中考数学压轴题含答案.docx

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中考数学压轴题含答案

2017年中考压轴题专项训练

1.（2015?

荆门）如图，在矩形OABC中，OA=5,AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC,OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.

（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；

（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；

（3）若点N在

（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由.

2.（2015?

盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+3交x轴于A（-1,0）和B（5,0）两点，交y轴于点C,点D是线段OB上一动点，连接CD,将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,过点E作直线I丄x轴于H，过点C作CF丄l于F.

（1）求抛物线解析式；

（2）当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；

（3）在

（2）的条件下：

①连接DF，求tan/FDE的值；

②试探究在直线l上，是否存在点G,使/EDG=45?

若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

3.（2015?

益阳）已知抛物线Ei：

y=x2经过点A（1,m）,以原点为顶点的抛物线E?

经过点B（2,2）,点A、B关于y轴的对称点分别为点A',B'.

（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；

（2）如图1,在第一象限内，抛物线Ei上是否存在点Q,使得以点Q、B、B'为顶点的三角形为直角三角形？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）

如图2,P为第一象限内的抛物线与厶P'BB勺面积之比.

4.（2015?

徐州）如图，在平面直角坐标系中，点A（10,0）,以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，

连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD丄x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点.

（1）ZOBA=

（2）求抛物线的函数表达式.

（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时,

相应的点P有且只有3个？

5.（2015?

乌鲁木齐）抛物线y=±x-存+2与x轴交于A,B两点（OAvOB）,与y轴交于点C.

（1）求点A,B,C的坐标；

（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0vtv2）.

1过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，丄+二的值最小，求出这个最小值并写

OPED

出此时点E,P的坐标；

2在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F,使厶EFP为直角三角形？

若存在，请直接写出点F的坐标；

若不存在，请说明理由.

7.（2015?

天水）在平面直角坐标系中，已知y-二x+bx+c（b、c为常数）的顶点为P,等腰直角三角形ABC的

顶点A的坐标为（0,-1）,点C的坐标为（4,3）,直角顶点B在第四象限.

（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式.

（2）平移

（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为.匚时，试证明：

平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.

（3）在

（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q,取BC的中点N，试探

究NP+BQ是否存在最小值？

若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由.

8（2015?

常德）如图，曲线y1抛物线的一部分，且表达式为：

丫1£孑（x2-2x-3）（x<3）曲线y2与曲线y1关于

直线x=3对称.

（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式；

（2）过点D作CD//x轴交曲线y1于点D，连接AD，在曲线y上有一点M,使得四边形ACDM为筝形（如果一

个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；

（3）设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P,使厶PMN的面积最大？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Lv/4/

x=3

9.（2015?

自贡）如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a工0的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1,0）,C（0,3）两点，与x轴交于点B.

（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标;

（3）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.

10.（2015?

凉山州）如图，已知抛物线y=x-（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交

于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点.

（1）求m的值.

（2）

求A、B两点的坐标.

（3）点P（a,b）（-3vav1）是抛物线上一点，当

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积.

12.（2015?

资阳）已知直线y=kx+b（k工0过点F（0,1）与抛物线y=x交于B、C两点.

（1）如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；

（2）在

（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M,使得以M、D、0、F为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2,设B（m.n）（mv0）,过点E（0.-1）的直线I//x轴，BR丄I于R,CSXl于S,连接FR、FS.试判断△RFS的形状，并说明理由.

13.（2015?

苏州）如图，已知二次函数y=x+（1-m）x-m（其中0vmv1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,对称轴为直线l.设P为对称轴I上的点，连接PA、PC,PA=PC

（1）ZABC的度数为

（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？

如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

答案

1、

（!

）囚如CE—CD—5,所限在

Rt^COE中，

OE=VCE--CO2=血—护=恥

⑵1ftJD=rni则

DE=BO=4vn«因为OE=3r所以.IE=£—：

§=2。

在BiADE中，AD2^AE2=DE-1所以m*+炉=（4-ih）s,解得御=|,所以点D的坐标为（一字一胡・囚为「、O坐标

■

分别为（-4,0）.（（UI）.设过66C三点的抛物线为#=ox（；r+4）*所以—5=——iix（―—+4）1解得肌=?

