考研数一真题和答案.docx

1、考研数一真题和答案2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题与全面解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上1.下列函数中在x 0处不可导的是（）(A) f (x) x sinx(0 f (x) cosx(B) f (x) xsinxf(D) f (x) cos. x2.过点（1,0,0），（0,1,0），且与曲面 z2 2x y相切的平面为（(A)z 0与x y z 1(B)z 0与2x 2y z 2(C)x y 与 x y z 1(D)x y与2x 2y z 23.31)!4设M，N

2、 刁屮dx，K2 1 x 2 e2 （1 、cosx）dx，则（(A) M N K(B) M K N(C) K M N(D) K N M1 1 05.下列矩阵中阵，与矩阵 0 1 1相似的是（0 0 1(A) 0 1 1 ( B) 0 1 1(C) 0 1 0 ( D) 0 16.设A, B是n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X,Y)表示分块矩阵，则(A) r(A, AB) r (A)(B) r(A, BA) r(A)(C) r(A, B)maxr(A), r(B)(D) r(A, B)r(AT,BT)7.设随机变量X的概率密度f (x)满足f (1 x) f (12X)，且 0 f (x)

3、dx 0.6则 P X 0(A) 0.2(B) 0.3(C) 0.4(D) 0.58.设总体X服从正态分布N (2), X1,X2,L ,Xn是来自总体X的简单随机样本,据此样本检测，假设H。：0, H1 :0,则()(A)如果在检验水平0.05下拒绝H0，那么在检验水平0.01下必拒绝H0 ；(B)如果在检验水平0.05下拒绝H0，那么在检验水平0.01下必接受H0 ；(C)如果在检验水平0.05下接受H0，那么在检验水平0.01下必拒绝H0 ；(D)如果在检验水平0.05下接受H0，那么在检验水平0.01下必接受H0 o、填空题：9 14小题,每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定

4、位置上.1e，则k卄 1 tan x sinkx9.右 limx 0 1 ta n x10.设函数f (x)具有二阶连续导数，若曲线y f (x)过点(0,0)，且与y 2x在点(1,2)1处相切，求 xf (x)dx o11.设函数 F(x, y,z) xy i yzj zxk，则 rotF (1,1,0) 。12.设L是曲面x2 y2 z2 1与平面x y z 0的交线，贝U ?xyds 。13.设二阶矩阵A有两个不同的特征值， 1, 2是A的线性无关的特征向量，且满足A2( 1 2) 1 2，则IA 一。1_14.设随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，BC , P(A) P(B)21

5、P(AC|ABUC)-,则 P(C) 。三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸 指定位置上解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤15.(本题满分10分)求不定积分 e arctan Jex 1dx.16.(本题满分10分)将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三 个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。17.(本题满分10分)设 是曲面x 1 3y2 3z2的前侧，计算曲面积分I xdydz (y3 2)dzdx z3dxdy.18.(本题满分10分)已知微分方程 y y f(x)，其中f (x)是R上的连续函数。(I)若f (x) x，求方程的

6、通解；(II )若f(x)是周期为T的函数，证明：方程存在 唯一的以T为周期的解。19.(本题满分10分)设数列xn满足 为 0,xnexn1 exn 1(n 1,2,3,L )。证明xn收敛，并求lim xn。n20.（本题满分11分）设二次型f （x1, x2, Xg） （x1 x2 卷）2 （x2 x3）2 （x1 ax3）2，其中 a 是参数。（i）求 f（x1,x2,x3） 0 的解；（II ）求 f（x1,x2,x3）的规范型。12 a21.（本题满分11分）设a是常数，且矩阵A 1 3 0 可经过初等列变换化为矩阵27a1 a 2B 0 1 1 。 （I）求a ；（ II ）求满

