4.
已知：
如图，泄点A、B分布在立直线1的两侧（A、B两
点到1的距离不相等）
要求：
在宜线1上找一点P，使IPA-PB|的值最大
解：
作点B关于直线1的对称点B\连接B2并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：
根据对称的性质知1为线段BB，的中垂线，由中垂
线的性质得：
PB=PB\要使|PA-PB|最大,则需
IPA-PBT值最大，从而转化为模型3.
典型例题1-1
3
如图，直线y二x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、
D分别为线段AB、0B的中点，点P为0A上一动点，当PC+PD最小
时，点P的坐标为，此时PC+PD的最小值为.
【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D',连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，0P为ACDD'的中位线，易求0P长，从而求岀P点坐标：
PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股左理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.
【解答】连接CD,作点D关于x轴的对称点D',连接CD'交x轴于点P,此时PC+PD值最
小.令y=x+4中x=0,则y=4,
33
•••点B坐标（0,4）：
令尸x+4中尸0,贝I」x+4二0,解得：
x二・6,/.
点A的坐标为（-6,0）.•・•点C、D分别为线段AB、0B的中点，「.CD为ABAO的
中位线，•••CD〃x轴，且CD二寺A0二3,
•・•点D'和点D关于x轴对称，・・.0为DD'的中点，
D*（0,-1）,「•OP为△CDD'的中位线，/.0P=|CD=4,
■■
2
・••点P的坐标为（-,0）.在RtACDDr中，
CD'=ylcD2+DD，2=a/32+42=5,即PC+PD的最小值为5.
【小结】还可用中点坐标公式先后求岀点C、点P坐标：
若题型变化，C、D不是AB和0B中点时，则先求直线CD'的解析式，再求其与x轴的交点P的坐标.
典型例题1-2
大时点P的坐标为,PA-PB）的最大值是.
【分析】符合基本模型4的特征，作A关于直线y二-x对称点C,连接BC,可得直线BC的方程；求得BC与直线y二-x的
交点P的坐标：
此时PA-PB=PC・PB=BC取得最大值，
再用两点之间的距离公式求此最大值.
【解答】作A关于直线y=-x对称点C,易得C的坐标为（-1,0）；连接BC,可得直线BC的方程为y=-|x-|,与直线y=-x联立解得交点坐标P为（4,-4）；此时;PA-PB二PC-PBwBC取得最大值，最大值BC二JG+1）'+（-2）2二孕:
【小结】“两点一线”大多考査基本模型2和4,需作一次对称点，连线得交点.
变式训练1-1
已知菱形0ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5,0）,
0B二4护，点P是对角线0B上的一个动点，D（0,1）,当CP+DP最短
10耳
D.（T,）
变式训练1-3
时，点P的坐标为（）
如图，已知直线y二x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=x：
+bx+c
与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1,0）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点呱使AM-MC的值最大，求出点M的坐标.
拓展模型
已知:
如图，A为锐角ZMON外一定点;
要求：
在射线0M上找一点P,在射线ON上找一点Q,使
AP+PQ的值最小.
解：
过点A作AQ丄ON于点Q,AQ与0H相交于点P,此时，AP+PQ最小：
理由：
AP+PQ圭AQ,当且仅当A、P、Q三点共线时，AP+PQ取得最小值AQ,根据垂线段最短，当AQ丄ON时.AQ最小.
解：
分別作A点关于直线0M的对称点乩关于ON的对
称点A?
连接A1H交0M于点P,交ON于点Q,点P和点Q即为所求，此时AAPQ周长最小，最小值即为线段山壮的长度；
理由：
由轴对称的性质知AP二AiP,AQ二A:
Q,AAPQ的周
长AP+PQ-AQ二AiP+PQ-A:
Q,当Ai、P、Q、A2四点共线时，貝值最小.
5.搭桥模型
要求：
在0M上找一点P,在ON上找一点Q,使四边形
APQB的周长最小
解：
作点A关于直线0M的对称点作点B关于直线
ON的对称点B',连接A'B'交0M于P,交ON于Q,则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的
最小值即为线段AB和的长度之和；
理由：
AB长为左值，由基本模型将PA转化为PA；将
QB转化为QB',当A'、P、Q、B'四点共线时，
PA'+PQ+QB'的值最小，即PA+PQ+QB的值最小.
已知：
如图，直线m〃n,A、B分别为m上方和n下方的泄点，（直线AB不与m垂直）
要求：
在m、n之间求作垂线段PQ,使得AP+PQ+BQ最小.