即

223

（3）如图所示.连接Dl^DQ*因为CP=2f.所以RP=—皿当DP=DQ^j.在RtADHP^RtADEij中冷需匚辭所必△皿卩工Rt^DEQlHL^所以BP=EQ、

3-艸=仃解得/=’

（4）抛物线对称轴为直线=-2-设X（--2.n}t由趙意得匚、E坐标分别为（―4川h（n.-3）o

1如图所示.四边形ECMN是平行四边形亠根据线段中点坐标公武可得「、的中点坐标为（奇2#）=卜乱紗因为匕订的中点也是（7•爲.设

所以根据线段中点坐标公

式可得：

才汗—（—3）x2+

_yv—3=-x2,则.If坐标为

（-G.u-F3^所以

]fj

u+3=-x（-*6）"+—x（1（5）=IG*则阳I坐标为（-516）<

2如圈所示.四边形ECNM是平行四边形’同①可得岀•坐标为（Z”几所以衣—3=纟x2^+x2=iGo则_\上

坐标为（236）-

解Yfit物线u=+br+3交耳轴

TliI11ffl£J（5-0两点*

③如陸所示，凹边WCV足平行四边形，同①可得岀坐标为［-2.-JI-3）t所以

i—3=-xI-2）J4*—x（-

fi-t+3=（}

J'wi-i30

O则M坐标为卜上

计普得出*

/抛物找解析式为U--t川*J；r+3；

鼻5

综上所述，」J点坐标为

1fr

Jf2（2・16）f』山（一£—）°

v点匸怡好在拋帽堰上,纨也紳.把y-3代人^=-?

H+\\+3^.

■iRbt

3=-!

尸+?

』+2;

计篤诵出f-o3t上=—

.111,3）”

//JW=J・

'2f'D£-贈「・

3DCYEHH"）.

^XD=£EL）if.

在ZUKP和bHDE中，

[ZOtD=Z£DJ/

ICD*DE

t.^OC^D-^JiDElAAS）*

.\DH=（X'3.

"D-17=I；

彳如图4健接CE・

Cb=DA「

£CDE=^7.

/.Zf£P-15f

过D点柞叫CE，交直绚于G.过D点作

DG^LCE「交宜线I于Ga

ZEDG,=n

EH1,OH«I」

a£（1.1）r

go周・

纯UE的解忻式为厂；『+；】■

（3）1如图3,连接CE

C、D、E,F四点共岡.

「WF=AEDFt

在irr^cEF屯；cf二ou=ir

EF2I

^n^ECF=-^-=it

设直线g的解析式为—-訂".

nw「

.11-:

X1-Hn»计算碍出m=:

二自线叫的解析式珀=冷『+I」当.「=I时」二一寸X<+j=p

l-.G|（U-21'

当T=1时』#=_*乂1卡*=「扌*

..伉｛人J3：

设玄线M；’的解析式为V=2rin.

V0（1.0）,

/,0—2xl4-n，计算得出R=-2I

二頁线DG,的解析式为＜/=^H,

当j=I时，#=2*13=H,

g（g；

综上，在言践I上.是否存在点G,梗FDf；15

I点G的坐标为丨l+-jr或【4*

（1）”；

解：

⑴•••拋物线Ei经过点#门w

/J!

]=1'=1*

…抛物线的顶点在除点■可设它对应

的函数表达式対v4（“册,

又丁点0（2,2}在拋物践£上

计算得出:

二抛物线E：

所对应的二次函数表达式

为"=刁」一・⑵如副’假设在第一彖限内胭物线£i上存在点

Q使得

△QBB*为直

角三角形，由图象可以知道克角顶点只能为点B或

则有

{i+2f+（产一2尸+（2-护+（产-2尸■4牛整理得:

旷:

护—

哧>U*/（f>-3=0，计算得岀h=苗・灯一一苗（舍去），

…点Q的坐标为（门佝.

综合①②「存在符合条件的点Q坐标为

（21）与（v^J<）；

⑶如图2,过

点P作K'Jj-

轴，垂足为点C

FC交直线

4/lr于点E

过点F作

严。

丄丁轴，垂

足为点D,FD交建线BBr于点F,根据题恵可设Hr.?

.P也扌护I

（r>0Tr/fl）*

\tan£RX=tauL^ODt

当点B为直角顶点时，辽內乍QBrl3B,

.'.tl=*2r*

.•.点Q的坐标为2,11.

厅-H_i

2x|2c»-2|=4

S*“=WPF=

_pffTrr-丘你冷护-刘

2当点0为葭角顶点时，则有

Qlf^QB2=ifB-’过点Q作GQ丄砂-FG,

设点Q的坐标为>（）}t

所在直线的函数关系式为7=-j.

