高考数学考点突破导数及其应用与定积分导数与函数的单调性.docx

高考数学考点突破导数及其应用与定积分导数与函数的单调性.docx

《高考数学考点突破导数及其应用与定积分导数与函数的单调性.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学考点突破导数及其应用与定积分导数与函数的单调性.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学考点突破导数及其应用与定积分导数与函数的单调性

2019年高考数学考点突破——导数及其应用与定积分：

导数与函数的单调性

当a＝0时，因为f′（x）＝3x2≥0，所以函数f（x）

在（－∞，＋∞）上单调递增；

当a＞0时，x∈

∪（0，＋∞）时，f′（x）＞0，

x∈

时，f′（x）＜0，

所以函数f（x）在

，（0，＋∞）上单调递增，在

上单调递减；

当a＜0时，x∈（－∞，0）∪

时，f′（x）＞0，

x∈

时，f′（x）＜0，

所以函数f（x）在（－∞，0），

上单调递增，在

上单调递减.

考点二、求函数的单调区间

【例2】已知函数f（x）＝

－alnx，a∈R，求f（x）的单调区间．

[解析]因为f（x）＝

－alnx，所以x∈（0，＋∞），

f′（x）＝x－

＝

.

（1）当a≤0时，f′（x）>0，所以f（x）在（0，＋∞）上为单调递增函数.

（2）当a>0时，f′（x）＝

，则有

①当x∈（0，

）时，f′（x）<0，所以f（x）的单调递减区间为（0，

）.

②当x∈（

，＋∞）时，f′（x）>0，所以f（x）的单调递增区间为（

，＋∞）.

综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，＋∞），无单调递减区间.

当a>0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，

），单调递增区间为（

，＋∞）.

【类题通法】

求函数单调区间的步骤：

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求f′（x）；

（3）在定义域内解不等式f′（x）＞0，得单调递增区间；

（4）在定义域内解不等式f′（x）＜0，得单调递减区间．

【对点训练】

已知函数f（x）＝ax2－a－lnx，a∈R，求f（x）的单调区间．

[解析]由题意得f′（x）＝2ax－

＝

（x>0）.

当a≤0时，f′（x）<0，f（x）在（0，＋∞）内单调递减.

当a>0时，由f′（x）＝0有x＝

，

当x∈

时，f′（x）<0，所以f（x）的单调递减区间为

.

当x∈

时，f′（x）>0，所以f（x）的单调递增区间为

.

综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间.

当a>0时，函数f（x）的单调递减区间为

，单调递增区间为

.

考点三、已知函数的单调性求参数

【例3】已知函数f（x）＝x3－ax－1.若f（x）在R上为增函数，求实数a的取值范围．

[解析]因为f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，

所以f′（x）＝3x2－a≥0在（－∞，＋∞）上恒成立，

即a≤3x2对x∈R恒成立.

因为3x2≥0，所以只需a≤0.

又因为a＝0时，f′（x）＝3x2≥0，f（x）＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，

即实数a的取值范围为（－∞，0].

【变式1】函数f（x）不变，若f（x）在区间（1，＋∞）上为增函数，求a的取值范围．

[解析]因为f′（x）＝3x2－a，且f（x）在区间（1，＋∞）上为增函数，

所以f′（x）≥0在（1，＋∞）上恒成立，

即3x2－a≥0在（1，＋∞）上恒成立，

所以a≤3x2在（1，＋∞）上恒成立，

所以a≤3，即a的取值范围为（－∞，3].

【变式2】函数f（x）不变，若f（x）在区间（－1,1）上为减函数，试求a的取值范围．

[解析]由f′（x）＝3x2－a≤0在（－1,1）上恒成立，得a≥3x2在（－1,1）上恒成立.

因为－1＜x＜1，

所以3x2＜3，

所以a≥3.

即当a的取值范围为[3，＋∞）时，f（x）在（－1,1）上为减函数.

【变式3】函数f（x）不变，若f（x）在区间（－1,1）上不单调，求a的取值范围．

[解析]∵f（x）＝x3－ax－1，∴f′（x）＝3x2－a.

由f′（x）＝0，得x＝±

（a≥0）.

∵f（x）在区间（－1,1）上不单调，

∴0＜

＜1，得0＜a＜3，

即a的取值范围为（0,3）.

【类题通法】

根据函数单调性求参数的一般方法

（1）利用集合间的包含关系处理：

y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集．

（2）转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′（x）≥0；若函数单调递减，则f′（x）≤0”来求解．

【对点训练】

1．若函数f（x）＝x－

sin2x＋asinx在（－∞，＋∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）

A．[－1，1]　　　　　　B．

C．

D．

[答案]C

[解析]取a＝－1，则f（x）＝x－

sin2x－sinx，f′（x）＝1－

cos2x－cosx，但f′（0）＝1－

－1＝－

＜0，不具备在（－∞，＋∞）单调递增的条件，故排除A，B，D.故选C.

2．已知a∈R，若函数f（x）＝（－x2＋ax）ex（x∈R，e为自然对数的底数）在（－1，1）上单调递增，求a的取值范围.

[解析]因为函数f（x）在（－1，1）上单调递增，

所以f′（x）≥0对x∈（－1，1）都成立.

因为f′（x）＝（－2x＋a）ex＋（－x2＋ax）ex＝[－x2＋（a－2）x＋a]ex，

所以[－x2＋（a－2）x＋a]ex≥0对x∈（－1，1）都成立.

因为ex＞0，

所以－x2＋（a－2）x＋a≥0，

则a≥

＝

＝（x＋1）－

对x∈（－1，1）都成立.

令g（x）＝（x＋1）－

，则g′（x）＝1＋

＞0，

所以g（x）＝（x＋1）－

在（－1，1）上单调递增，

所以g（x）＜g

（1）＝（1＋1）－

＝

，

所以a≥

，又当a＝

时，当且仅当x＝0时，f′（x）＝0，

所以a的取值范围是

.

予少家汉东，汉东僻陋无学者，吾家又贫无藏书。

州南有大姓李氏者，其于尧辅颇好学。

予为儿童时，多游其家，见有弊筐贮故书在壁间，发而视之，得唐《昌黎先生文集》六卷，脱落颠倒无次序，因乞李氏以归。

读之，见其言深厚而雄博，然予犹少，未能悉究其义．徒见其浩然无涯，若可爱。

是时天下学者杨、刘之作，号为时文，能者取科第，擅名声，以夸荣当世，未尝有道韩文者。

予亦方举进士，以礼部诗赋为事。

年十有七试于州，为有司所黜。

因取所藏韩氏之文复阅之，则喟然叹曰：

学者当至于是而止尔！

因怪时人之不道，而顾己亦未暇学，徒时时独念于予心，以谓方从进士干禄以养亲，苟得禄矣，当尽力于斯文，以偿其素志。