分析：
PQ为怎值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使
P、Q“接头”，转化为基本模型
解：
如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A',使得AA'二PQ,连接A'B交直线n于点
6.
Q,过点Q作PQ丄n,交直线m于点P,线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小.
理由：
易知四边形QPAA'为平行四边形，则QA‘=PA,
当B、Q、Af三点共线时，QAZ+BQ最小，即
AP+BQ最小，PQ长为立值.此时AP+PQ-BQ最小.
已知：
如图，左点A.B分布于直线1两侧，长度为a
（a为左值）的线段PQ在1上移动（P在Q左边）要求：
确定PQ的位苣，使得AP+PQ-HJB最小分析：
PQ为泄值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，
使P、Q“接头”，转化为基本模型
解：
将点A沿着平行于1的方向，向右移至使
AA'=PQ二a,连接A爼交直线1于点Q,在1上截取PQ二a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时
AP+PQ+QB的最小值为A3+PQ,即A3-a
理由：
易知四边形APQA'为平行四边形，则PA二QA',
当A：
Q.B三点共线时,QA'+QB最小,即PA+QB
最小，又PQ长为左值此时PA+PQ+QB值最小.
7.已知：
如图，定点A.B分布于直线1的同侧，长度a
RG为定值）的线段PQ在1上移动（P在Q左边）
A要求：
确左PQ的位置，使得四边形APQB周长最小
1分析：
AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A点
关于1的对称点，转化为上述模型3
解：
作A点关于1的对称点AS将点A"沿着平行于14/
|/的方向，向右移至A7使连接A"B
pA
p71交1于Q，在1上截取QPp（P在Q左边），线段
\//
——-A/ePQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为
A~B+AB+PQ,即A笫+AB+a
典型例题2-1
如图，在矩形ABCD中，AB二10,BC二5,若点M、N分别是线段AC.°
AB上的两个动点，则BM^MN的最小值为・
【分析】符合拓展模型2的特征，作点B关于AC的对称点E,再过点E作AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN的最小值，借助等而积法和相似可求其长度.
【解答】作点B关于AC的对称点E,再过点E作E7丄AB于N,则BMT2EH+MN,
其最小值即E7长：
TAB二10,BC二5,
•••QQAF+Bd二
易知AABCs△ENB,.••坐代入数拯解得EN二8・
ENBE
即BM+MN的最小值为8.
【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据左理、公理连线或作垂线；可作
立点或动点关于左直线的对称点，有些题作立点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.
典型例题2-2
如图，ZA0B二60°，点P是ZAOB内的左点且Op£,点M、N分别
是射线OA、OB上异于点0的动点，则周长的最小值是（）
A.込⑥B.宓3C.6D.3
22
【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于OA、OB的对称点C、
D,连接CD分别交OA、OB于M、N,此时APyN周长最小，英值为CD长；根据对称性连接OC、OD,分析条件知AOCD是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高,易求底边CD.
【解答】作P点分别关于0A、0B的对称点C、D.连接CD分别交0A、0B于M、N,如图,
则MP=MC.NP二ND,0P二0D二0C二岛，ZB0P二ZBOD,ZA0P二ZA0C,
•••PN+PM+MN二ND+MN+NC二DC,ZCOD二ZBOP+ZBOD+Z
A0P+ZA0C二2ZA0B二120°,
•••此时△PMN周长最小，作0H丄CD于H,
则CH二DH,VZOCH=30°,.••。
也心二ML
22
CH=V53H二色，•••CD二2CH二3・
2
即APM?
；周长的最小值是3：
故选：
D.
【小结】根拯对称的性质，发现AOCD是顶角为120°的
等腰三角形，是解题的关键，也是难点.
典型例题2-3
如图，已知平行四边形ABCO,以点0为原点，0C所在的直
线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D,AD二2,006,
ZA二60°,线段EF所在的直线为0D的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM丄x轴于点M点，点E与E'关于x轴对称，连接BP.E‘
（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为:
（2）当BP+PM+ME'的长度最小时，请求岀点P的坐标.