7、足AP B的可逆矩阵P ？1 1 122.（本题满分11分）设随机变量X ,Y相互独立，X的概率分布为1 P X 1 P X 12Y服从参数为 的泊松分布。令Z XY，（I ）求Cov（X,Z） ；（II ）求Z的概率分布。1 凶23.（本题满分11分）设总体X的概率密度为f（x; ） e , x ，其中 （0,）为未知参数，X1,X2,L ,Xn为来自总体X的简单随机样本，记 的最大似然估计量为 。（I）求；（II ）求E（）和D（）。答案解析1.答案】（D）【解析】根据导数定义，A. 00先型x sin xlim 一x 0 xlim x 0 x0，可导;moH XX(0fn XIsiXmo

8、H XXmoH X国XocmoH X叫zcos、x 1 lim 、x 0xD.limx 0lim ，极限不存在。故选（D ）.x 0 x2【答案】（B）【解析一】设平面与曲面的切点为（x）,y0,Zo），则曲面在该点的法向量为n （2Xo,2yo, 1），切平面方程为切平面过点（1,0,0），（0,1,0），故有2xo（1 X。）2y（0 y） （0 窃 0，（1）2x0（0 X0） 2y（1 y） （0 Z0） 0，（2）又（x0,y0,z0）是曲面上的点，故 z0 x0 心，（3）解方程（1）（2）（3），可得切点坐标（0,0,0）或（1,1,2）。因此，切平面有两个z 0 与 2x 2y

9、 z 2，故选（B）.【解析二】由于x y不经过点（1,0,0）和（0,1,0），所以排除（C）（ D）。对于选项（A），平面x y z 1的法向量为（1,1, 1），曲面x2 y2 z 0的法一、 1 1 1 向量为（2 x,2 y, 1），如果所给平面是切平面，则切点坐标应为（，,），而曲面在该点2 2 21处的切平面为x y z ，所以排除（A）.所以唯一正确的选项是（B ）.23.【答案】（B）【解析】因为sinx(1)nx (2n 1)!2n,cosxn 0 (2n)!而 (1)n 2n 3n 0 (2n 1)!1r(2n2n 11)!1)n(2n 1)!(1)n0(2 n)!(1)

10、ncos1 2sin1，故选(B)o(2n 1)!4.【答案】（C ）【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好, 简化积分2 (1 x)2 122dxx2 1 x22x 一2dx 2 (11 x 22 (12、cosx)dx1gdx ，2不能求出积分则最令 f（X）x, x(x) ex 1，当 x (齐）时，f（x）0，（咛时,f (x)0,故(-)，有f(x)f (0) 0,因而2 1gix2，故K M N。应选（C）.5.【答案】（A）【解析】记矩阵H，则秩r（H） 3，迹tr（H） 3,特征值 1(三重)。观察A, B,C,D四个选项，它们与矩阵H的秩相等、迹相等、行

11、列式相等，特征值也相等，进一步分析可得：r(E H) 2,r(E A) 2， r ( E B) 1r( E C) 1, r( E D) 1。如果矩阵A与矩阵X相似，则必有kE A与kE相似(k为任意常数)，从而r(kE A) r(kE X)，故选(A),6.【答案】(A)【解析】把矩阵A, AB按列分块，记A ( 1, 2丄n), AB ( 1, 2丄n)， 量组1, 2,L n可以由向量组1, 2丄 n线性表出，从而1, 2,L n与1，2丄 n， 1，2 丄 n，等价，于是(A,AB) (A)，故选(A )。则向7.【答案】(A)【解析】由f(1 x)f (1 x)可知概率密度函数f (x

12、)关于x 1对称,结合概率密度函数的性质2f (x)dx 1及已知条件o f (x)dx 0.6，容易得出PX 00 f (x)dx -22f (x)dx o f (x)dx 0.2，故选(A)8.【答案】(D)【解析】正确解答该题，应深刻理解“检验水平”的含义。X统计量 0N (0,1),在检验水平 0.05下接受域为U0.025,解得 接受域的区间为(X U0.025 j=,X u0.025在检验水平0.01下接受域的区间为（X U0.005旷，X U0.005由于U0.025U0.005，0.01下接受域的区间包含了0.05下接受域的区间，故选(D )。9.【答案】【解析】tanxlim

