圆的培优专题含解答精编版.docx
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圆的培优专题含解答精编版
3020,=,
专题1与圆有关的角度计算一运用辅助圆求角度
DAC1、如图，△ABC内有一点D，DA=DB=。
。
，若=DAB1
100BDC=）BAC=.（则=BDC2
10050）.，则（BAD=、如图，2AE=BE=DE=BC=DC,若C=
CAD=40100
2030=，，则=AD，BDCCBD=3、如图，四边形ABCD中，AB=AC
++60BAD=.（）BAD==BAC
题第3第1题第2题
解题策略：
通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！
60
□，D4、如图，EABCD中，点为AB、BC的垂直平分线的交点，若=.（=AEC2120B
=2）D=贝寸AEC=
70ADC==OB=OC,,ABC是四边形5、如图，OABCD内一点，OA=150）ADC
—360贝UDAO+DCO=.（所求==—AOC
9025.ADB=,ADC==，则ABC=中，6、如图，四边形ABCDACB（）
ABC=ADC=25
D
第题第4第题56题.
题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到解题策略：
第6ACBD共圆1
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和圆心角相互转化求角度二ABAB.=O的直径，C为的中点，D为半圆上一点，
则ADC、如图，7AB为O.OA过的中点E并垂直于OA，贝UABC=8如
图，AB为OO的直径，CDACBC3.，则二ABC9、如图，AB为OO
的直径，—
题
第9第
8题
第7题
、110；、；
1040;
11、15012答案：
7、45;
弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!
Jf32.=，贝0BOC
8、309;、22.5解题策略：
以
50.上,BAC=，贝UADC
=O10、如图，AB为O的直径，点C、D在OO
=，弦11、如图，OO的半径为1AB=，弦AC30CDAC，P=，过圆心、
如图，12PAB、PCD是OO的两条割线，PABO，若X=.（设，即可展开解决问题）ADC则
BDC=
题第121110第题第题
解题策略：
在连接半径时，时常会伴随岀现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！
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垂径定理有关的计算圆的培优专题
BED上，若,
点E在OOAB,垂足为C,
交OO于点D1、如图，AB是OO的弦，OD30.O的半径为
O=90,•AB=2AC，且，略解：
•/ODACOAB
=BED30601
4,则弦AB=的长是，
BED,•=AOC=2
AB=，因此=30=,OCOA=2,贝UAC
.ABOA=5,=6,贝UBC=2、如图，弦AB垂直于OO的直径CD,
1AB=3
BE略解：
•••直径CD=弦AB，二AE_
224539=，贝UCE
•OE=5
2210393
•••BC
AZ?
题第3题
52.
6，则OP
如图，O3O的半径为弦，ABABCD，垂足为P,=8,CD=
OD.CD，连接,
OEO作OBAB，OF略解：
如图，过点1卩
52，且OB=OD=3=
贝UBE=AB4,DF
CD
2222112（25）4（25）3OFOE==,
22152（11）OP是矩形，则二在O00A=8AB=12A=B=
又ABCD，则四边形OEPF60，则OO的半径为，
，内，如果4、如图,
34OD=，=，因此，=
ADOBODO略解：
如图，过点作AB，连接，则=AB4BD8一2
I''：
；丨2273）（44
=OB3
8.
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15
CD=
10内接于OABCO，D是OO上一点，，贝UDCA=BC=，5、如图，正△OCD
ODC略解：
如图，连接OC,OD，则=ODC=•••△ABC为等边三角形，则45OCA=
OCDOCE=30=，
25=OCD是等腰三角形，则OC•••2C过OB，B
60AB,AEC=CE6、如图,
OO的直径AB=4,C为上一点,
的中点，E为OB的延
长线交OO于点，贝UCD=
2
=略解：
如图，连接OC,贝UOCAB60=,•=OC的中点，贝U30AB，又OCE
C为AEC1
3322CF=CF=,ACD=O如图，过点作OFCD，贝UOF=OC=1,-2
处，A地测得台风中心在城正西方向300千米的B7、如图，茲71060的并以每小时
BF千米的速度沿北偏东方向移.千米范围内是受台风影响的区域动，距台风中心200
A地是否受到这次台风的影响？
若受到影响，请求问：
岀受影响的时间？
BFCAC，交于点解：
如图，过点A作1150,因此200A地会受到这次台风影响；='•=ABF30AC，则二AB_2EBF200如图，以A为圆心千米为半径作OA交于D、两点，连接AD，广227100150200DE则二22CD=，厂厂107101007
所以受影响的时间为（时）4
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圆的培优
专题3圆与全等三角形.O于D，求CDAC、如图，OO的直径AB=10,弦
=6，的长ACB的平分线交O1DECB的延长线上截取BE=AC,连接解：
如图，连接AB，BD，
BD
ADC
•CD=DE,
ACB=90ADBAB为OO的直径，则=t
2290
8610CDE,即BDE=;90BC•ADC=+=CDB=CDB
27CD=是等腰直
角三角形且
CE=14,/
•••△CDE延长线上一点，且是半圆的中点,
D分别是CB及
AB2、如图,
AB是OO的直径，C<
2.
