不是每 2 分钟）刷新一次，那么这对你们的估计算法有影响吗？在上面问题条件的基础上，如果传感器不仅能探测车辆速度，而且能探测单位时间的交通流量（如下表，流量的单位是：车辆数/每 20 秒）。这些信息是否有助于算法的合理性和精确性的提高？如果是，请重新设计你的算法。II第一张图（参见原题）是美国德克萨斯州圣安东尼

3、奥市的地图。第二张图（参见原题）反映了圣安东尼奥市的路况信息。旅行者可以在车辆内置的导引系统中输入当前位置和目的地，系统会帮助选择路径并估计需要的时间。不幸的是，由于每一路段（两个十字路口之间的道路）的路况是随机的，系统不能很好地确定最优（最快）路线和可靠的时间估计。你能在问题 1 的基础上改进这个系统吗？1.假设每段路的运行时间是互相独立的随机变量，请为系统设计一种算法来确定最优路线及时间估计。请明确你的“最优”是如何定义的。2.每一段路的行车时间依赖于其出发时间，并且行车时间之间具有相关性。为了考察相关性如何随时间变化，通常会建立一个和时间有关的协方差矩阵Cov(ij, kl) ， i,

4、j, k, l 分别表示两端路的两个交叉口。用上图设计一个合理矩阵和算法来寻找最有路线。请定义清楚最优路线的含义。如果有 n 个交叉口，那么时间相关的函数Cov(ij, kl) 是一个n(n -1) / 2 阶的矩阵每一行或列代表路段： 12,.,1n, 21,., 2n, n1,., n(n -1) 。III上图（参见原题），粗线表示高速公路的不同方向，上面的表示从左到右， 左边的表示从上到下。车辆通过十字路口时，可以到达其它连接的路段。图中共有 14 个路口。路口之间的距离如上表所示。请分别找出从路口 3 到路口 14，从路口 14 到路口 3 的最优路线和时间估计。旅行时间的条件同问题

5、1，每一段路的运行时间的期望和该路段长度成比例，方差和（路段长度）2/3 的倒数成比例， 同时也和路段两头的连接的道路数量的乘积成正比。2基本假设（1）认为道路上行驶的车辆只有一种，即不考虑由于车辆种类而造成路况及行车时间的影响；（2）道路每个方向上只有一个车道；（3）道路发生拥塞时能够有效疏导，即不会发生长时间的严重拥塞；3符号说明Li ：两个路口之间的一条道路；li ：传感器i 到i +1 的距离（英里）；ti ：车辆到达第i 个传感器的时刻； i (tk ) ： tk 时刻从第i 个传感器出发，到达第i +1 个传感器的行车时间；Tt ：道路在t 时刻出发需要的行车时间； uti ： t

6、 时刻传感器i 处的速度；ut ： t 时刻路段上探测点的平均速度，4模型背景及分析道路交通状态是非线性的，而且车辆、速度、路况之间具有交互作用。其研究一般有二种模型：宏观、微观。宏观模型主要考察一些描述整体行为的变量， 如单位时间流量、流量密度、平均速度等。而微观模型主要考察单个车辆的瞬时速度、车距等指标。从问题本身来看主要考察的是交通的宏观行为。高速公路（highway）是国内较普遍的翻译，但在美国高速公路有另外一个单词 freeway，其实 highway 大致相当于我国的一级公路或主干公路。由于美国交通特别发达，而且没有中国这样多的收费站，因此高速公路（highway）是美国最繁忙的公

7、路。其特点是：1.上下班有明显的高峰期；2. 由于公路建设时间较长，很多车道需要维修，因此经常会有临时的车道封闭，从而造成交通拥挤的情况。对高速公路行车时间的预测和当时的路况、天气、地形等因素有关，当拥塞现象比较明显时，行车时间的随机性和非线性更加显著，因此造成预测值可靠性非常差。从旅行者的出行角度考虑，一般用四个指标来衡量，一是考虑期望的行车时间最短；二是考虑路线具有较高的可靠性，即发生严重阻塞的概率较小；三是考虑路程最短；四是考虑费用最低。而有时这些指标之间往往是互相矛盾的，需要在两者间做出平衡，在本文中我们把行车时间最短作为设计目标。5问题（I）的分析与建模令ti 表示车辆到达第i 个传