13、 -x 0 1 tanx1si nkxlim ln x 0sinkxe1 tanx1 tanx1 , , 2tanxlim ln 1x 0sinkx 1 tanxe10.【答案】2(1 n2 1)【解析】由已知条件可得:f(0)0,f(1)2, f (1) 2ln2,1 1故 0xf (x)dx 0xdf(x)xf1(x)l。10f (x)dx11.【答案】（1,0, 1）【解析】rotF (x, y, z)y i z j xkxyyzzx故 rotF (1,1,0)(1,0,1)。12【答案】 -3【解析】先求交线2L: xxz2 1，由于曲面方程与平面方程中的 x, y,z满足轮换0对称性

14、，因此在曲线L上x, y, z具有轮换对称性。又知i?Ldsc2 。6* 31由轮换对称性可得：蜒xyds (xy yz zx)ds313【答案】【解析】设2对应的特征值分别是1, 2，则(12 1)A2( 1 2)A2 1 A2 2 12 10，由于1 , 2线性无关,从而A的两个不同的特征值为1,1,于是A14.【答案】14【解析】P(AC ABUC)PAC(ABUC)P(ABUC)P(ABC U AC)P(AB) P(C) P(ABC)11p(C)2 11 P(C)1P(C)-,15.【解析】 e2x arctan ex 1dxia如訂de2x16.【答案】面积之和存在最小值,Smin1

15、 4 3,3【解析】设圆的半径为x，正方形的边长为y，三角形的边长为z，则2 x 4y 3z 2，三个图形的面积之和为 S(x, y, z)2 2 3 2x y Tz，则问题转化为“在条件2 x 4y 3z2，x 0,y 0,z 0下，求三元函数S(x, y,z) x2 y2 3 z2 的最小值”4令 L x2 y2 旦 z24(2 x 4y 3z 2)Lx2 x20xLy2y40解方程组七，得到唯一驻点yLzz302L2 x4y3z 2 0z4 3 324 3.3234由实际问题可知，最小值一定存在，且在该驻点处取得最小值。最小面积和 为Smin14 3,317.【解析】将空间曲面化成标准形

16、以便确定积分曲面的形状曲面前侧是一个半椭球面，补平面11：X 0, y2 z2 3，取后侧，则3 3I & xdydz (y 2)dzdx z dxd1xdydz (y3 2)dzdx z3dxdy 由咼斯1公式可得其中(x,y,z)0 x 1 3y2 3z2 ，由“先二后一” 法可得而 xdydz (y3 2)dzdx z3dxdy 0。故 I1144518.【解析】(I )若f(x) x，则y y x，由一阶线性微分方程通解公式dx dx x得 ye ( xe dx C) Ce x 1。(Il )由一阶线性微分方程通解公式可得 y e x( f (x)eXdx C)，由于y(x T)在f(

17、x)exdx中无法表达出来，取y(x)X/ X e (0(x T) x T t于是 y(x T) e (XT)( 0 f (t)etdtC)若方程存在唯一的以T为周期的解，则 必有y(xT)y(x)，etf (t)dtC Vi-T t0 e f (t)dt由于旦 为一常数，可知当且仅当eT 1T t0 e f (t)dt时，y(x)以T为周期,故微分方程存在唯一的以T为周期的解。19.【证明一】因为x1 0，所以eX2eX1x1根据拉格朗日中值定理，存在(O,xJ，使得eX1e，即 eX2e，因此xiX2x1。完全类似，假设0 Xn 1Xn，则故数列xn设limnXneXn2 eXn1 1e