又因为E点的&.屮标和C的横坐标相同为&所収点£的纵坐标为期='宀=3

即点月的坐标为£血：

小设抛物线的

解析式为护=血彳斗肛斗f■*将点0（0.0）

E（6,3）t4（10,0）代人得

fe=0①

{3（jfl+创+r=$@1将①代人②

\100（7+106+1=（}③

的解折武为；站=-］疋+討。

■

和⑶中+再将③一②X和可得

40d=—5»解得盘=-；*将＜1=—£代

甘8

（3）当5-1（＞时，相应点尸有且只有吕个*因为厂在抛物线上’可设庶厂牍-1戸+［亦①若点H在CQ的左

侧.即p＜6时，延长3卩交「打干灯，如阁1所示.设CF所在冇线解析式为

//=Atp将点尸的坐标代人得

一詁+=切，解得打=一扣+了

故O严所程直维函数关系式为：

夕=［一打+?

）小则当r=6时.

"=—jp+y,即<1点纵坐标为

-为+普,因此

门厂3审“3勺

QE=--p+—-J=--p+丁，

&四边形PO.1E=紅°八£亠&厶ope=S^Oif十SAOQf—S^PQf=

104卩E十I酋OD—[QE•仙-P）

22*

=；OA*DE+—*QE*p

0②若点"在「"的右侧.即P沙时，延长片尸交CD于点Q,如图2所示.円丛―1声+》小」｛］山〔小所以设」P

SS4

所在貢线解折式为：

t/=A-.r+b・将点P、卫坐标代人解析武得；

1=一尹

1所以宜线解析式为汁一扣+话所以当f=G时.期=一［尸6十寸P=£卩

Ci-止

即Q点的纵坐标为》八因此

QE=^/j-3>所以

*四边形rOAL=S^OAE+^^APE

=S^oap:

+S^aqe—Sj^pqe

訂・C•DE+-*（}E■门一■'一g■QE-（p-g）

■■匚J

17+3・（§P_3）*（10—p）

—『+4p———（p—8）~十1644

综上得出四边形的面积表达式为

r因此

1一尹+器+垮®盤。

）一扌（p-J（F+lti（p>6）当点f在UD右侧时，四边形POAE的直积最大値为is此吋点P的位垃就一个

.令-冷+如+抄=血解得

户=3士疚。

当点〃在「D左侧时’四

边形POAi：

的面积等于16的对应P的僅普有两个。

综上所述，以八O.A.E为顶点的四边形面积止等于出时，相应的点〃有且只有：

3个总

（1）在抛物线解祈式中，令//=!

»，即；『上一¥石+2=0、可得利=2・—*又囚为OA

（2）①依题意得，OP=2ttOE—t,所HkCE=2八在^COH中*因为ED//GB,HflilZCED=Z6Y7B,ACDE=£CBO,所以

厂屮Lf}ACTD*^COB.所以=—,即土二=竺，则ed=4_2T所以

11_11_1而+丽*+=-/2+2/

°因?

（）

-所以£=1时，——有最小值1

1-（i-I）2

即点十寻有最小值为1,此时

（JiDE

OP-2・OE=1T故&点坐标为（0.1}

卩点坐标为（2,Oh

②存在。

Fi（3,2）,珊

曲物线y=lx^x+2的对称轴方程为x3I2

设F（乩m）,

/£P2=5.PFJ（3-2）'+!

・EF2=（

ni-1）2+32i

当AFFP为直角三角形时，

丁；当ZEPFMD时.

ep2+pf3-ef3.

即5+l+m~=（m-1）2+32,

解得：

in=2（

2当ZEFP=9（T时，

EF2HFPzpeS

即（m-1）*4-3+（3*2）~+m^=5,解得;iu-0®iu-L,不合越恵含去"代当ZEFP-90"时，

这种情况不存在，

③当ZPEF=90*时，

EF3+PE2-PF3.

即（tD-1）a+32+5=（N2）a+m2,解得：

m=7,

F⑶2）・⑶7）.

解：

⑴由题意得，矿=亠』+4尸亠（x

-2）如，

故二次函数图象的最高点卩的坐标为（2

（3）如图,作PQ丄工轴于点Q,ABlx轴于点沁POz4=SAPOQ-S△梯形FQ血-S△M

今2也兮爭八（1-2）-*144

16ie

⑷过卩作61的平行线’交抛杨线于点M,连结CM、JM.则AMCM的面积等于厶POJ的面积.