【分析】
（1）解直角三角形求出OD,BD的长即可解决:
（2）符合“搭桥模型”的特征：
首先证明四边形OPME'是平行四边形，可得0P二EH,
PM是定值,PB+MT=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME'的长度最小，此时P点为
直线0B与EF的交点，结合0B的解析式可得P点坐标:
【解答】
（1）在RtAAD0中，VZA=60°,AD二2,/.0D=2nan60°二2馅，AA（-2,2岛），•••四边形ABCO是平行四边形，•••AB二0C二6,•••DB=6・2=4,AB（4,2並）
（2）如图,连接OP.VEF垂直平分线段OD,PM丄0C,AZPE0=ZE0M=ZPM0=90o,二四边形OHPE是矩形，APM=0E=V3>TOE二0E‘，APM=OEr,PH〃OE‘，•••四边形OPMEZ是平行四边形，
•••0P二EH,TPH是龙值，APB-ME,二OP+PB的值最小时，BP+PM+MEr的长度最小,
•••当0、P、B共线时，BP+PM+ME'的长度最小，•••直线0B的解析式为y二唾x,
2
•••P（2,V3）.
【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边
形）的方法，转化为基本模型.
•••所求抛物线的解析式为y-
（3）只需AF+CE最短，抛物线尸-的对称轴为x=l,
将点A向上平移至A：
（-2,1）,则AF二A：
E,作儿关于对称轴x二1的对称点
A：
（4,1）,连接A：
C,A：
C与对称轴交于点E,E为所求，可求得A：
C的解析式
【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线S其中，作对称和平移的顺序可互换.
变式训练2-1
几何模型：
条件：
如图1,A,B是直线1同旁的两个定点.
问题：
在直线1上确泄一点P，使PA+PB的值最小.
方法：
作点A关于直线1的对称点A',连接A'B交1于点P,即为所求.（不必证明）模型应用：
（1）如图2,已知平而直角坐标系中两赵点A（0>-1）和B（2,-1）,P为x轴上一动
点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，此时PA+PB二.
（2）如图3,正方形ABCD的边长为4,E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD,由
正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是.
（3）如图4,在菱形ABCD中，AB二10,ZDAB二60°,P是对角线AC上一动点，E,F分别
是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是.
（4）
如图5,在菱形ABCD中，AB二6,ZB二60°，点G是边CD边的中点，点E・F分别是
变式训练2-2
如图，矩形ABCD中，AD二15,AB二10,E为AB边上一点，且
DE二2AE,连接CE与对角线BD交于F：
若P、Q分别为AB边
和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF：
则四边形EPQF周长
的最小值是•
变式训练2-3
如图,已知直线L.1=之间的距离为&点P到直线h的
离为6,点Q到直线1=的距离为4,PQ二4｛和，在直线1,上有一动
点A,直线花上有一动点B,满足AB丄1：
且PA+AB+BQ最小，此时
PA+BQ二.
变式训练2-4
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边0A在y轴的正半轴上，0C在x轴的正半轴上，0A二AB二2,0C二3,过点B作BD丄BC,交0A于点D.将ZDBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过
（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ二1,要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标.
中考真题
■丿
1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？
小聪以街道为X轴，建立了如图所示的平而直角坐标系，A点坐标为（0,3）,B点坐标为（6,5）,则A.B两点到奶站距离之和的最小值是・
2•如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5）,D是0B的中点，
E是OC上的一点，当厶
ADE的周长最小时，点E的坐标是（
）
A.（0.-4）B.（0.
