三函数的奇偶性与周期性含答案.docx
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三函数的奇偶性与周期性含答案
三 函数的奇偶性与周期性
导学目标：
1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．
自主梳理
1．函数奇偶性的定义
如果对于函数f（x）定义域内任意一个x，都有______________，则称f（x）为奇函数；如果对于函数f（x）定义域内任意一个x，都有____________，则称f（x）为偶函数．
2．奇偶函数的性质
（1）f（x）为奇函数⇔f（－x）＝－f（x）⇔f（－x）＋f（x）＝____；
f（x）为偶函数⇔f（x）＝f（－x）＝f（|x|）⇔f（x）－f（－x）＝____.
（2）f（x）是偶函数⇔f（x）的图象关于____轴对称；f（x）是奇函数⇔f（x）的图象关于________
对称．
（3）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．
3．函数的周期性
（1）定义：
如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f（x＋T）＝________，则称f（x）为________函数，其中T称作f（x）的周期．若T存在一个最小的正数，则称它为f（x）的________________．
（2）性质：
①f（x＋T）＝f（x）常常写作f（x＋
）＝f（x－
）．
②如果T是函数y＝f（x）的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是y＝f（x）的周期，即f（x＋kT）＝f（x）．
③若对于函数f（x）的定义域内任一个自变量的值x都有f（x＋a）＝－f（x）或f（x＋a）＝
或f（x＋a）＝－
（a是常数且a≠0），则f（x）是以______为一个周期的周期函数．
自我检测
1．已知函数f（x）＝（m－1）x2＋（m－2）x＋（m2－7m＋12）为偶函数，则m的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．如果奇函数f（x）在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f（x）在区间[－7，－3]上是（ ）
A．增函数且最小值是－5B．增函数且最大值是－5
C．减函数且最大值是－5D．减函数且最小值是－5
3．函数y＝x－
的图象（ ）
A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称
4．已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0,2）时，f（x）＝log2（x＋1），则f（－2012）＋f（2011）的值为（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
5．设函数f（x）＝
为奇函数，则a＝________.
探究点一 函数奇偶性的判定
例1
判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）＝（x＋1）
；
（2）f（x）＝x（
＋
）；
（3）f（x）＝log2（x＋
）；（4）f（x）＝
变式迁移1 判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）＝x2－x3；
（2）f（x）＝
＋
；
（3）f（x）＝
.
探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用
例2
函数y＝f（x）（x≠0）是奇函数，且当x∈（0，＋∞）时是增函数，若f
（1）＝0，求不等式f[x（x－
）]<0的解集．
变式迁移2 已知函数f（x）＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f（mx－2）＋f（x）<0恒成立，则x的取值范围为________．
探究点三 函数性质的综合应用
例3
已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0,2]上是增函数，若方程f（x）＝m（m>0），在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
变式迁移3 定义在R上的函数f（x）是偶函数，且f（x）＝f（2－x）．若f（x）在区间[1,2]上是减函数，则f（x）（ ）
A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数
B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
转化与化归思想的应用
例
（12分）函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）．
（1）求f
（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果f（4）＝1，f（3x＋1）＋f（2x－6）≤3，且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，求x的取值范围．
【答题模板】
解
（1）∵对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），
∴令x1＝x2＝1，得f
（1）＝2f
（1），∴f
（1）＝0.[2分]
（2）令x1＝x2＝－1，有f
（1）＝f（－1）＋f（－1），
∴f（－1）＝
f
（1）＝0.[4分]
令x1＝－1，x2＝x有f（－x）＝f（－1）＋f（x），
∴f（－x）＝f（x），∴f（x）为偶函数．[6分]
（3）依题设有f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，
f（16×4）＝f（16）＋f（4）＝3，[7分]
∵f（3x＋1）＋f（2x－6）≤3，
即f（（3x＋1）（2x－6））≤f（64）[8分]
∵f（x）为偶函数，
∴f（|（3x＋1）（2x－6|）≤f（64）．[10分]
又∵f（x）在（0，＋∞）上是增函数，f（x）的定义域为D.
