考研数一真题和答案.docx

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考研数一真题和答案

2018年全国硕士研究生入学统一考试

数学一考研真题与全面解析

一、选择题：

1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸..指定位置上•

1.下列函数中在x0处不可导的是（）

（A）f（x）xsinx

（0f（x）cosx

（B）f（x）xsin』xf

（D）f（x）cos.x

2.过点（1,0,0），（0,1,0），且与曲面z

22

xy相切的平面为（

（A）z0与xyz1

（B）z0与2x2yz2

（C）xy与xyz1

（D）xy与2x2yz2

3.

3

1）!

4•设M

，N刁屮dx，K

21x2e

2（1、、cosx）dx，则（

（A）MNK

（B）MKN

（C）KMN

（D）KNM

110

5.下列矩阵中阵，与矩阵011相似的是（

001

（A）011（B）011

（C）010（D）01

6.设A,B是n阶矩阵，记r（X）为矩阵

X的秩，（X,Y）表示分块矩阵，则

（A）r（A,AB）r（A）

（B）r（A,BA）r（A）

（C）r（A,B）

max{r（A）,r（B）}

（D）r（A,B）

r（AT,BT）

7.设随机变量

X的概率密度f（x）满足f（1x）f（1

2

X），且0f（x）dx0.6

则P{X0}

（A）0.2

（B）0.3

（C）0.4

（D）0.5

8.设总体X服从正态分布N（

2）,X1,X2,L,Xn是来自总体X的简单随机样本,

据此样本检测，假设

H。

：

0,H1:

0,则（）

（A）

如果在检验水平

0.05下拒绝H0，那么在检验水平

0.01下必拒绝H0；

（B）

如果在检验水平

0.05下拒绝H0，那么在检验水平

0.01下必接受H0；

（C）

如果在检验水平

0.05下接受H0，那么在检验水平

0.01下必拒绝H0；

（D）

如果在检验水平

0.05下接受H0，那么在检验水平

0.01下必接受H0o

、填空题：

914小题,

每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

1

e，则k

卄1tanxsinkx

9.右lim

x01tanx

10.设函数f（x）具有二阶连续导数，若曲线yf（x）过点（0,0），且与y2x在点（1,2）

1

处相切，求°xf（x）dxo

11.设函数F（x,y,z）xyiyzjzxk，则rotF（1,1,0）。

12.设L是曲面x2y2z21与平面xyz0的交线，贝U?

xyds。

13.设二阶矩阵A有两个不同的特征值，1,2是A的线性无关的特征向量，且满足

A2（12）12，则IA一。

1

_14.设随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，BC,P（A）P（B）

2

1

P（AC|ABUC）-,则P（C）。

—

三、解答题：

15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•

15.（本题满分10分）求不定积分e"arctanJex1dx.

16.（本题满分10分）将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？

若存在，求出最小值。

17.（本题满分10分）设是曲面x\13y23z2的前侧，计算曲面积分

Ixdydz（y32）dzdxz3dxdy.

18.（本题满分10分）已知微分方程yyf（x），其中f（x）是R上的连续函数。

（I）若f（x）x，求方程的通解；（II）若f（x）是周期为T的函数，证明：

方程存在唯一的以T为周期的解。

19.（本题满分10分）设数列xn满足为0,xnexn1exn1（n1,2,3,L）。

证明xn收敛，并求limxn。

n

20.（本题满分11分）设二次型

f（x1,x2,Xg）（x1x2卷）2（x2x3）2（x1ax3）2，其中a是参数。

（i）求f（x1,x2,x3）0的解；（II）求f（x1,x2,x3）的规范型。

12a

21.（本题满分11分）设a是常数，且矩阵A130可经过初等列变换化为矩阵

27a

1a2

B011。

（I）求a；（II）求满足APB的可逆矩阵P？

111

22.（本题满分11分）设随机变量X,Y相互独立，X的概率分布为

1PX1PX1

2

Y服从参数为的泊松分布。

令ZXY，（I）求Cov（X,Z）；（II）求Z的概率分布。

1凶

23.（本题满分11分）设总体X的概率密度为f（x;）e,x，

其中（0,）为未知参数，X1,X2,L,Xn为来自总体X的简单随机样本，记的最

大似然估计量为。

（I）求；（II）求E（）和D（）。

答案解析

1.［答案】（D）

【解析】根据导数定义，A.00先型

xsinx

lim一

x0x

lim—

x0x

0，可导;

mo

HX

X

（0

f

nX

Isi

X

mo

HX

X

mo

HX

国X

o

c

mo

HX

叫

z<

cos、x1lim、

x0

x

D.