求BD,若CM
是等腰直角三角形
的长=MA=MD，即△ABCC=90解：
如图,
MAD
连接
AC，贝UAC=BC,
AD，则=NMA
过点M作MN//
22
则厶CMN也是等腰直角三角形，则MNCM
•135ANC=,MBD
MAD又MAD
==NMA=MD,•）AASAMNBMD
•BD=MN
I'IAN3.C为=上一点，NC为O3、如图，ABO
的直径，点N是半圆的中
占
八、、5
占
八、、■
AC
的值求BC—
BN，则△ABN是等腰直角三角形
•/CAN=DBN,ACAN=BN，二
AN解：
如图，连接，DNAC=,连接
在BC上截取BDBD
）（SASBDNACN
CNADNB=DN•CN=,,
CNDCND=+CNA是等腰直角三角形AND=ADN+DNB
=BCD，二•/ACD=ADBE=EBD又,CAD=AC）EBD（SASCAD
BDE
26=CD=NC,•
BCBCACEC
6ACBC•—=CDBD—BC==5
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为OO上三点，，AM为，点M于上一点，CE4、如图，点A、B、.
BM的长=3,求AE=5,ME
CM.,BM，连接CN解：
如图，在AM上截取AN=BCACBA，二AC•/=BC,又=
（SAS）•••△ACNBCMAMCE/•CN=CM，又
•-NE=ME=32
=•••BM=ANAE—NE=
BACAC=3，AD=15、如图，在OO中，P为，的中点,
的长求AB
CCPB，二解：
如图，连接
BP、CP」BP=
CDPDE,又
过点P作PE于点ABCDP
=BEP
（AAS）•••△BEPCDP
PDCD,CD交OO于A，若.
==AE+BEAB
MN于FAB.
BF—AE的值
PD
BE=CD=3+1=4,PE
1Rt△ADP（HL）,贝UAE==AD连接AP，贝URt△AEP幻5
8.==10,MN是6、如图，ABO的直径，MN是弦，AE于MNE,BF,
B
A=//BF,•AEMN,BFMN，贝UAE解：
t如图，延长EO交BF于点，GBO
AO则=AOE=BOGOG，贝UAAS）OE=BOGAOE□△（4
过点O作OHMN,FG=,=2OHHN223456.
AE—OH,=ON，则连接ON5=BG，则==FG6
股定理4圆的培优专题
60ABBNC是二的中点，，1、如图，OO是厶BCN的外接圆，弦AC,点BCNBN.求的
BC
BNA=，则AB为直径，•••90解：
如图,
连接AB是等腰直角三角形，则BN=AN，
贝忆ABN
连接AN
60=•BN==，
AB;又BNCBAC2
63BN=BC,即可求解）
（方法2,过点B作BD•AB，•CN=一BC32
22.，求OACOBD，且AC=BD，若AD半径=2、如图，OO的弦
解：
如图，作
直径AE，连接DE，贝UADE=90
•DAC=DEACCDADBC，•，则
DAC==+ADB+90又ACBD，贝UEDBADBBCDECDBEEDB，贝U,
AC=BD是等腰直角三角形•AD=DE，即
△ADE—I
22
=4AD=，即OO•AE的半径为45，CAD=D3、如图，AB为OO的直径，C为OO上一点，为CB延长线上一点，且F.
P
AB，DF于点CEAB于点E
AC.=4，求EFCE=;
（2）若DF=2,EF
（1）求证：
451CAD的直径，二，）证：
丁AB为OO（DC=则厶ACD是等腰直角三角形，即ACECB
=CAE又CEAB，贝U
G
的延长线于点作
是矩形，90
CG垂直DF如图，过点C
又CEAB，
CAECDG==11=
AEC=DGC=DFAB，则四边形CEFG
•••EFCG，CEDG，贝UECBEF
的长，的半径为5AE=8,求EF
G（CEAGAC，则CG
CAE==ACG，贝U•-AF
EH=AE
（2）解：
如图，连接
OC交于点H，贝UOCAHAE，-
3,贝UCH=•OHXX=4设HF=—，贝UCF=AF
33222x）（42XX，•=
则，即HF
-2211EF=
223452=5—=
2AD.NAM,，
（ACEDCGAAS），贝UCG==CE「.A
2213264.
