数学建模获奖论文.docx
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数学建模获奖论文
武汉纺织大学2010年度数学建模竞赛
承诺书
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
参赛队员（签名）：
队员1：
李郭
队员2：
熊小学
队员3：
叶珍芳
题目免费自行车交通系统服务网点布局规划
关键词权重自行车交通系统人流量最优化分布
摘要
本题研究的问题是：
在各种不同条件下，某城区自行车网点分布和每个网点的车辆数分配的最优化问题。
✧网点的分布：
我们采取所有网点的覆盖面积达到最大为评价指标，以达到最大可能方便居民使用；所以在模型的建立中，网点分布采取均匀分布为最优。
✧每个网点车辆数的分配：
考虑到现实情况，较大人流量的地区总比社区的交通工具的需求要高，大型人口密集的社区又要比一般居民区的交通工具的需求要高；因此，对不同地区网点的车辆数分配，我们引入权重去权衡。
⏹模型一的建立是在给定网点数与总车辆数的条件下进行的；对此，我们定义了三个权重，分别针对三类不同地区网点的车辆数分配。
⏹模型二的不同在于：
没有直接给定网点总数与车辆总数，而是增加了一些限制条件。
所以模型二是一个比较贴近实际的规划模型；只要稍作改进，我们认为是可以应用到实际中去的；在权重的处理上与第一个模型一致。
一．问题重述
图表1
注释：
其中A,B,C,D,E为地铁站；S1,S2,S3为大型超市；CI和CII为大型社区；1-17为现有的自行车服务网点。
本题研究的问题是免费自行车交通系统服务网点怎样规划，才能满足最大可能方便居民使用。
所以在优先考虑交通枢纽和地点人流量的情况下，分别建立合理的模型回答下面三个问题：
1.设定一个评价标准来衡量现有网点与车辆分布状况。
2.在规划中要在图中增加到100个网点和3600辆车，如何决定网点位置跟每个网点的车辆数，才能使在你的评价指标下达到最优。
3.但目前市政资金有限，只能拿出110万元左右，已知建设一个网点需5000元，投入一辆自行车的成本约300元，现希望尽可能实现主要居民区网点平均间距500米的公共交通体系，并最大程度服务居民，则需要在此地区建立多少个，如何分布网点并确定每个网点的车辆数。
二．模型假设
1.假设网点的分布只要求分布范围最广，即达到最大覆盖率。
2.假设大型社区，地铁站和超市的人数和其它地区人均拥有车的权重不同，且其它地区平均拥有车的权重为1。
3.假设只考虑地铁站和超市的人流量，除了地铁站，超市和大型社区的人数外，其它一律按照常住人口来计算。
4.假设一个地铁站和超市对应的网点最多有一个，在CI.CII社区内的地铁站（D）和超市（S2）不计算对应的网点（即这类网点的平均拥有车辆数的权重只考虑用大型社区的权重来表示）。
5.假设两个大型社区的人口数对地铁站和超市的人流量的影响较小，可以忽略不计。
6.假设交通枢纽和十字路口在本市区只考虑地铁站，其它的可以忽略不计。
三．符号说明
1.总人口
2.总面积
3.自行车的总数：
，单位/辆
4.第i个地铁站的人流数
5.大型社区人口：
6.第k个超市的人流数：
7.大型社区平均拥有车的权重：
；地铁站和超市平均拥有车的权重
8.加了权重后的平均拥有车的数量：
9.所有网点总数:
，单位/个
10.市政总资金：
M，单位/万元
11.每个网点的建设费用
，每辆自行车的投入成本
；单位/万元
12.网点间的间距：
，单位/公里
四．问题分析
目前该地区现有17个网点，600辆免费自行车，统计车辆数如图表2所示。
（一）.问题
（1）
在已知现有网点与车辆分布状况的基础上，我们选定评价指标，去分析这种状况的合理性。
（二）、问题
（2）
第二问的要求是：
根据建立的评价模型，在已知网点数100和车辆总数3600的情况下，怎样合理分配才能达到最优。
（三）、问题（3）
图表2现有网点与车辆分布状况表
考虑到现实情况，使得第二问的规划不能完全实施。
所以第三问要解决的是在有限的资金的情况下，如何建立合理的方案才能达到最优化。