∴0<|（3x＋1）（2x－6）|≤64.[11分]
解上式，得3≤x<－
或－
∴x的取值范围为{x|－
≤x<－
或－
【突破思维障碍】
在（3）中，通过变换已知条件，能变形出f（g（x））≤f（a）的形式，但思维障碍在于f（x）在（0，＋∞）上是增函数，g（x）是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f”，若能结合
（2）中f（x）是偶函数的结论，则有f（g（x））＝f（|g（x）|），又若能注意到f（x）的定义域为{x|x≠0}，这才能有|g（x）|>0，从而得出0<|g（x）|≤a，解之得x的范围．
【易错点剖析】
在（3）中，由f（|（3x＋1）·（2x－6）|）≤f（64）脱掉“f”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0}，易出现0≤|（3x＋1）（2x－6）|≤64，导致结果错误．
1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：
①定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）是定义域上的恒等式．
2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：
f（－x）＝±f（x）⇔f（－x）±f（x）＝0⇔
＝±1（f（x）≠0）．
3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．
4．关于函数周期性常用的结论：
对于函数f（x），若有f（x＋a）＝－f（x）或f（x＋a）＝
或f（x＋a）＝－
（a为常数且a≠0），则f（x）的一个周期为2a
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值为（ ）
A．－
B.
C.
D．－
2．已知定义域为{x|x≠0}的函数f（x）为偶函数，且f（x）在区间（－∞，0）上是增函数，若f（－3）＝0，则
<0的解集为（ ）
A．（－3,0）∪（0,3）B．（－∞，－3）∪（0,3）
C．（－∞，－3）∪（3，＋∞）D．（－3,0）∪（3，＋∞）
3．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x＋2）＝－
，当1≤x≤2时，f（x）＝x－2，则f（6.5）等于（ ）
A．4.5B．－4.5C．0.5D．－0.5
4．设f（x）为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f（x）＝2x＋2x＋b（b为常数），则f（－1）等于（ ）
A．3B．1C．－1D．－3
5．设函数f（x）满足：
①y＝f（x＋1）是偶函数；②在[1，＋∞）上为增函数，则f（－1）与f
（2）大小关系是（ ）
A．f（－1）>f
（2）B．f（－1）（2）C．f（－1）＝f
（2）D．无法确定
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题（每小题4分，共12分）
6．若函数f（x）＝
是奇函数，则a＋b＝________.
7．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）满足f（x＋3）＝f（x），且f
（1）>1，f
（2）＝
，则m的取值范围是________．
8．已知函数f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，且g（x）＝f（x－1），若f
（2）＝2，则f（2010）的值为________．
三、解答题（共38分）
9．（12分）已知f（x）是定义在[－6,6]上的奇函数，且f（x）在[0,3]上是x的一次式，在[3,6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时，f（x）≤f（5）＝3，f（6）＝2，求f（x）的表达式．
10．（12分）设函数f（x）＝x2－2|x|－1（－3≤x≤3）
（1）证明f（x）是偶函数；
（2）画出这个函数的图象；
（3）指出函数f（x）的单调区间，并说明在各个单调区间上f（x）是增函数还是减函数；
（4）求函数的值域．
11．（14分）已知函数f（x）＝x2＋
（x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在[2，＋∞）上为增函数，求实数a的取值范围．
答案自主梳理
1．f（－x）＝－f（x） f（－x）＝f（x）
2．
（1）0 0
（2）y 原点 （3）相反
3．
（1）f（x） 周期 最小正周期
（2）③2a
自我检测
1．B [因为f（x）为偶函数，所以奇次项系数为0，即m－2＝0，m＝2.]
2．A [奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．]
3．A [由f（－x）＝－f（x），故函数为奇函数，图象关于原点对称．]
4．C [f（－2012）＋f（2011）＝f（2012）＋f（2011）＝f（0）＋f
（1）＝log21＋log2（1＋1）＝1.]
5．－1
解析 ∵f（－1）＝0，∴f
（1）＝2（a＋1）＝0，
∴a＝－1.代入检验f（x）＝
是奇函数，故a＝－1.
