空间直线及其方程.docx
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空间直线及其方程
空间直线及其方程
§8.4空间直线及其方程
ü直线的一般方程
ü直线的参数方程和对称方程
ü两直线的夹角
ü直线与平面的夹角
一、空间直线的一般方程
定义空间直线可看成两平面的交线．
Π1:
A1x+B1y+C1z+D1Π2:
A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0
空间直线的一般方程y
注：
表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件
•由两个平面确定一条直线；
•由空间的两点确定一条直线；
•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程
r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．
设定点M0（x0,y0,z0）∈L,方向向量的定义：
y
r∀M（x,y,z）∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p}
x=x0+mty=y0+nt
z=z+pt0
消去参数t，有直线的参数方程
x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp
直线的一组方向数
方向向量的余弦称为直线的方向余弦.
注：
1.表示同一直线的对称方程不唯一；
2.对称式方程可转化为一般方程;
x=x0,x−x0y−y0z−z03.==理解为:
y−y=z−z.0nppn
4.任一条直线均可表示为对称式方程.
设直线过两点M（x1,y1,z1）,N（x2,y2,z2）
r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}
x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：
==x2−x1y2−y1z2−z1
例1用对称式方程及参数方程表示直线
x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0
解在直线上任取一点（x0,y0,z0）
y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0
解得y0=0,z0=−2
点坐标（1,0,−2）,
因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3},
x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3
x=1+4t.参数方程y=−t
z=−2−3t
例2一直线过点A（2,−3,4），且和y轴垂直相交，求其方程.
解因为直线和y轴垂直相交,
所以交点为B（0,−3,0）,
r取s=={2,0,4},
x−2y+3z−4==.所求直线方程204
三、两直线的夹角
定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
x−x1y−y1z−z1直线L1:
==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:
==,m2n2p2
^cos（L,L）=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2
两直线的夹角公式222222
两直线的位置关系：
（1）L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1
==,
（2）L1//L2⇐⇒
m2n2p2
r
例如，直线L1:
s1={1,−4,0},
r直线L2:
s2={0,0,1},
rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.
x−4z=3
例3一直线L过点（-3,2,5），且和直线2x−y−5z=1平行，
求其方程.
vi
解rrr
Qs=n1×n2=1
vj0
vk
−4=−{4,3,1}
2−1−5
∴所求直线方程
v
方法2:
设s={m,n,p}
x+3y−2z−5
==.431
m−4p=0mnpvvvv
Qs⊥n1,s⊥n2∴⇒==
4312m−n−5p=0
v
取s={4,3,1}………
x+1y−1z
==例4一直线过点M0（2,1,3），且与直线L:
32−1
垂直相交，求其方程.
解
设所求直线为l,先求两直线的交点。
L
过点M0做平面垂直于直线L：
3x+2y-z=5
x=−1+3t
QL的参数方程：
y=1+2t代入平面方程
z=−t所以交点为M1（2/7,13/7,-3/7）
r
取s=kM01={2,−1,4}
x−2y−1z−3所求直线方程==.2−14
四、直线与平面的夹角
定义直线和它在平面上的投影直线的夹
角ϕπ
0≤ϕ≤.
2
x−x0y−y0z−z0
L:
==,
mnpΠ:
Ax+By+Cz+D=0,
r^rπ（s,n）=−ϕ
2
s={m,n,p},r
n={A,B,C},
r^rπ（s,n）=+ϕ
2
ππsinϕ=cos（−ϕ）=cos（+ϕ）.22
sinϕ=
|Am+Bn+Cp|222222A+B+C⋅m+n+p
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
（1）L⊥Π⇐⇒
（2）L//Π⇐⇒
ABC==.mnp
Am+Bn+Cp=0.
x−1yz+1
例5设直线L:
==，平面
2−12
Π:
x−y+2z=3，求直线与平面的夹角.
rr解n={1,−1,2},s={2,−1,2},
sinϕ=
|Am+Bn+Cp|
222222A+B+C⋅m+n+p
7|1×2+（−1）×（−1）+2×2|=.=
3⋅∴ϕ=arcsin
73为所求夹角．
五、平面束
定义：
通过一条直线的全部平面组成的平面族称为平面束。
A1x+B1y+C1z+D1=0L：
A2x+B2y+C2z+D2=0则过直线L的全部平面组成的平面束为
λ1（A1x+B1y+C1z+D1）+λ2（A2x+B2y+C2z+D2）=0
λ1，λ2不同时为零。
λ1=1,则过直线L的面束为
（A1x+B1y+C1z+D1）+λ（A2x+B2y+C2z+D2）=0
x+5y+z=0
且与平面x−4y例6求过直线:
x−z+4=0,
π
−8z+12=0组成角的平面方程.
4
解过已知直线的平面束方程为
x+5y+z+λ（x−z+4）=0,
即（1+λ）x+5y+（1−λ）z+4λ=0,
r
其法向量n={1+λ,5,1−λ}.
r
又已知平面的法向量n={1,−4,−8}.
由题设知
rrπn⋅n1cos=4nn1
（1+λ）⋅1+5⋅（−4）+（1−λ）⋅（−8）=2
22222
+（−4）+（−8）（1+λ）+5+（1−λ）
λ−3即=,2
22λ+27
3
由此解得λ=−.
