将军饮马问题的11个模型及例题.docx

1、将军饮马问题的11个模型及例题sss3csAB.即 AP+BPAP+BPP为直线AB与直线1的交点时，PA+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线1的同侧要求：在直线1上找一点P，使得PA+PB值最小（或ZkABP的周长最小）解：作点A关于直线1的对称点A连接A爭交1于P, 点P即为所求：理由：根据轴对称的性质知直线1为线段AT的中垂线， 由中垂线的性质得：PA二PA,要使PA+PB最小，则 需PA4PB值最小，从而转化为模型1.3.已知：如图，定点A、B分布在定直线1的同侧（A、B两A 点到1的距离不相等） 1 要求：在直线1上找一点P,使I PA-PB I的值最大解：连接BA并延

2、长，交直线1于点P,点P即为所求:理由：此时丨PA-PB |二AB,在1上任取异于点P的一点P 连接AP、BP,由三角形的三边关系知I PA-PB | TOE二0E，APM=OEr , PHOE， 四边形OPMEZ是平行四边形，0P二EH, TPH是龙值，APB-ME,二OP+PB的值最小时，BP+PM+MEr的长度最小,当0、P、B共线时，BP+PM+ME的长度最小，直线0B的解析式为y二唾x,2P （2, V3）.【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.所求抛物线的解析式为y-（3）只需AF+CE最短，抛物线尸- 的对称轴

3、为x=l,将点A向上平移至A： （ -2, 1）,则AF二A：E,作儿关于对称轴x二1的对称点A： （4, 1）,连接A：C, A：C与对称轴交于点E, E为所求，可求得A：C的解析式【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线S其中，作对称和平移的顺序可互换.变式训练2-1几何模型：条件：如图1, A, B是直线1同旁的两个定点.问题：在直线1上确泄一点P，使PA+PB的值最小.方法：作点A关于直线1的对称点A,连接A B交1于点P,即为所求.(不必证明) 模型应用：(1)如图2,已知平而直角坐标系中两赵点A (0 -1)和B(2, -1), P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P的

4、横坐标是 ，此时PA+PB二 .(2)如图3,正方形ABCD的边长为4, E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD,由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小 值是 .(3)如图4,在菱形ABCD中，AB二10, ZDAB二60 , P是对角线AC上一动点，E, F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是 .(4)如图5,在菱形ABCD中，AB二6, ZB二60，点G是边CD边的中点，点EF分别是变式训练2-2如图，矩形ABCD中，AD二15, AB二10, E为AB边上一点，且DE二2AE,连接CE与对角线BD交于F：若P、Q分别为AB边

5、和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF：则四边形EPQF周长的最小值是 变式训练2-3如图,已知直线L. 1=之间的距离为&点P到直线h的离为6,点Q到直线1=的距离为4, PQ二4和，在直线1,上有一动点A,直线花上有一动点B,满足AB丄1：,且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ 二 .变式训练2-4如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边0A在y轴的正半轴上，0C在 x轴的正半轴上，0A二AB二2, 0C二3,过点B作BD丄BC,交0A于点D.将ZDBC绕点B按顺 时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.（1） 求经过A、B、C三点的抛物线的解析

6、式；（2） 当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3） 在抛物线的对称轴上取两点P、Q （点Q在点P的上方），且PQ二1,要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标.中考真题 丿1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它 的距离之和最短？小聪以街道为X轴，建立了如图所示的平而直角坐标系，A点坐标为（0, 3）, B点坐标为（6, 5）,则A. B两点到奶站距离之和的最小值是 2如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4, 5 ）, D是0B的中点，E是OC上的一点，当厶ADE的周长最小时，点E的坐标是（)A. (0. -4) B. (0

7、.旦）C. (0, 2)D. (0, 10 )3333如图，在矩形ABCD中，AB二5,AD=3,动点P满足Sapab=1S矩形S3,则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（)A. V29 B V34C. 52D. V414已知抛物线尸丄+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到泄点F（0, 2）的距离与到x4轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（術，3）, P是抛物线y丄x：+l上一个动点， 4则APME周长的最小值是（ ）5如图，点A （a, 3）, B （b, 1）都在双曲线y二色上，点C, D,分别是x轴，y轴上的动点,x则四边形ABCD周长的最小值为( )A 5/2 B. 62

8、C. 2VT0 + 2V2 D 8V26如图，在 RtZkABC 中,ZC=90 , AC二3, BC=4, D、E 分别是 AB、BC 边上的动点,则 AE+DE的最小值为（ ）A.坐 B.空 C. 55 57如图，RtAABC 中，ZBAC=90 , AB=3, AC二6胚，点 D, E 分别是边 BC, AC 的动点,则DA+DE的最小值为 8如图,等腰AABC的底边BC二20,面积为120,点F在边BC上，且BF二3FC, EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则ACDF周长的最小值为 9如图，菱形ABCD的边长为6, ZABC二120 , M是BC边的一个三等分点，P是对角线

