1、高考数学考点突破导数及其应用与定积分导数与函数的单调性2019年高考数学考点突破导数及其应用与定积分:导数与函数的单调性当a0时,因为f(x)3x20,所以函数f(x)在(,)上单调递增;当a0时,x(0,)时,f(x)0,x时,f(x)0,所以函数f(x)在,(0,)上单调递增,在上单调递减;当a0时,x(,0)时,f(x)0,x时,f(x)0,所以函数f(x)在(,0),上单调递增,在上单调递减.考点二、求函数的单调区间【例2】已知函数f(x)aln x,aR,求f(x)的单调区间解析 因为f(x)aln x,所以x(0,),f(x)x.(1)当a0时,f(x)0,所以f(x)在(0,)上
2、为单调递增函数.(2)当a0时,f(x),则有当x(0,)时,f(x)0,所以f(x)的单调递增区间为(,).综上所述,当a0时,f(x)的单调递增区间为(0,),无单调递减区间.当a0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,).【类题通法】求函数单调区间的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f(x);(3)在定义域内解不等式f(x)0,得单调递增区间;(4)在定义域内解不等式f(x)0,得单调递减区间【对点训练】已知函数f(x)ax2aln x,aR,求f(x)的单调区间解析 由题意得f(x)2ax(x0).当a0时,f(x)0时,由f(x)0有x,当x时,f(
3、x)0,所以f(x)的单调递增区间为.综上所述,当a0时,f(x)的单调递减区间为(0,),无单调递增区间.当a0时,函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.考点三、已知函数的单调性求参数【例3】已知函数f(x)x3ax1.若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围解析 因为f(x)在(,)上是增函数,所以f(x)3x2a0在(,)上恒成立,即a3x2对xR恒成立.因为3x20,所以只需a0.又因为a0时,f(x)3x20,f(x)x31在R上是增函数,所以a0,即实数a的取值范围为(,0.【变式1】函数f(x)不变,若f(x)在区间(1,)上为增函数,求a的取值范围解析 因为f(x)
4、3x2a,且f(x)在区间(1,)上为增函数,所以f(x)0在(1,)上恒成立,即3x2a0在(1,)上恒成立,所以a3x2在(1,)上恒成立,所以a3,即a的取值范围为(,3.【变式2】函数f(x)不变,若f(x)在区间(1,1)上为减函数,试求a的取值范围解析 由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立,得a3x2在(1,1)上恒成立.因为1x1,所以3x23,所以a3.即当a的取值范围为3,)时,f(x)在(1,1)上为减函数.【变式3】函数f(x)不变,若f(x)在区间(1,1)上不单调,求a的取值范围解析 f(x)x3ax1,f(x)3x2a.由f(x)0,得x(a0).f(x)在区间
5、(1,1)上不单调,01,得0a3,即a的取值范围为(0,3).【类题通法】根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理:yf(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f(x)0;若函数单调递减,则f(x)0”来求解【对点训练】1若函数f(x)xsin 2xasin x在(,)单调递增,则a的取值范围是()A1,1 BC D答案 C解析 取a1,则f(x)xsin 2xsin x,f(x)1cos 2xcos x,但f(0)110,不具备在(,)单调递增的条件,故排除A,B,D.故选C.2已知aR,若函数
6、f(x)(x2ax)ex(xR,e为自然对数的底数)在(1,1)上单调递增,求a的取值范围.解析 因为函数f(x)在(1,1)上单调递增,所以f(x)0对x(1,1)都成立.因为f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex,所以x2(a2)xaex0对x(1,1)都成立.因为ex0,所以x2(a2)xa0,则a(x1)对x(1,1)都成立.令g(x)(x1),则g(x)10,所以g(x)(x1)在(1,1)上单调递增,所以g(x)g(1)(11),所以a,又当a时,当且仅当x0时,f(x)0,所以a的取值范围是.予少家汉东,汉东僻陋无学者,吾家又贫无藏书。州南有大姓李氏者,其于尧辅颇好学。予为儿童时,多游其家,见有弊筐贮故书在壁间,发而视之,得唐昌黎先生文集六卷,脱落颠倒无次序,因乞李氏以归。读之,见其言深厚而雄博,然予犹少,未能悉究其义徒见其浩然无涯,若可爱。 是时天下学者杨、刘之作,号为时文,能者取科第,擅名声,以夸荣当世,未尝有道韩文者。予亦方举进士,以礼部诗赋为事。年十有七试于州,为有司所黜。因取所藏韩氏之文复阅之,则喟然叹曰:学者当至于是而止尔!因怪时人之不道,而顾己亦未暇学,徒时时独念于予心,以谓方从进士干禄以养亲,苟得禄矣,当尽力于斯文,以偿其素志。
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