lim

x0

lim——，极限不存在。

故选（D）.

x0x

2•【答案】（B）

【解析一】设平面与曲面的切点为（x）,y0,Zo），则曲面在该点的法向量为

n（2Xo,2yo,1），切平面方程为

切平面过点（1,0,0），（0,1,0），故有

2xo（1X。

）2y°（0y°）（0窃0，

（1）

2x0（0X0）2y°（1y°）（0Z0）0，

（2）

又（x0,y0,z0）是曲面上的点，故z0x0心，（3）

解方程

（1）

（2）（3），可得切点坐标（0,0,0）或（1,1,2）。

因此，切平面有两个

z0与2x2yz2，故选（B）.

【解析二】由于xy不经过点（1,0,0）和（0,1,0），所以排除（C）（D）。

对于选项（A），平面xyz1的法向量为（1,1,1），曲面x2y2z0的法

一、111向量为（2x,2y,1），如果所给平面是切平面，则切点坐标应为（―，,），而曲面在该点

222

1

处的切平面为xyz，所以排除（A）.所以唯一正确的选项是（B）.

2

3.【答案】（B）

【解析】因为sinx

（1）n

x（2n1）!

2n

cosx

n0（2n）!

而

（1）n2n3

n0（2n1）!

1r（2n

2n1

1）!

1）n（2n1）!

（1）n

0（2n）!

（1）n

cos12sin1，故选（B）o

（2n1）!

4.【答案】（C）

【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好,简化积分

2（1x）

21

2

2—dx

x

21x2

2x一

2—dx2（1

1x~2

2（1

2

、cosx）dx

[1gdx，

2

不能求出积分则最

令f（X）

x,x

（x）ex1，当x（

齐）时，f（x）0，

（咛时,

f（x）

0,故

（---），有f（x）

f（0）0,因而

21gix

2

，故KMN。

应选（C）.

5.【答案】（A）

【解析】记矩阵H

，则秩r（H）3，迹tr（H）3,特征值1

（三重）。

观察A,B,C,D四个选项，它们与矩阵H的秩相等、迹相等、行列式相等，特

征值也相等，进一步分析可得：

r（EH）2,r（EA）2，r（EB）1

r（EC）1,r（ED）1。

如果矩阵A与矩阵X相似，则必有kEA与kE

相似（k为任意常数），从而r（kEA）r（kEX）），故选（A）,

6.【答案】（A）

【解析】把矩阵A,AB按列分块，记A（1,2丄n）,AB（1,2丄n），量组1,2,Ln可以由向量组1,2丄n线性表出，从而1,2,Ln与

1，2丄n，1，2丄n，等价，于是「（A,AB）「（A），故选（A）。

则向

7.【答案】（A）

【解析】由f（1x）

f（1x）可知概率密度函数f（x）关于x1对称,

结合概率密度函数的性质

2

f（x）dx1及已知条件of（x）dx0.6，容易得出

P{X0}

0f（x）dx-[

2

2

f（x）dxof（x）dx]0.2，故选（A）

8.【答案】（D）

【解析】正确解答该题，应深刻理解“检验水平”的含义。

X

统计量0〜N（0,1）,在检验水平0.05下接受域为

U0.025,

解得接受域的区间为（XU0.025j=,Xu0.025

在检验水平

0.01下接受域的区间为（XU0.005旷，XU0.005

由于U0.025

U0.005，

0.01下接受域的区间包含了

0.05下接受域的区间，故选

（D）。

9.【答案】

【解析】

tanx

lim-

x01tanx

1

sinkx

lim—lnx0sinkx

e

1tanx

1tanx

1,,2tanx

limln1

x0sinkx1tanx

e

10.【答案】2（1n21）

【解析】由已知条件可得:

f（0）

0,f

（1）

2,f

（1）2ln2,

11

故0xf（x）dx0xdf

（x）

xf

1

（x）l。

1

0f（x）dx

11.【答案】（1,0,1）

【解析】rotF（x,y,z）

yizjxk

xy

yz

zx

故rotF（1,1,0）

（1,0,

1）。

12•【答案】-

3

【解析】先求交线

2

L:

x

x

z21

，由于曲面方程与平面方程中的x,y,z满足轮换

0

对称性，因此在曲线L上x,y,z具有轮换对称性。

又知

i?

Lds

〕c2—。

6*3

1

由轮换对称性可得：

蜒xyds（xyyzzx）ds

3

13•【答案】

【解析】设

2对应的特征值分别是

1,2，则

（121）

A2（12）

A21A22121

0，由于1,2线性无关,

从而A的两个不同的特征值为

1,1,于是A

14.【答案】1

4

【解析】P（ACABUC）

P{AC（ABUC）}

P（ABUC）

P（ABCUAC）

P（AB）P（C）P（ABC）

1

1p（C）

2

1

1P（C）

1

P（C）-,

15.【解析】e2xarctanex1dx

ia「如訂de2x

16.【答案】面积之和存在最小值,

Smin

1

43,3

【解析】设圆的半径为x，正方形的边长为

y，三角形的边长为z，则2x4y3z2，

三个图形的面积之和为S（x,y,z）

2232

xyTz，

则问题转化为“在条件2x4y3z

2，x0,y0,z0下，求三元函数

S（x,y,z）x2y23z2的最小值”

4

令Lx2y2旦z2

4

（2x4y3z2）

Lx

2x

2

0

x

Ly

2y

4

0

解方程组

七

，得到唯一驻点

y

Lz

z

3

0

2

L

2x

4y

3z20

z

433

2

43.3

2\3

4

由实际问题可知，最小值一定存在，且在该驻点处取得最小值。

最小面积和为

Smin

1

43,3

17.【解析】将空间曲面化成标准形以便确定积分曲面的形状

曲面前侧是一个半椭球面，补平面

1

1：

X0,y2z23，取后侧，则

33

I&xdydz（y2）dzdxzdxd

1

xdydz（y32）dzdxz3dxdy由咼斯

1

公式可得

其中

（x,y,z）0x\13y23z2，由“先二后一”法可得

而xdydz（y32）dzdxz3dxdy0。

故I

1

14

45

18.【解析】（I）若f（x）x，则yyx，由一阶线性微分方程通解公式

dxdxx

得ye（xedxC）Cex1。

（Il）由一阶线性微分方程通解公式可得yex（f（x）eXdxC），

由于y（xT）在f（x）exdx中无法表达出来，取y（x）

X/Xe（0

（xT）xTt

于是y（xT）e（XT）（0f（t）etdt

C）

若方程存在唯一的以T为周期的解，则必有

y（x

T）

y（x），

etf（t）dt

CVi-

Tt

0ef（t）dt

由于旦〒为一常数，可知当且仅当

eT1

Tt

0ef（t）dt

时，y（x）以T为周期,

故微分方程存在唯一的以T为周期的解。

19.【证明一】因为x10，所以eX2

eX1

x1

根据拉格朗日中值定理，存在

（O,xJ，使得

eX1

e，即eX2

e，因此

xi

X2

x1。

完全类似，假设

0Xn1

Xn，则

故数列

xn

设lim

n

Xn

eXn2eXn11

e

e（0

Xn1），即0

Xn1

Xn2

单调减少且有下界,

A，在等式xneX

从而数列

Xi收敛。

1eXn

两边取极限，得Ae

一解A0，故limxn0

n

【证明二】首先证明数列人有下界，即证明xn0:

当n

1时,

X1

0。

根据题设

leX11

X2ln

X1

由eX11x1

可知

X2

ln10；

假设当

n

k时，

xk0；

则当n

k

1时,

lexk1ln

Xk

，其中eXk

xk

1xk，可知

Xk1

ln1

0。

根据数学归纳法，对任意的n

N，xn0。

再证明数列焉的单调性:

exn1exn1exn1

Xn1XnlnXnInInexnIn石

XnXnXne

（离散函数连续化）设f（x）ex1xeX（x0），则当x0时，f（x）xeX0,

f（x）单调递减，f（x）f（0）0,即ex1xeX

从而xn1Xi

ln£

0

Xe

In10，故xn1

xn，即数列xn的单调递减。

综上，数列Xn的单调递减且有下界。

由单调有界收敛原理可知Xn收敛。

设limxna，在等式xneXn1eXn1两边同时令n，得aeaea1,

n

解方程得唯一解a0，故limXn0。

n

20•【解析】（I）由f（X1,X2,X3）0可得

对上述齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换得

当a2时，f（x1,X2,X3）0只有零解：

X（0,0,0）T。

当a2时，A

f（x!

，x2,x3）0有非零解：

xk（2,1,1）,k为任意常数

（II）当a2时，若X1,X2,X3不全为0,则二次型f（XpX2,X3）恒大于0,即二次型

f（x!

，x2,x3）为正定二次型，其规范型为f（y1,y2,y3）

当a2时,

二次型对应的实对称矩阵B

2

1

3

1

2

0，其特征方程为

3

0

6

解得特征值

5J7,25：

7,3

0，可知二次型的规范型为

f（W，Z2，Z3）

2

Z1

Z；。

21.【解析】（I）由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，故r（A）r（B）

对矩阵A,B作初等行变换，得

1

2a

1

2

a

12

a

A1

30

0

1

a

01

a，

2

7a

0

3

3a

00

0

1

a2

1

a

2

1a

2

B0

11

0

1

1

01

1，

1

11

0

a1

3

00

2a

显然r（A）2，要使r（B）

2，必有

2

a

0

a2。

（II）将矩阵B按列分块：

B（1,2,3），求解矩阵方程APB可化为解三个同

系数的非齐次线性方程组：

Axj,j1,2,3。

对下列矩阵施以初等行变换得

1

2

21

2

2

1

0

63

4

4

（A,B）1

3

0M0

1

1

0

1

2M1

1

1，

2

7

21

1

1

0

0

00

0

0

易知，齐次线性方程组Ax0的基础解系为：

°（6,2,1）t,三个非齐次线性方程

组的特解分别为：

1（3,1,0）t,2（4,1,0）t,3（4,1,0）To

因此，三个非齐次线性方程组的通解为

6

3

6

4

6

4

1匕2

1

，2k2

2

1

，3

k32

1，

1

0

1

0

1

0

36匕4

6k2

4

6k3

从而可得可逆矩阵

P

12k11

2k2

1

2k3

，其中k2

k3o

k1

k2

k3

22.【解析】（I）由X,Y相互独立，可得E（XY）E（X）E（Y）.。

由协方差计算公式可知

Cov（X,Z）E（XZ）E（X）E（Z）E（X2Y）E（X）E（XY）

E（X2）E（Y）E2（X）E（Y）

其中E（X）0,E（X2）1,E（Y），代入上式可得Cov（X,Z）o

（II）由于X,Y是离散型随机变量，因此Z

XY也是离散型随机变量

X的可能取值

为1，-1，Y的概率分布为PYk

ke

k!

k

0,1,2,L，故Z的可能取值为

0,1,2,3丄于是，Z的概率分布为

PZOPX1YOPX1YO】PY0〕PY0e

22

1,Yk

lpYk-—,k1,2,3丄

22k!

23.【解析】（I）似然函数为

取对数得

lnLnln2nIn

Xi

dlnL

d

Xi

解得的最大似然估计量为

Xi

1n

（H）E（）E（-|Xi|）

ni1

EXi

EXi

X

xe

0

x

edx

0

1n

D（）D（—|Xi|）

ni1

Xi

11

-d|xJ-d|x|,

nn

E（X2）

2x

X

edx

2

x_

dx

D|X|E（X2）E2（|X|）2222

D（）1D|X

n