9、AC上的动点，当PB+PH的值最小时，PM的长是（ ）10.如图，在 RtAABC 中，ZACB二90 , AC二6, BC二8, AD 平分ZCAB 交 BC 于 D 点，E, F 分 别是AD, AC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）A.聖 B.些 C.里 D. 63 4 511 如图，在平而直角坐标系中，反比例函数y上（x0）的图象与边长是6的正方形0ABCx的两边AB, BC分别相交于N两点.ZkOMY的而积为10.若动点P在x轴上，则PM+PN 的最小值是（ ）12如图,ZkABC中,AC二BC二2, AB=1,将它沿AB翻折得到ABD, 的形状是_ 的最小值是】3.如图，己知抛

10、物线呼沁血与直线y寺七交于A, B两点,轴于 C、D 两点，连接 AC、BC,已知 A(0, 3), C ( - 3, 0).(1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴1上找一点使IMB-NDI的值最大，并求岀这个最大值：(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA,过点P作PQ丄PA交y轴于点Q,问：是否 存在点P,使得以A, P, Q为顶点的三角形与AABC相似？若存在，请求出所有符合条 件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.14如图，在四边形 ABCD 中，ZB二ZC二90 , ABCD, AD二AB+CD(1)用尺规作ZADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE (保留作图痕迹，不

11、写作法):(2)在(1)的条件下，1证明：AE丄DE：2若CD二2, AB=4,点氐N分别是AE, AB上的动点，求BH+MN的最小值.15如图，抛物线 y=ax：+bx+c (aHO)经过点 A ( - b 0), B (3, 0), C (0, 3)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标：(2)连接AC、BC, N为抛物线上的点且在第四象限，当Sza二S.g时，求N点的坐标：(3)在(2)问的条件下，过点C作直线lx轴，动点P(m, 3)在直线1上，动点Q (m, 0)在x轴上,连接PM、PQ、NQ,当m为何值时,PM+PQ+QN的和最小，并求岀PM+PQ+QN 和的最小值.16如图，

12、直线y二5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A, C两点的二次函数y=ax：+4x+c 的图象交X轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC,点N是线段BC上的动点，作ND丄x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND 长度的最大值：(3)若点H为二次函数y=ax:+4x+c图象的顶点，点M (4, m)是该二次函数图象上一点,在x轴、y轴上分别找点F, E,使四边形HEFH的周长最小，求岀点F, E的坐标.17.如图1,已知抛物线yd (x - 2) (x+a) (a0)与x轴从左至右交于A, B两点，与y a轴交于点C.(1)若抛物线过点T (b色)，求抛物线的解析式；4(2)在第

13、二象限内的抛物线上是否存在点D,使得以A、B、D三点为顶点的三角形与 ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.(3)如图2,在(1)的条件下，点P的坐标为(-1, 1),点Q (6, t)是抛物线上的点， 在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN二2,问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM 的周长最小？请直接写出符合条件的点H的坐标.18.如图，对称轴为直线x二2的抛物线经过A ( - 1, 0), C (0, 5)两点，与x轴另一交点 为B.已知M (0, 1), E (a, 0), F (a+1, 0), P是第一象限内抛物线上的动点.(1)求此抛物线的解析式：(2)当a二1

14、时，求四边形MEFP的而积的最大值，并求此时点P的坐标；(3)若APCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说 明理由.19探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距藹时发现，对于平而直角坐标系内任总两点P, (X- y, ), P= (x：, y=),可通过构谴直角三角形利用图1得到结论：2_.)2+&2_#)2他还利用图2证明了线段PP的中点P(x, y) P的坐标拓展：(3)如图3,点P (2, n)在函数丫厶(x$0)的图象0L与x轴正半轴夹角的平3分线上，请在0L、x轴上分别找岀点E、F,使APEF的周长最小，简要叙述作图 方法，并求出周长的最小值.20.如

15、图，直线y=kx+b (k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A ( -4, 0)、B (0, 3),抛 物线y= - x=+2x+l与y轴交于点C.(1)求直线y二kx+b的函数解析式；(2)若点P (x, y)是抛物线y二-x:+2x+l上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d, 求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3)若点E在抛物线y二-f+2x+l的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最21.如图，在平而直角坐标系中，OA二6,以0A为边长作等边三角形ABC,使得BCOA,且 点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上.(1)求这条抛物线的解析式：(2)在图中，假设一动点P从点B岀发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动， 同时另一动点Q从0点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P 运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t,使得 PQ丄AB,若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；(3)在BC边上取两点E、F,使BE二EF二1个单位，试在AB边上找一点G,在抛物线的对称 轴上找一点H,使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值.本人所著初中几何模型与解题通法已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买 特色：1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