旦）
C.（0,2）
D.（0,10）
3
3
3
3•如图，在矩形ABCD中，AB二5,
AD=3,
动点P满足Sapab=1S矩形S
3
则点P到A、B两点距
离之和PA+PB的最小值为（
）
A.V29B・V34
C.5^2
D.V41
4•已知抛物线尸丄€+1具有如下性质：
该抛物线上任意一点到泄点F（0,2）的距离与到x
4
轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（術，3）,P是抛物线y丄x：
+l上一个动点，4
则APME周长的最小值是（）
5•如图，点A（a,3）,B（b,1）都在双曲线y二色上，点C,D,分别是x轴，y轴上的动点,
x
则四边形ABCD周长的最小值为（）
A・5\/2B.6^2C.2VT0+2V2D・8V2
6•如图，在RtZkABC中,ZC=90°,AC二3,BC=4,D、E分别是AB、BC边上的动点,则AE+DE
的最小值为（）
A.坐B.空C.5
55
7•如图，RtAABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC二6\胚，点D,E分别是边BC,AC±的动点,
则DA+DE的最小值为8•如图,等腰AABC的底边BC二20,面积为120,点F在边BC上，且BF二3FC,EG是腰AC的
垂直平分线，若点D在EG上运动，则ACDF周长的最小值为・
9•如图，菱形ABCD的边长为6,ZABC二120°,M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC
上的动点，当PB+PH的值最小时，PM的长是（）
10.如图，在RtAABC中，ZACB二90°,AC二6,BC二8,AD平分ZCAB交BC于D点，E,F分别是AD,AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）
A.聖B.些C.里D.6
345
11•如图，在平而直角坐标系中，反比例函数y上（x>0）的图象与边长是6的正方形0ABC
x
的两边AB,BC分别相交于N两点.ZkOMY的而积为10.若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（）
12•如图,ZkABC中,AC二BC二2,AB=1,将它沿AB翻折得到△ABD,的形状是_的最小值是
】3.如图，己知抛物线呼沁血与直线y寺七交于A,B两点,
轴于C、D两点，连接AC、BC,已知A（0,3）,C（-3,0）.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴1上找一点使IMB-NDI的值最大，并求岀这个最大值：
（3）
点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA,过点P作PQ丄PA交y轴于点Q,问：
是否存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与AABC相似？
若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
14•如图，在四边形ABCD中，ZB二ZC二90°,AB>CD,AD二AB+CD・
（1）用尺规作ZADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE（保留作图痕迹，不写作法）:
（2）在
（1）的条件下，
1证明：
AE丄DE：
2若CD二2,AB=4,点氐N分别是AE,AB上的动点，求BH+MN的最小值.
15•如图，抛物线y=ax：
+bx+c（aHO）经过点A（-b0）,B（3,0）,C（0,3）三点.
（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标：
（2）连接AC、BC,N为抛物线上的点且在第四象限，当Sza二S.g时，求N点的坐标：
（3）在
（2）问的条件下，过点C作直线l〃x轴，动点P（m,3）在直线1上，动点Q（m,0）在x轴上,连接PM、PQ、NQ,当m为何值时,PM+PQ+QN的和最小，并求岀PM+PQ+QN和的最小值.
16•如图，直线y二5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数y=ax：
+4x+c的图象交X轴于另一点B.
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC,点N是线段BC上的动点，作ND丄x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值：
（3）若点H为二次函数y=ax:
+4x+c图象的顶点，点M（4,m）是该二次函数图象上一点,
在x轴、y轴上分别找点F,E,使四边形HEFH的周长最小，求岀点F,E的坐标.
17.如图1,已知抛物线yd（x-2）（x+a）（a>0）与x轴从左至右交于A,B两点，与ya
轴交于点C.
（1）若抛物线过点T（b・色），求抛物线的解析式；
4
（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D,使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△
ABC相似？
若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.
（3）
如图2,在
（1）的条件下，点P的坐标为（-1,1）,点Q（6,t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN二2,问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？
请直接写出符合条件的点H的坐标.
18.如图，对称轴为直线x二2的抛物线经过A（-1,0）,C（0,5）两点，与x轴另一交点为B.已知M（0,1）,E（a,0）,F（a+1,0）,P是第一象限内抛物线上的动点.
（1）求此抛物线的解析式：
（2）当a二1时，求四边形MEFP的而积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若APCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？
请说明理由.
19•探究：
小明在求同一坐标轴上两点间的距藹时发现，对于平而直角坐标系内任总两点P,（X-y,）,P=（x：
y=）,可通过构谴直角三角形利用图1得到结论：
2_.）2+&2_#]）2他还利用图2证明了线段PP的中点P（x,y）P的坐标
拓展：
（3）如图3,点P（2,n）在函数丫厶（x$0）的图象0L与x轴正半轴夹角的平
3
分线上，请在0L、x轴上分别找岀点E、F,使APEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值.
20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（-4,0）、B（0,3）,抛物线y=-x=+2x+l与y轴交于点C.
（1）求直线y二kx+b的函数解析式；
（2）若点P（x,y）是抛物线y二-x:
+2x+l上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y二-f+2x+l的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最
21.如图①，在平而直角坐标系中，OA二6,以0A为边长作等边三角形ABC,使得BC〃OA,且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上.
（1）求这条抛物线的解析式：
（2）在图①中，假设一动点P从点B岀发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从0点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t,使得PQ丄AB,若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）
在BC边上取两点E、F,使BE二EF二1个单位，试在AB边上找一点G,在抛物线的对称轴上找一点H,使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值.
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