高考数学考点突破导数及其应用与定积分导数与函数的单调性.docx
《高考数学考点突破导数及其应用与定积分导数与函数的单调性.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学考点突破导数及其应用与定积分导数与函数的单调性.docx(9页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![高考数学考点突破导数及其应用与定积分导数与函数的单调性.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-11/24/3e5ecb94-a6c7-49ff-991a-a9f191cdc53a/3e5ecb94-a6c7-49ff-991a-a9f191cdc53a1.gif)
高考数学考点突破导数及其应用与定积分导数与函数的单调性
2019年高考数学考点突破——导数及其应用与定积分:
导数与函数的单调性
当a=0时,因为f′(x)=3x2≥0,所以函数f(x)
在(-∞,+∞)上单调递增;
当a>0时,x∈
∪(0,+∞)时,f′(x)>0,
x∈
时,f′(x)<0,
所以函数f(x)在
,(0,+∞)上单调递增,在
上单调递减;
当a<0时,x∈(-∞,0)∪
时,f′(x)>0,
x∈
时,f′(x)<0,
所以函数f(x)在(-∞,0),
上单调递增,在
上单调递减.
考点二、求函数的单调区间
【例2】已知函数f(x)=
-alnx,a∈R,求f(x)的单调区间.
[解析]因为f(x)=
-alnx,所以x∈(0,+∞),
f′(x)=x-
=
.
(1)当a≤0时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.
(2)当a>0时,f′(x)=
,则有
①当x∈(0,
)时,f′(x)<0,所以f(x)的单调递减区间为(0,
).
②当x∈(
,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为(
,+∞).
综上所述,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.
当a>0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,
),单调递增区间为(
,+∞).
【类题通法】
求函数单调区间的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求f′(x);
(3)在定义域内解不等式f′(x)>0,得单调递增区间;
(4)在定义域内解不等式f′(x)<0,得单调递减区间.
【对点训练】
已知函数f(x)=ax2-a-lnx,a∈R,求f(x)的单调区间.
[解析]由题意得f′(x)=2ax-
=
(x>0).
当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.
当a>0时,由f′(x)=0有x=
,
当x∈
时,f′(x)<0,所以f(x)的单调递减区间为
.
当x∈
时,f′(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为
.
综上所述,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间.
当a>0时,函数f(x)的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
考点三、已知函数的单调性求参数
【例3】已知函数f(x)=x3-ax-1.若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.
[解析]因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,
所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立.
因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0,
即实数a的取值范围为(-∞,0].
【变式1】函数f(x)不变,若f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
[解析]因为f′(x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,
所以f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,
即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,
所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,
所以a≤3,即a的取值范围为(-∞,3].
【变式2】函数f(x)不变,若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,试求a的取值范围.
[解析]由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,得a≥3x2在(-1,1)上恒成立.
因为-1<x<1,
所以3x2<3,
所以a≥3.
即当a的取值范围为[3,+∞)时,f(x)在(-1,1)上为减函数.
【变式3】函数f(x)不变,若f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
[解析]∵f(x)=x3-ax-1,∴f′(x)=3x2-a.
由f′(x)=0,得x=±
(a≥0).
∵f(x)在区间(-1,1)上不单调,
∴0<
<1,得0<a<3,
即a的取值范围为(0,3).
【类题通法】
根据函数单调性求参数的一般方法
(1)利用集合间的包含关系处理:
y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f′(x)≥0;若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解.
【对点训练】
1.若函数f(x)=x-
sin2x+asinx在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )
A.[-1,1] B.
C.
D.
[答案]C
[解析]取a=-1,则f(x)=x-
sin2x-sinx,f′(x)=1-
cos2x-cosx,但f′(0)=1-
-1=-
<0,不具备在(-∞,+∞)单调递增的条件,故排除A,B,D.故选C.
2.已知a∈R,若函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围.
[解析]因为函数f(x)在(-1,1)上单调递增,
所以f′(x)≥0对x∈(-1,1)都成立.
因为f′(x)=(-2x+a)ex+(-x2+ax)ex=[-x2+(a-2)x+a]ex,
所以[-x2+(a-2)x+a]ex≥0对x∈(-1,1)都成立.
因为ex>0,
所以-x2+(a-2)x+a≥0,
则a≥
=
=(x+1)-
对x∈(-1,1)都成立.
令g(x)=(x+1)-
,则g′(x)=1+
>0,
所以g(x)=(x+1)-
在(-1,1)上单调递增,
所以g(x)<g
(1)=(1+1)-
=
,
所以a≥
,又当a=
时,当且仅当x=0时,f′(x)=0,
所以a的取值范围是
.
予少家汉东,汉东僻陋无学者,吾家又贫无藏书。
州南有大姓李氏者,其于尧辅颇好学。
予为儿童时,多游其家,见有弊筐贮故书在壁间,发而视之,得唐《昌黎先生文集》六卷,脱落颠倒无次序,因乞李氏以归。
读之,见其言深厚而雄博,然予犹少,未能悉究其义.徒见其浩然无涯,若可爱。
是时天下学者杨、刘之作,号为时文,能者取科第,擅名声,以夸荣当世,未尝有道韩文者。
予亦方举进士,以礼部诗赋为事。
年十有七试于州,为有司所黜。
因取所藏韩氏之文复阅之,则喟然叹曰:
学者当至于是而止尔!
因怪时人之不道,而顾己亦未暇学,徒时时独念于予心,以谓方从进士干禄以养亲,苟得禄矣,当尽力于斯文,以偿其素志。