课堂活动区
例1
解题导引 判断函数奇偶性的方法．
（1）定义法：
用函数奇偶性的定义判断．（先看定义域是否关于原点对称）．
（2）图象法：
f（x）的图象关于原点对称，则f（x）为奇函数；f（x）的图象关于y轴对称，则f（x）为偶函数．
（3）基本函数法：
把f（x）变形为g（x）与h（x）的和、差、积、商的形式，通过g（x）与h（x）的奇偶性判定出f（x）的奇偶性．
解
（1）定义域要求
≥0且x≠－1，
∴－1∴f（x）是非奇非偶函数．
（2）函数定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
∵f（－x）＝－x
＝－x
＝
＝
＝f（x）．
∴f（x）是偶函数．
（3）函数定义域为R.
∵f（－x）＝log2（－x＋
）
＝log2
＝－log2（x＋
）
＝－f（x），
∴f（x）是奇函数．
（4）函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
当x<0时，－x>0，则
f（－x）＝－（－x）2－x＝－（x2＋x）＝－f（x）；
当x>0时，－x<0，则
f（－x）＝（－x）2－x＝x2－x＝－（－x2＋x）＝－f（x）．
∴对任意x∈（－∞，0）∪（0，＋∞）都有f（－x）＝－f（x）．
故f（x）为奇函数．
变式迁移1 解
（1）由于f（－1）＝2，f
（1）＝0，f（－1）≠f
（1），f（－1）≠－f
（1），从而函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）f（x）的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f（－1）＝f
（1）＝0，f（－1）＝－f
（1）＝0，∴f（x）既是奇函数又是偶函数．
（3）由
得，f（x）定义域为[－2,0）∪（0,2]．
∴定义域关于原点对称，
又f（x）＝
，f（－x）＝－
∴f（－x）＝－f（x）
∴f（x）为奇函数．
例2
解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．
在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．
解 ∵y＝f（x）为奇函数，且在（0，＋∞）上为增函数，
∴y＝f（x）在（－∞，0）上单调递增，
且由f
（1）＝0得f（－1）＝0.
若f[x（x－
）]<0＝f
（1），
则
即0）<1，
解得
或
若f[x（x－
）]<0＝f（－1），则
由x（x－
）<－1，解得x∈∅.
∴原不等式的解集是
{x|
或
变式迁移2 （－2，
）
解析 易知f（x）在R上为单调递增函数，且f（x）为奇函数，故f（mx－2）＋f（x）<0，等价于f（mx－2）<－f（x）＝f（－x），此时应用mx－2<－x，即mx＋x－2<0对所有m∈[－2,2]恒成立，令h（m）＝mx＋x－2，
此时，只需
即可，解得x∈（－2，
）．
例3
解题导引 解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．
－8
解析 因为定义在R上的奇函数，满足f（x－4）＝－f（x），所以f（4－x）＝f（x）．因此，函数图象关于直线x＝2对称且f（0）＝0，由f（x－4）＝－f（x）知f（x－8）＝f（x），所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f（x）在区间[0,2]上是增函数，所以f（x）在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f（x）＝m（m>0）在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1变式迁移3 B [∵f（x）＝f（2－x），∴f（x＋1）＝f（1－x）．
∴x＝1为函数f（x）的一条对称轴．
又f（x＋2）＝f[2－（x＋2）]
＝f（－x）＝f（x），
∴2是函数f（x）的一个周期．
根据已知条件画出函数简图的一部分，如右图：
由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．]
课后练习区
1．B [依题意得
，∴
，
∴a＋b＝
.]
2．D
[由已知条件，可得函数f（x）的图象大致为右图，故
<0的解集为（－3,0）∪（3，＋∞）．]
3．D [由f（x＋2）＝－
，
得f（x＋4）＝－
＝f（x），那么f（x）的周期是4，得f（6.5）＝f（2.5）．因为f（x）是偶函数，则f（2.5）＝f（－2.5）＝f（1.5）．而1≤x≤2时，f（x）＝x－2，
∴f（1.5）＝－0.5.由上知：
f（6.5）＝－0.5.]
4．D [因为奇函数f（x）在x＝0有定义，所以f（0）＝20＋2×0＋b＝b＋1＝0，b＝－1.