8、感器的时刻， i (ti ) 表示ti 时刻出发，从第i 个传感器到第i +1 个传感器的行车时间。易知，从t 时刻出发，到达各传感器的时刻分别为：t1 = tt2 = t1 +1(t1 ).tn = tn-1 + n-1 (tn-1 )整个路段的运行时间为：nTt = i (ti )i=1(1)因为传感器之间的距离不大，因此可以认为速度线性变化，此时每一个路段的运行时间可以用(2)式计算： i (ti ) = li这个算法可用以下模型表示：(2) nTt = i (ti ) i=1 (t ) = li = 1,., n(3) i i it1 = tt i+1= ti +i (ti )针对题目

9、中的数据，用 Matlab 计算出了从某一时刻出发从第 1 个传感器到第 5 个传感器的行车时间，结果如下图所示：图1 不同出发时刻总行车时间的变化图为了考察不同时刻出发运行时间的变差情况，我们把每 10 分钟的探测信息作为一组（共 20 组），然后计算每组的变差值i ，计算公式如下：i+5 TiTi,i+5 = n=i 5 i =图 2 为总行车时间标准差随出发时刻不同的变化图；图 3 是每段路行车时间标准差随出发时刻不同的变化图。图2 不同时刻出发的总行车时间标准差图3 不同路段不同时刻出发的行车时间标准差从图中可以看出在 5:18:07PM（分组 11）到 6:18:07PM（分组 17

10、）这段时间变差比较大，这反映了下班时间道路比较拥挤的情况。路段三在高峰期的方差最大，其次是路段四，这说明这两段路的通行能力较差（可能是本身的原因，也可能是受交通信号、意外事故的影响）。为了刻画不同时间出发，所经历的路程上路况的变化，我们定义了空间变差t S ，它表示从t 时刻出发，路程上速度的变化，计算公式如下： S =t其中uti 表示t 时刻传感器i 处的速度， ut 表示t 时刻路段上探测点的平均速度， ni 为探测点数量。针对题目中数据，可得图形如下：图4 不同时刻出发旅行者所经历的速度变差图为了进一步分清道路所处的状态，可以用两个探测点的探测速度（英里/小时）来定义此段路所处的状态：

11、uti 50, ut ,i+1 50 正常uti 50, ut ,i+1 50 拥塞u 50, u17：00：07 这一个小时的数据可以近似的认为是交通正常时车辆的运行情况。把表中 17：00：0718：00：07 这一个小时的数据近似的认为是上班或者下班高峰期的车辆运行情况。这样我们就可以得到一天 24 小时的路况预测信息。6问题（II）的分析与建模（1）问题 1根据上一部分的结果，我们可以把一条路 Li 上的路况信息分为三种：正常、拥塞、严重拥塞，对应路段的个数分别是ni1, ni 2 , ni3 。通过上面的办法可以得到每一段路行车时间的期望和标准差，则整条路的期望和标准差为：ni1ni

12、 2ni 3Li i i i = n + c + h Li =i=1i=1i=1i i ii i i其中 n, c , h 分别表示在正常、拥塞、严重拥塞情况下路段i 的行车时间的期望； n , c, h 分别表示在正常、拥塞、严重拥塞情况下路段i 的行车时间的标准差。则道路 Li 的行车时间服从参数为(Li, 2 ) 的正态分布，对没有数据的路段Li可以取相邻路段参数的均值作为自己的参数。如果资料不够充分，则可以对走完 Li 所需要的时间做出三种估计：最乐观估计、最可能估计和最保守估计，分别对应于正常、拥塞、严重拥塞。可以将三种估计分别记为a、c、b，并假定取值为a、c、b 的概率分别为 1