设宜线卩VI的解析式为］斗1»

TP的坐标为（2,4）,

二吨＜2+扒解得丘趴

••自线FV1的辭析式冷十乳

（1）由題倉可知L「是等腰百角

三角fl>,4（0.-lh「（IV）.故点”的坐标为（4,-1）-将点.冬打的坐标代人抛物线解析式可得：

r—1=r

*I—14^Iu丄|解得：

—1—'-—~x4+io+厂

故拋物线的解析式为

Ir=一］

y=-y+l^-U

（2）如图所示I顶点P沿直线.1C方向移动辺到点严,过点P件PM平行于」轴*过点严作尸W平行于打轴.根据平行线的性质可知，£CPM-£CAB.ZFPF=厶乂13,故

APP\U-AJCB.故APP^.W是等腰

克角三角形.由PP7可得,

P\f1^X1=h故可视为抛物线先沿胪的正半轴平移一个单位长度，再沿”的正半釉平移一个单位KK-抛物线可写成y=:

;匕-2）+1.平移后的抛物线解

■

析式为y=—-（3?

—3）^+2«令=n.则Q=—；（『—3尸十缶解得J*|=lr血5.故平移后的抛物线与$轴交于

（5t0）-设直线月（?

的解析式淘站=上丄+f”，净4{0・一I）’C（J*3H弋人解析式中可得：

j-解得

I3=+（jj

移后的抛物线和直线丄「都经过点（14）

■故平移后的抛物线与貢线.」厂交于，「轴

上的同一点*

解:

⑴在山三罟（^-2^-3）中冷

Ml=Q，则有o二罟，计算得

■£

出T=-l或丁=4

570）,B（XO）T

又丁「为与y轴的交点「

「m-闪）.

又曲线如与曲线Vi关于克线h-：

1对称.

/.曲线也可由曲线"I关向右平移3个胡

位得到，

.电二讣bm+21）X养）：

⑵若AD垂:

S平分C稠则可以知道CDMA为菱形「此时点■显然不在忻匕故点线CM垂玄平分ADpIRAD中点R易求冥坐标为（1.：

）,

■

故亘塢CN的解折式为：

叭=宀’求其与血的交点坐标：

{

V=>/3t-旳

""器（宀lOr+21}'

计負得出：

矶=21?

#"’

m-yn（不會舍去）*

（3）因为MN的妆度固过，故点P到凶距

离最大时「5八的面积最大*

二可设另一宜线r/=+止与聽相交于点R很显撚它们只有一个交点时+满足条件.

只有唯一

y-V：

"+b

&=-l（b*+211

一个解的时候，这个点就是点F

即方程曲』+h=斗i,rJ10,r+21）有

唯一一个解.

计算,

将上弓代人“爭宀恥m计算得出汁空。

*12

故点P的坐标为（凹.43一

1212f

#=—』■'—2广+3。

因为对称轴为0=—I

所以¥一「又"八所以

二一驚即B{-^U）o将占（一*U卜

C（0,3）代人克线”=陨苦+卡】.得

{

—3jrr十“=0|in=1„..

，解痔?

，所以

/*=3（»=3

宜线"U的解析式为|F=i+3-

⑵因=所以

MA+MC=VB+.Vr\根攥两点之间线段最短.所以使MA+A/C最小的点M在线段/SCh.即为直线H「与对称轴十=一1的交点口设直线"「与对称紬f=-l的交点为把『二―1代人宜线yj+3徊g-2,则点M的坐杯为（-1.2）*

⑶设由勾股定理得

£TC2=18tP^=（-l+3）3+/2=l+f2iPC3-（-l）a+（t-3）a-ta-6（+10.①若"为玄角顶点，则

ZfC,2+PJ7-=PC\即

18+4+/3=i2-«i+10f解得£=-2*

②若L为貢角顶点*则

BC-+rC-=VB2.即

18+广一就+10=1+尸.解得扌=4・

3若卩为直角顶点，则

F/?

4PC-=BC\即

1+F+F—曲卜10=18,解得

*3+声+3-如

f厂一，X—。

综上所述，满足条件的点厂共有四个,分别为P]（-l,-2）t珊一1,4）,

10.

（1）拋物线W=j2-UP+3）,r+9的顶点坐标为「（叱-匹凶卜因为

点「在左正半轴上，则

fm+3ft幵

|9-^=0②’由①得

m>—tj>且由③得加—3或rn——9，

（2）丙为叭二，所以it物线解析式为期二—（kf+勺“由题意得；

“"V.O-解得严眾

占二W—（kr+（1I忙二」

{；；；=}所妇点坐标为（1,4）.”点坐

标为（61ft）«

（3）如图所亦，谨按尸畀、』快AC、BC^EC.过尸作PM丄.IB于」J・作P.VXj-轴于.V,交DO于F。

因为（）（'-（）

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