2（）略解：
CD=AC=7
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交AE于点F,4、如图，AB为OO的直径，CDAB于点D;=CF
（1）求证：
AF
（2）若OOAC，连接1）证：
如图，延长CD交OO于点
•••直径ABCF
1AE=4
（1）求证:
连接BC于M，交CD5、如图，在OO中，直径CD于弦AB于EAN;
.ON，=1，求O
（2）若ABO=的半径BC
）证：
•••CDAMAB（1
90•-BC+=CNM=C+
AN
•CNMB
CNMB
ANDD
又,=
•=D=ADAND，即
22AB，则AE=
（2）解：
•••直径CD弦ED
NE==AD，贝U又ANxIx=NE=ED如图，连接OA，设OE=，则
1x2==ODOA•••，.222lx1）2）（2x（2x•••,则
OA的半径二。
O=8
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圆中两
ACD=CD，贝U90CAB+•/AB
BACBOC=22ACD又
AC=
ACD证:
AB=CD，贝U90CAB+
垂直弦的问题5圆的培优专题
AC，证：
如图，连接
AOD=180.
AOD+=•BOC222.+BD4R2、在OO中，弦ABCD于点E,若OO的半径为R，求证:
CM如图，作直径AM，连接
ACM=ACD+90贝UDCM=
•DCMCAB=，DMBC•BDCM
BD•-CM=222=TACCM+AM
+BD4R
•ACBD.为MEACAB3、在OO中，弦的中点，求证CD于点E，若点MFME
于点，并延长交BD证：
如图，连接
•/AB的中点CD，且点M为AC•ME斜边上的中线Rt△AEC为ME
•AM=
BEFAEM
90+AC
又BC,
•BEFB==9090，即
BFEBD.
贝UDFBDBD,又ON,OFOB=/•ONIIFD,又1DF=/•ON-2ABAB,
又连接AF，贝UAFCDCD
II•••AF
2,BF，连接
1AC.BD于N,
DF证：
如图，作直径
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求证：
4、在OO中，弦ABONCD于点E,若ON
FDACFDAC=，则/•1AC=/•ON—2M.ONACBD于N,OM于5、在OO中,
弦ABBDCD于点E,若AC=,//
（1）求证：
MEON;
匸
E、
ME交OD于点证：
AC,则点M为
.为菱形
（2）求证：
四边形OMENF
（1）如图,
延长
AC•/OM的中点ACE的斜边上中线为Rt•/AB△CD，贝UME
•••AM=EM,
BEF=•AEMA=
+90又=BCC,=A
BFE=BEF=9090，贝U•+BBD，又ON•MFBD
ON
//•••MF
NE，同理可证OM//1
（2）由（）知MF//ON
是平行四边形•四边形OMEN
ON=，•OMBD•/AC=
为菱形•四边形OMEN10
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圆与内
CBCA+
求证:
BD，DE，分ADBC
•/CD平
AD证：
如图，在CA的延长线上截取AE=BC,连BD=ACB，•
=又,DAE=AEDBC）（SASDAEDBC，又•CD=DE45ACD
2CD.
角（外角）平分线6圆的培优专题
圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形一
2CD.
90.，=1、如图，OOABC的外接圆，弦CD平分ACBACB
CE=CB是等腰直角三角形，则CA+=CDECA+CB120.
的值，求ACB=CD2、如图，OOABC的外接圆，弦平分ACB，CDBD，=
BC,连DE，ADCA解：
如图，在的延长线上截取AE
BDAD=ACB，二CD•平分BC=DBC,又AEDAE=）DBC（SAS:
.△DAE
=•••CD=DE，又60ACD
CDE是等边三角形•••△CA+CB1
CE=CA+BC，即=CD••=CD0（1,1）xy.的值0BM3、如图，过O、，求的动
圆OOA交+轴、轴于点A、Bi
XyBM轴，MFAM、M解：
如图，过点作ME轴，连1由M（,1）知：
四边形OFME是
正方形
MAE，FM4OE••=OF=，EM=，又二MBFBFBFMAEM□△（AAS）=，贝0AE
8.
+=+•OAOBAEOE=-OF+BF
11
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问题往往与线段的差有关二
90.ACBACQ，ABC4、如图，OOABC的外接圆，弦CP平分△的外角=
I；IPBP2PC.求证：
（1）—B=;
（2）AC
PABPCQ证：
（1）如图，连接AP，则=PCAPCQ=PABPCA又，则=
PBPA
PB
PA=
（2）连接BP,由
（1）得，PBCPADPD,又=上截取AD=BC，连在ACPC
PADPBC（SAS=，贝UPD）•••△2PC.CD=AC—BC又=PCD45=，贝U
•••PCD是等腰直角三角形，•120.ACB,、如图，O50ABC的外接圆，弦CP平分△
ABC的外角=ACQAC—BC.