13、 4 1 ，于是可以6 6 6得到走完这段路的时间的期望可以用 ET = a + 4c + b 来估计。由切比雪夫不等式6P ti-ET t 2可知，当 = 3 的时候，走完这段路所需要的时间的ti 与其期望时间 ET 的偏差超过走完该路段所需要的时间的均方差t 三倍的概率不大于 9 ，忽略偏差不计，令ti 的最小值a = ET - 3t ， ti 的最大值a = ET + 3 t ，则b - a = 6 t，所以走完 Li 所需要的时间的均方差可以用 t= b - a 来估计。6下面考虑某一条路，假设这条路总共可以分为m 段，那么走完这条路所需要的时间期望 的估计，可以表示为这m 段路时间期

14、望的和，走完这条路所需要的时间方差 2 的估计，可以表示为这m 段路时间方差的和。根据概率论的中心极限定理可知，走完这条路的时间渐进的服从正态分布 N (, 2 ) ，据此可计算得到在某一段时间内走完这条路的概率 P 。( - )2P =1-e 2 2d = t - - 根据以上讨论，我们可以将原问题转换为不确定的 PERT 网问题，优化目标定义为，在某一个概率 P 的条件下，走完某条路下的最短时间。（2）问题 21、随机过程的方法因为每一段路的运行时间和出发时间具有相关性，因此我们可以将每一段路的运行时间看做一个随机过程。走完一段路的时间记为 X (t ), t T 。对于每一个固定的t T

15、 ，随机变量 X (t )的分布函数与t 有关，记为F ( x, t ) PX (t ) x, x R ，称它为随机过程的一维分布函数，一维分布函数能够刻画随机过程在各个个别时刻的统计特性。为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计关系，对任意n 个不同的时刻t1 , t2 ,., tn T ，引入n 维随机变量( X (t1 ), X (t2 ),., X (tn ) ，它的分布函数记为F ( x1, x2 ,., xn ;t1 , t2 ,., tn ) PX (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,., X (tn ) xn 对于固定的n ，我们称F ( x1 , x2 ,., xn

16、 ;t1 , t2 ,., tn ), ti T为随机过程的n 维分布函数族。当n 充分大时，n 维分布函数族能够近似的描述随机过程的统计特性。显然n 取得越大，则n 维分布函数族描述随机过程的特性也越完善，通常有限维分布函数族，即F ( x1 , x2 ,., xn ;t1 , t2 ,., tn ), n = 1, 2., ti T，完全地确定了随机过程的统计特性。给定一个随机过程，固定t T ， X (t ) 是一随机变量，它的均值与t 有关，记为X (t ) E X (t )我们称X (t ) 为随机过程的均值函数，均值函数X (t ) 表示随机过程在各个时刻的摆动中心。设任意t1,

17、t2 T ，我们把随机变量 X (t1 ) 和 X (t2 ) 的二阶中心混合矩记作CXX (t1, t2 ) cov X (t1 ), X (t2 ) = E X (t1 ) - X (t1 ) X (t2 ) - X (t2 )称CXX (t1, t2 ) 为随机过程的自协方差函数。由多维随机变量数字特征的知识可知，自协方差函数是刻画随机过程在两个不同时刻的状态之间统计依赖关系的数字特征。综上所述，我们可以用随机过程的自协方差函数来描述每一段路的运行时间和出发时间的相关性，建立一个运行时间和出发时间有关的协方差矩阵。2、卡尔曼滤波方法令 x(t) 为 n(n -1) 1 的列向量，代表系统

18、中路段12,.,1n, 21,., 2n, n1,., n(n -1)2在t 时刻出发的行车时间。此时卡尔曼方程为：x(t) = (t -1)x(t -1) + w(t -1)z(t) = H (k -1)x(t) + v(t) 此时的递推公式为： x(t)- = (t -1)x(t)+P(t)- = (t -1)P(t -1)+ (t -1) + Q(t -1)- -K (t) = P(t) HT (t)H (t)P(t) HT (t) + R(t)-1 K (t) = P(k)P(t)+ = I - K (k )H (k )P(t)-可知 P(t) 是维数为 n(n -1) n(n -1)