∴f（x）＝2x＋2x－1，f
（1）＝3，
从而f（－1）＝－f
（1）＝－3.]
5．A [由y＝f（x＋1）是偶函数，得到y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（－1）＝f（3）．
又f（x）在[1，＋∞）上为单调增函数，
∴f（3）>f
（2），即f（－1）>f
（2）．]
6．1
解析 ∵f（x）是奇函数，且x∈R，∴f（0）＝0，即a＝0.又f（－1）＝－f
（1），∴b－1＝－（1－1）＝0，即b＝1，因此a＋b＝1.
7．－1解析 ∵f（x＋3）＝f（x），∴f
（2）＝f（－1＋3）＝f（－1）．
∵f（x）为奇函数，且f
（1）>1，
∴f（－1）＝－f
（1）<－1，∴
<－1.
解得：
－1.
8．2
解析 由g（x）＝f（x－1），得g（－x）＝f（－x－1），
又g（x）为R上的奇函数，∴g（－x）＝－g（x），
∴f（－x－1）＝－f（x－1），
即f（x－1）＝－f（－x－1），
用x＋1替换x，得f（x）＝－f（－x－2）．
又f（x）是R上的偶函数，∴f（x）＝－f（x＋2）．
∴f（x）＝f（x＋4），即f（x）的周期为4.
∴f（2010）＝f（4×502＋2）＝f
（2）＝2.
9．解 由题意，当3≤x≤6时，设f（x）＝a（x－5）2＋3，
∵f（6）＝2，∴2＝a（6－5）2＋3.∴a＝－1.
∴f（x）＝－（x－5）2＋3（3≤x≤6）．…………………………………………………………（3分）
∴f（3）＝－（3－5）2＋3＝－1.
又∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0.
∴一次函数图象过（0,0），（3，－1）两点．
∴f（x）＝－
x（0≤x≤3）．…………………………………………………………………（6分）
当－3≤x≤0时，－x∈[0,3]，
∴f（－x）＝－
（－x）＝
x.
又f（－x）＝－f（x），∴f（x）＝－
x.
∴f（x）＝－
x（－3≤x≤3）．………………………………………………………………（9分）
当－6≤x≤－3时，3≤－x≤6，
∴f（－x）＝－（－x－5）2＋3＝－（x＋5）2＋3.
又f（－x）＝－f（x），∴f（x）＝（x＋5）2－3.
∴f（x）＝
10．解
（1）f（－x）＝（－x）2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f（x），
即f（－x）＝f（x）．∴f（x）是偶函数．………………………………………………………（2分）
（2）当x≥0时，f（x）＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，
当x<0时，f（x）＝x2＋2x－1＝（x＋1）2－2，
即f（x）＝
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．
……………………………………（6分）
（3）由
（2）中函数图象可知，函数f（x）的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．
f（x）在区间[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．……………（8分）
（4）当x≥0时，函数f（x）＝（x－1）2－2的最小值为－2，最大值为f（3）＝2；
当x<0时，函数f（x）＝（x＋1）2－2的最小值为－2，最大值为f（－3）＝2；
故函数f（x）的值域为[－2,2]．……………………………………………………………（12分）
11．解
（1）当a＝0时，f（x）＝x2对任意x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），
有f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x），
∴f（x）为偶函数．…………………………………………………………………………（2分）
当a≠0时，f（x）＝x2＋
（x≠0，常数a∈R），
若x＝±1时，则f（－1）＋f
（1）＝2≠0；
∴f（－1）≠－f
（1），又f（－1）≠f
（1）
∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………（6分）
综上所述，当a＝0时，f（x）为偶函数；
当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．………………………………………………………（7分）
（2）设2≤x1f（x1）－f（x2）＝x
＋
－x
－
＝
[x1x2（x1＋x2）－a]，………………………………………………………………（10分）
要使f（x）在x∈[2，＋∞）上为增函数，必须使f（x1）－f（x2）<0恒成立．
∵x1－x2<0，x1x2>4，即a又∵x1＋x2>4，∴x1x2（x1＋x2）>16，
∴a的取值范围为（－∞，16]．…………………………………………………………（14分）
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