4
代回平面束方程为x+20y+7z−12=0.
y=2x
例7求过点M0（1,1,1）且与两直线L1:
z=x−1
y=3x−4L2:
都相交的直线L.
z=2x−1解
将两已知直线方程化为参数方程为x=tx=t
L1:
y=2t,L2:
y=3t−4
z=t−1z=2t−1
设所求直线L与L1,L2的交点分别为A（t1,2t1,t1−1）和B（t2,3t2−4,2t2−1）.
QM0（1,1,1）与A,B三点共线,故M0=λM0（λ为实数）.
于是M0,M0对应坐标成比例,即有
t−12t−1（t−1）−1
==,t2−1（3t2−4）−1（2t2−1）−1
解之得t1=0,t2=0,∴A（0,0,−1）,B（2,2,3）Q点M0（1,1,1）和B（2,2,3）同在直线L上,
故L的方程为x−1=y−1=z−1.
1
1
2
六、点到直线的距离及异面直线间的距离
r
直线过P1，直线的方向向量s,直线外一点P0计算点p0到直线的距离d。
rrs×P1P0=sd
⇒d=s
P1
P
rrrr
v=21⋅（s1×s2）=s1×s2d
rrPP⋅（s×s）
⇒d=s1×s2
另法:
做一法向量
异面直线间的距离
P2
L2
vvvn=s1×s2
过直线L1做平面π,则法向量为
vvvn=s1×s2
故平面π∥直线L2，点P2到平面π的距离就是d.
x+y−z−1=0
例8证明直线L1：
L2
2x+y−z−2=0异面，并求其间最短距离。
x+2y−z−2=0:
x+2y+2z+4=0
r证：
Qs1=11−1={0,−1,−1},P1（1,1,1）
21−1
rrijkr
0，−2）s2=12−1={6,−3,0},P（20，
122
rirjrk
vv
{1,1,3}⋅{1,2,−2}P⋅（s×s）
∴d===1.3s1×s2
x−1yz−1
==例9求直线在平面π:
11−1
上的投影直线L1的方程。
x−y+2z−1=0
解L的方向向量为，π经过L且垂直于π的平面π1的法线向量为vvvijk
vvv
n1=s×n=11−1={1,−3,−2}
1−1
2
又因为π1经过L，故经过L上的点（1，0，1），所以π1:
（x−1）−3（y−0）−2（z−1）=0,
即x−3y−2z+1=0
x−y+2z−1=0,∴L1的方程:
x−3y−2z+1=0.
r
解：
L的方向向量s={2,1,0}×{1,0,1}={1,−2,−1}
x−3z−1例10求直线L1:
=y=与直线
20
x+1y−2L2==z的公垂线方程。
10
L与L1确定一平面∏1，r
n1={1,−2,−1}×{2,1,0}={1,−2,5}
L与L2确定一平面∏2，r
n2={1,−2,−1}×{1,0,1}={−2,−2,2}
L1
L
L2
∴∏1:
（x−3）−2y+5（z−1）=0∏2:
（x+1）+（y−2）−z=0
x−2y+5z−8=0⇒公垂线：
x+y−z−1=0
思考题
x−4yz−2
在直线方程==中，m、
2mn6+p
n、p各怎样取值时，直线与坐标面xoy、
yoz都平行.
思考题解答
rrr
s={2m,n,6+p},且有s≠0.
rrrr
s⋅i=0,Qs⋅k=0,
6+p=0∴p=−6,m=0,⇒
2m=0rr
Qs≠0,∴n≠0,
故当m=0,n≠0,p=−6时结论成立．
练习一、填空题
x=1x+1y+2z−1
==1.与两直线y=−1+t及121z=2+t
都平行，且过原点的平面
[注]所求平面的法线向量n和两直线的方向中向量都垂直，故n={1,－1,1}
x−y+z=0
x=−t+2
2.过点M（1，2，－1）且与直线
y=3t−4z=t−1
垂直的平面方程是————。
x−3y−z+4=0
[注]已知直线的方向向量s={-1,3,1}，所求平面的法线向量n//s，故取n=s建立点法式方程即可。
3.已知两条直线的方程是
x−1y−2z−3x+2y−1zL1:
==,L2:
==10−1211
则过L1且平行于L2的平面方程是——————
[注]所求平面的法线向量n={1,0,－1}×{2,1,1}={1,－3,1}
x−3y+z+2=0
过L1的平面束为：
y−2+λ（x+z−4）=0
−1∴{λ，1，λ}⋅{2，1，1}=0⇒λ=3
4.设一平面经过原点及点（6，－3，2），且与平面4x－y+2z=8垂直，则此平面方程为——————
[注]所求平面的法线向量n⊥{4,−1,2},n⊥{6,−3,2},取n={2,2,－3}2x+2y−3z=0
二、选择题
1.设有直线x−1y−5z+8L1:
==1−21与x−y=6L2:
2y+z=3则L1与L2的夹角为
π（D）2
[注]L1和L2的方向向量分别为s1={1,−2,1}和s2={−1,−1,2},
1πcosθ=s1⋅s2/|s1||s2|=,θ=23π（A）6ππ（B）（C）43
x+3y+2z+1=02.设有直线L:
2x−y−10z+3
及平面π:
4x−2y+z−2=0,则直线L（C）
（A）平行于π（B）在π上（C）垂直于π（D）与π相交
[注]L的方向向量和π的法线向量平行。
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