的值求
PCDP、BPBD解：
如图，在BC上截取=AC，连APPBA•/=PCB=
PCQDBP•••AP=BP,又CAP=DPSAS:
△CAP◎△DBP（）,则=CP
ACB,:
PCD又==12030
AC—BCCD
3=
O、经过A、BO三点，点
这P为、
PA—PB.
的值求POAP上截取BC=解：
如图，在BP4）（4,0）（0,4=，则OAA,B=OB
OBC=又OAP
SAS）（：
•△OAPOBCPA—PBPcR]2
=，且=：
•OCOPCOP=AOB90，则==POPO12
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与切线
有关的角度计算圆的培优专题7
切线与一个圆45208012013070；2、6；3、5；4、1答案：
、20.
CAD=AD、如图，切OO于A,BC为直径，若ACB=，贝U1
=,PB过圆心，B在OO上，若ABP=，贝UP2、如图，AP切OO于
=CO的切线，为上一点，若BCA=，贝UAPB3、如图，PA、PB为O
35.APB
50ACB.
第题
ABC为上一点，、PB为OO的切线，4、如图，PA150.
APB若=BCA=，则
ABC的内切圆的的圆心，若5、如图，点O是厶80.
BAC=，贝UBOC=
AB，PD平分6、如图，PA切OO于A，若PA=题第5
（设元，列方程）.APB交AB于D，贝UADP=
切线与两个圆二ACAB、7、如图，两同心圆的圆心为
0,大圆的弦110DE的度数为E，
小圆的，分别切小圆于D、
6题第BC.则大圆的的度数为
110C=D=，则
在OB交于08、如图，O和OOA、两点，且点00上，若2112
100BD=AB夕卜切于09、如图，O和OOD，过点D，若AOD上任一点，C,为优弧21250140
则DCB=.答案D、；408、7：
、9（过点作两圆的切线）13
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与切线
有关的长度计算8圆的培优专题
30BDABC=交于的切线,
AC的延长线与过点
1、如图，在O0的内接△ACB中,
3//.
（C1，B=）0C,贝UCD
点D，若O0的半径为3
75BAC=的延长线交于
D,,2、如图△ABC内接于OO,AB=BC,过点A的切线与OC
贝HAD=
（ADCD==3,
75
,ACB3、如图，OOBCD的外接圆，过点C的切线交BD的延长线于ACDCD
（=，贝9的值为
=ABCDBDB
245）
第4题第2题第3题题第1
DB的延长线于M，交AB于E,过C作OO的切线交AB4、如图，为OO的直径，弦DS
457532=）ADC=,.M=（CD，贝UCD==若AB4,
OE,O交OOAD于BD于D,5、如图，等边△ABC内接于OADO,BD切OO于B,）AE
=1.（的半径为1,则AE=
90的，若OOD、E、=F与，BC=5,OOABC6、如图，△ABC中，的三边相切于C30）=.
（C的周长为2半径为，则△ABC90D，与BC相切于16,点O在
AB上,O7、如图，△ABC中，C=O12,AC=,BC=X10）=,BD=.（示：
过D作DEAB,设CD=DE=连接AD，贝UBD
题第题第
解题策略：
连半径，有垂直；寻找特殊三角形；设元，构建勾股定理列方程14
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线与垂径定理9圆的培优专题
AED.的中点，CDC为于BEAB1、如图，为OO的直径，的位置关系，并说明理由；
（1）
判断DC与OO
.的长3,0O的半径为5,求DE
（2）若DC=的切线，理由如下：
（1）DC是OO解：
0CB
CBD=ABC=如图，连接OC,BC，贝U
BECDIIBD，又
•••OC的半径OC为OO••
•OCCD，又
的切线
DC是OO
•EF是矩形，
且BE=
（2）如图，
过O作OF,则四边形BDOFDC
=5，二
OF=CD=3，DF二
=OCJ
224531
EF=，二二EF=BFDE==DF—BC的切线AC交AC的延长线于E，O是2、如图,
AB为OO的直径，DO的中点，DEF.的延长线于点BF交AD
AC
•ODIIAE,又
为OO的切线
•OD半径DE,又OD
•DE为OO
5==OG二
=DE3,DE=OD
（2）解：
如图，过点O作OGAC,贝UOGDE是矩形，即/
（1）求证：
DE为OO的切线；
.DF的长0的半径为5,求
（2）若DE=3,OODA==
（1）证：
显然，OADC
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