18、e (0Xn 1)，即 0Xn 1Xn2单调减少且有下界,A，在等式 xneX从而数列Xi收敛。1 eXn两边取极限，得Ae一解 A 0，故 lim xn 0n【证明二】首先证明数列人有下界，即证明xn 0 :当n1时,X10。根据题设l eX1 1X2 lnX1由 eX1 1 x1可知X2ln1 0；假设当nk时，xk 0 ；则当nk1时,l e xk 1 lnXk，其中eXkxk1 xk，可知Xk 1ln10。根据数学归纳法，对任意的nN ， xn 0。再证明数列焉的单调性:exn 1 exn 1 exn 1Xn 1 Xn ln Xn In In exn In 石Xn Xn Xne(离散函

19、数连续化)设f(x) ex 1 xeX(x 0)，则当x 0时，f (x) xeX 0,f (x)单调递减，f (x) f(0) 0,即 ex 1 xeX从而xn 1 Xiln0XeIn1 0，故 xn 1xn，即数列xn的单调递减。综上，数列 Xn的单调递减且有下界。由单调有界收敛原理可知 Xn收敛。设lim xn a，在等式xneXn 1 eXn 1两边同时令n ，得aea ea 1 ,n解方程得 唯一解a 0，故lim Xn 0。 n20【解析】(I )由f (X1,X2,X3) 0可得对上述齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换得当 a 2 时，f(x1,X2,X3) 0 只有零解：X

20、(0,0,0) T。当a 2时，Af (x!，x2,x3) 0有非零解：x k( 2, 1,1), k为任意常数(II )当a 2时，若X1,X2,X3不全为0,则二次型f (XpX2,X3)恒大于0 ,即二次型f (x!，x2,x3)为正定二次型，其规范型为f (y1, y2, y3)当a 2时,二次型对应的实对称矩阵 B213120 ，其特征方程为306解得特征值5 J7, 2 5 ：7, 30，可知二次型的规范型为f （W，Z2，Z3）2Z1Z；。21.【解析】(I )由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，故 r(A) r(B)对矩阵A,B作初等行变换，得12 a12a1 2aA 13 00

21、1a0 1a ，27 a033a0 001a 21a21 a2B 01 10110 11 ，11 10a 130 02 a显然r(A) 2，要使r(B)2，必有2a0a 2。(II )将矩阵B按 列分块：B ( 1, 2, 3)，求解矩阵方程AP B可化为解三个同系数的非齐次线性方程组：Ax j, j 1,2,3。对下列矩阵施以初等行变换得122 122106 344(A,B) 130 M011012M 111，272 111000 000易知，齐次线性方程组Ax 0的基础解系为： ( 6,2,1)t,三个非齐次线性方程组的特解分别为：1 (3, 1,0)t, 2 (4, 1,0)t, 3 (

22、4, 1,0)T o因此，三个非齐次线性方程组的通解为6364641匕21，2 k221， 3k3 21 ，1010103 6匕46k246k3从而可得可逆矩阵P1 2k1 12k212k3，其中k2k3 ok1k2k322.【解析】(I )由X,Y相互独立，可得E(XY) E(X)E(Y).。由协方差计算公式可知Cov(X,Z) E(XZ) E(X)E(Z) E(X2Y) E(X)E(X Y)E(X2)E( Y) E2(X)E( Y)其中 E(X) 0,E(X2) 1,E(Y) ，代入上式可得 Cov(X,Z) o(II )由于X,Y是离散型随机变量，因此ZXY也是离散型随机变量X的可能取值

23、为1，-1，Y的概率分布为 P Y kkek!,k0,1,2,L，故Z的可能取值为0, 1, 2, 3丄 于是，Z的概率分布为PZO P X 1YO P X 1YO 】PY0PY0 e2 21,Y klp Y k - ,k 1,2,3丄2 2 k!23.【解析】(I )似然函数为取对数得ln L nln 2 n InXidln LdXi解得的最大似然估计量为Xi1 n(H)E( ) E(- |Xi|)n i 1E XiE XiXxe0xe dx01 nD( ) D( |Xi|)n i 1Xi1 1-d|xJ -d|x|,n nE(X2)2 xXe dx2x_dxD|X| E(X2) E2(|X|) 2 2 2 2D( ) 1D|Xn