五．模型的建立
模型一：
评价标准模型
第一问：
✧1、由假设1可得，对于网点的分布我们采取所有网点的覆盖面积达到最大为评价指标，并且满足
（单位/公里）
（1）
✧2、计算在对大型社区，地铁站和超市以及其它地区人口加了权重后的平均拥有车的数量：
由假设2，假设3，假设4，假设5和假设6可知，加了权重后的平均拥有车的数量（地铁站D和超市S2排除在外）：
（
）
（2）
值得注意的是
所以大型社区的总拥有车的数量为：
（3）
对应第一问在CI区的网点为7和14；在CII区的网点为1和2。
（共4个网点）
对地铁站和超市的拥有车的数量为：
（4）
对应第一问在地铁站的网点为10，12，15（3个）；在超市的网点为17（共1个网点）
其它的权重为1的网点有3，4，5，6，8，9，11，13，16。
（共9个网点）
注：
，因为按照现实情况来看，有人流量的地区总比社区的交通工具的需求要高，大型社区又要比居民区的交通工具的需求要高。
第二问：
✧1、对于网点的分布我们同样采取所有网点的覆盖面积达到最大为评价指标，很显然W=100时满足条件
。
因此对第二问，我们采用网点的平均分布，在图上计算两个大型社区的面积约为总面积的1/10，所以相应的网点数为10个。
✧2、我们重点考虑每个网点车的辆数，根据第一问的分析，同样可以建立如下模型
由假设2和假设3可知：
地铁站D和超市S2排除在外
（
）（5）
则对大型社区的总拥有车的数量为：
（6）
在大型社区的网点共有10个。
对地铁站和超市的拥有车的数量为：
（7）
对应第二问由假设（4）在地铁站的网点有4个；在超市的网点有2个
所以其它的网点有100-10-4-2=84（个）
注：
，因为按照现实情况来看，有人流量的地区总比社区的交通要求要高，大型社区又要比居民区的交通要求要高。
模型二：
第三问
考虑到现实情况，使得第二问的规划不能完全实施。
所以第三问要解决的是在有限的资源的情况下，如何建立合理的方案才能达到最优化。
◆1，确定网点数的个数：
同样对于网点的分布我们采取所有网点的覆盖面积达到最大为最优策略，所以根据公式
（8）
（其中S=22.9，d=0.5）得出W=91.6个；其中两大社区的网点总数为W/10,地铁站的网点总数为4，超市的网点总数为2，其它地区网点数为（W-W/10-4-2）
◆2，车辆总数的确定：
在从分利用资金的前提下，我们可以大致确定车辆总数，
（9）
◆3,计算每个网点的车辆数：
确定了车辆总数T和网点总数后，我们利用公式（5）（6）和（7），计算出不同地区每个网点的车辆数。
六．模型求解
模型一求解
第一问，MATLAB计算得出如下数据：
图表3
由结果我们取具体的权重值为
=3，
=12得图表4：
图表4与图表2对比，说明:
●现有网点的车辆分布没有达到最优水平；特别是下午的车辆分布。
●在网点的分布上，现有的网点数还没有达到标准网点的最小值。
综合以上两点，可以认定现有的自行车免费交通系统服务网点布局存在不足，网点没有覆盖全城区。
图表4
第二问，用MATLAB处理得
图表5注
的含义与第一题的
相同。
同样，我们取权重为
得出如下结果：
其中网点总数为100，车辆总数为3600
图表6
从图表6可以看出，两个有人流量的地区（地铁站和超市）的车辆数较多，与现实情况相吻合。
由于其他地区每个网点的车辆数在7—8之间，所以要使车辆总数为3600，权衡一下其他地区网点的车辆数就可以了。
模型二求解
第三问用MATLAB处理得：
图表7注
的含义与第一题的
相同。
同样，我们取权重为
，得出如下结果
其中网点总数为92，车辆总数为2133
图表8
从图表8可以看出，两个有人流量的地区（地铁站和超市）的车辆数较多，与现实情况相吻合。
由于其他地区每个网点的车辆数在4--5之间，所以要使车辆总数为2133，权衡一下其他地区网点的车辆数就可以了。
七．模型评价
Ø模型优点：
通过大量假设，使模型简单化；在不知道车辆是如何在不同地区分配的情况下，我们引入了一个连续的权重，使得模型更贴近现实。
Ø模型缺点：
由于不知道现实中权重具体有多大，我们只是做出了初步分析，不能得到较精确的结果。