19、 的矩阵，它表示预测值和真实值的误差，2 2因此可用它作为要求的协方差矩阵。7问题（III）的分析与建模我们可以参考问题（I）的计算结果来给出期望和方差的比例系数的大致估计，第一问将路况分为三种不同的等级：正常、拥塞、严重拥塞。根据问题 III 提供的每一段路的运行时间和该路段长度成正比，方差和（路段长度）2/3 的倒数成正比，同时也和路段两头的连接的道路数量的乘积成正比这两个条件，可以按照以下的方法来估计期望和方差的比例系数。令路段 1 到路段 4 的长度分别为l1, l2 , l3 , l4 。在正常情况下的期望分别是 E11, E12 , E13 , E14 ，标准差分别是11,12,1

20、3,14。估算在正常路段期望时间与路程的比例系数为1 4 E1ik1e = i=1 i时间方差与（路段长度）2/3 的倒数的比例系数为42 2 / 3k1= 1ilii=1在拥塞情况下的期望分别是 E21, E22 , E23 , E24 ，标准差分别是 21, 22, 23, 24。估算在拥塞路段期望时间与路程的比例系数为1 4 E2ik2e = i=1 i时间方差与（路段长度）2/3 的倒数的比例系数为42 2 / 3k2= 2ilii=1在严重拥塞情况下的期望分别是 E31 , E32 , E33 , E34 ，标准差分别是 31,32 , 33 , 34 。在严重拥塞路段期望时间与路程

21、的比例系数为1 4 E3ik3e = i=1 i时间方差与（路段长度）2/3 的倒数的比例系数为42 2 / 3k3= 3ilii=1按照以上方法估计的比例系数可以估算出任意两个相邻路口i, j 的时间期望和方差。当相邻路口i, j 之间的路段为正常路况的时候，其行驶时间的期望和方差分别为 = k l 和 = 。ij 1e ij ij当相邻路口i, j 之间的路段为拥挤路况的时候，其行驶时间的期望和方差分别为 = k l 和 = 。ij 2e ij ij当相邻路口i, j 之间的路段为严重拥挤路况的时候，其行驶时间的期望和方差分别为 = k l 和 = 。ij 3e ij ij其中ni , n

22、 j 分别为与路段两端i, j 相邻的道路数量。按照以上的方法可以估算出车辆在任意两个路口之间行驶的时间期望和方差。如果一条路线由路段d1, d2 .dn-1, dn 确定的，并且这n 个路段的行车时间期望和方差可以按照以上的方法估算为 , . , 和 2, 2. 2 , 2 为那么车辆1 2 n-1 n 1 2 n-1 n在这条路线上的行驶时间期望 和方差 2 可以按照以下两个式子估算出来 = i ;i=1n2 2ii=1由此可以得到走完任意一条路线的的时间期望和方差。根据问题二定义优化问题的方法，我们同样可以将问题三的优化目标描述为：在一定的概率条件下，车辆从路口a 往路口b 行驶所需要的

23、最短时间。根据表一给出的数据，按照以上给出的方法，可以给出每一个路段的时间期望和方差的估计如下：表2 不同路段行车时间的期望和方差行车方向时间（秒）行车方向时间（秒）1 2476.72392 1476.72392 3538.52143 2538.52141 4406.09814 12317.72 5344.30065 2344.30063 6308.98776 3308.98774 5300.15955 4300.15955 6291.33136 5412.82414 10565.006110 4565.00614 7361.95707 4512.90267 8114.76698 76555 8500.39288 5353.12888 9300.15959 8300.15956 9185.39269 6185.392610 11503.208511 10503.20857 11856.511 7150.07978 12167.736212 8167.736211 12141.251512 11