八.附录：
MATLAB程序
（1）第一问的检验模型程序
Q=15;T=600;q1=2:
1:
8;q2=12:
1:
18;
%第一问车的总数为T=600，q1,q2分别为大型社区和地铁站，超市的权重
%由于我们不了解其权重的具体范围，所以算出的结果会有误差。
a=4.2;b1=3*0.2+1*0.1;
%a为两社区的总人数，b1为上午地铁站和超市的人流量。
u1=T./（q1*a+q2*b1+（Q-a-b1））;u1=round（u1）
%u1为上午大型社区，地铁站和超市以及其它地区人口加了权重后的平均拥有车的数量
x1=4.2.*u1.*q1;x1=round（x1）
%x1为两个大型社区所有网点的车辆数。
x2=0.2.*u1.*q2;x2=round（x2）
%X2为每个地铁站网点的车辆数
x3=0.1.*u1.*q2;x3=round（x3）
%X3为每个超市网点的车辆数
x4=u1*（Q-a-b1）/9;x4=round（x4）
%其它网点的平均车辆数
b2=3*0.5+1*0.3;
%b2为下午地铁站和超市的人流量
u2=T./（q1*a+q2*b2+（Q-a-b2））;u2=round（u2）
%u2为下午大型社区，地铁站和超市以及其它地区人口加了权重后的平均拥有的车辆数
y1=4.2.*u2.*q1;y1=round（y1）
y2=0.5.*u2.*q2;y2=round（y2）
y3=0.3.*u2.*q2;y3=round（y3）
%Y1,Y2,Y3和X1,X2,X3等同。
y4=u2*（Q-a-b2）/9;y4=round（y4）
%其它网点的平均车辆数
（2）第二问的规划模型程序
Q=15;T=3600;q1=2:
1:
8;q2=12:
1:
18;
%第二问车的总数为T=3600，q1,q2分别为大型社区和地铁站，超市的权重
%由于我们不了解其权重的具体范围，所以算出的结果会有误差。
a=4.2;b=4*0.5+2*0.3;
%a为两大型社区的总人数，b为地铁站和超市的高峰时间人流量。
u=T./（q1*a+q2*b+（Q-a-b））;u=round（u）
%u为大型社区，地铁站和超市以及其它地区人口加了权重后的平均拥有车的数量
X1=4.2.*u.*q1;X1=round（X1）
X2=0.5.*u.*q2;X2=round（X2）
X3=0.3.*u.*q2;X3=round（X3）
X4=（Q-a-b）.*u/84;X4=round（X4）
%X1,X2,X3,X4分别为两个大型社区所有网点车辆数,每个地铁站网点车辆数
%每个超市网点车辆数，其它地区网点的平均车辆数。
（3）第三问的程序
S=22.9;d=0.5;
%S为城区总面积，d为网点间间距。
W=S/d^2;W=round（W）
%确定网点总数。
M=110;p1=0.5;p2=0.03;
%M为总资金，p1为建设每个网点的费用，p2为每辆车的投入成本。
T=（M-W*p1）/p2;T=round（T）
%T为网点总数。
Q=15;q1=2:
1:
8;q2=12:
1:
18;
%q1,q2分别为大型社区和地铁站，超市的权重。
%由于我们不了解其权重的具体范围，所以算出的结果会有误差。
a=4.2;b=4*0.5+2*0.3;
%a为两大型社区的总人数，b为地铁站和超市的高峰时间人流量。
u=T./（q1*a+q2*b+（Q-a-b））;u=round（u）
%u为大型社区，地铁站和超市以及其它地区人口加了权重后的平均拥有车的数量
X1=4.2.*u.*q1;X1=round（X1）
X2=0.5.*u.*q2;X2=round（X2）
X3=0.3.*u.*q2;X3=round（X3）
X4=（Q-a-b）.*u/84;X4=round（X4）
%X1,X2,X3,X4分别为两个大型社区所有网点的车辆数,每个地铁站网点的车辆数
%每个超市网点的车辆数，其它地区网点的平均车辆数。
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