高考文科数学全国III卷含答案.docx
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高考文科数学全国III卷含答案
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
3i
1．设z3i，则z=（）
12i
A．2B．3C．2D．1
2．已知集合U1,2,3,4,5,6,7，A2,3,4,5，B2,3,6,7，则BeUA（）
A．1,6B．1,7C．6,7D．1,6,7
3．已知alog20.2,b20.2,c0.20.3，则（）
A．abcB．acbC．cabD．bca
5
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5
2
（51≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人
2
51
体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51．若某人满足上述两个黄金
2
分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）
sinxx
5．函数f（x）=2在[—π，π]的图像大致为（）
cosxx2
6．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，⋯，1000，从这些新
生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4
名学生中被抽到的是（）
A．8号学生B．
200号学生
C．616号学生
D．815号学生
7．tan255°=（）
A．－2－3B．
－2+3
C．2－3
D．2+3
8．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）b，则a与b的夹角为（）
πA．
6
π
B．
3
1
2πC．
3
5πD．
6
9．如图是求
1
21的程序框图，
21
2
图中空白框中应填入（）
则b=（）c
|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为（）
2
A．x2y21
22
B．x2y21
32
22
C．x2y21
43
2
D．xy21
54
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线y3（x2x）ex在点（0,0）处的切线方程为
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a11，S33，则S4=
4
15．函数f（x）sin（2x3π）3cosx的最小值为
2
16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离
均为3，那么P到平面ABC的距离为三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
60分。
17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
K2n（adbc）2．
（ab）（cd）（ac）（bd）
2
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
19．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：
MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
20．（12分）
已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：
f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈［0，π时］，f（x）≥ax，求a的取值范围．
21.（12分）
已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？
并说明理由．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．［选修4-4：
坐标系与参数方程］（10分）
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2cos3sin110．
1）求C和l的直角坐标方程；
2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
111222
（1）a2b2c2；
abc
II卷）
（2）（ab）3（bc）3（ca）324．
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国
文科数学
1.设集合Ax|x-1，Bx|x2，则AB（）
A.（1,）
B.（,2）
C.（1,2）
D.
2.设zi（2i），则z（）
A.12i
B.12i
C.12i
D.12i
3.已知向量a（2,3），b（3,2），则ab（）
A.2
B.2
C.52
D.50
4.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）
2
A.
3
3
B.
5
2
C.
5
1
D.
5
5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.（）甲：
我的成绩比乙高.
乙：
丙的成绩比我和甲的都高.丙：
我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）
A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
6.
f（x）（）
设f（x）为奇函数，且当x0时，f（x）ex1，则当x0时，A.ex1
B.ex1
C.ex1
D.ex1
7.设,为两个平面，则//的充要条件是（）
A.内有无数条直线与平行
B.内有两条相交直线与平行
C.,平行于同一条直线
D.
垂直于同一平面
A．
B.
C.
1
D.2
A.2
B.3
C.4
D.8
10.曲线y2sinxcosx在点（,1）处的切线方程为（）
A.xy10
B.2xy210
C.2xy210
D.xy10
11.已知（0,），2sin2cos21，则sin（）
2
A.
B.
C.
22
C:
x2y21（a0,b0）
12.设F为双曲线ab的右焦点，0为坐标原点，与圆xya交于P,Q两点，若PQOF,则C的离心率为:
（）
A.
B.3
C.2
D.5
二、填空题
2x3y60
13.若变量x,y满足约束条件xy30z3xy的最大值是y20则
14.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有
以OF为直径的圆
10个车次的正点
，则经停该站的高
率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99
铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
15.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinAacosB0，则B
16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由
两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.（本题第一空2分，第二空3分.）
三、解答题
17.如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
1）证明：
BE平面EB1C1
2）若AEAE1,AB3,求四棱锥EBB1C1C的体积.
18.已知an是各项均为正数的等比数列，a12,a32a216.
（1）求an的通项公式：
（2）设bnlog2an，求数列bn的前n项和.
19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组
0.20,0
0,0.20
0.20,0.40
0.40,0.60
0.60,0.80
企业数
2
24
53
14
7
1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）
附：
748.602.
22
xy
20.已知F1,F2是椭圆C：
221（a0,b0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐ab
标原点.
（1）若POF2为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
21.已知函数f（x）（x1）lnxx1.证明：
（1）f（x）存在唯一的极值点；
（2）f（x）0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
四、选做题（2选1）
22.在极坐标系中，O为极点，点M（0,0）（00）在曲线C:
=4sin上，直线l过点
A（4,0）且与OM垂直，垂足为P.
（1）当0时，求0及l的极坐标方程；
3
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23.
[选修4-5：
不等式选讲]
已知f（x）|xa|x|x2|（xa）
（1）当a1时，求不等式f（x）0的解集：
2）若x（,1）时，f（x）0，求a得取值范围
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学·参考答案
、选择题
二、填空题
三、解答题
17．解：
场服务满意的概率的估计值为0.8．
30
女顾客中对该商场服务满意的比率为0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率
的估计值为0.6．
2）K2
100（40203010）2
50507030
4.762．
17，故CH41717
由于4.7623.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异18．解：
（1）设an的公差为d．
由S9a5得a14d0．
由a3=4得a12d4．
于是a18,d2．
因此an的通项公式为an102n．
（2）由
（1）得a14d，故an（n5）d,Snn（n9）d.
2
2
由a10知d0，故Sn⋯an等价于n211n10,0，解得1≤n≤1．0
所以n的取值范围是{n|1剟n10,nN}．
19．解：
（1）连结B1C,ME.因为M，E分别为BB1,BC的中点，所以ME∥B1C，且
11
MEB1C.又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.
22
由题设知A1B1∥=DC，可得B1C∥=A1D，故ME∥=ND，因此四边形MNDE为平行四
边形，MN∥ED.又MN平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得DEBC，DEC1C，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到平面C1DE的距离，
由已知可得CE=1，C1C=4，所以C1E
20．解：
（1）设g（x）f（x），则g（x）cosxxsinx1,g（x）xcosx.
当x（0,π）时，g（x）0；当xπ,π时，g（x）0，所以g（x）在（0,π）单调递
222
π增，在π,π单调递减.增，在2,π单调递减.
π
又g（0）0,g0,g（π）2，故g（x）在（0,π）存在唯一零点.
2
所以f（x）在（0,π）存在唯一零点.
（2）由题设知f（π）⋯aπ,f（π）0，可得a≤0.
由
（1）知，f（x）在（0,π）只有一个零点，设为x0，且当x0,x0时，f（x）0；
当xx0,π时，f（x）0，所以f（x）在0,x0单调递增，在x0,π单调递减.
又f（0）0,f（π）0，所以，当x[0,π]时，f（x）⋯0.
又当a,0,x[0,π]时，ax≤0，故f（x）⋯ax.
因此，a的取值范围是（,0].
21．解：
（1）因为M过点A,B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0
上，且A,B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M（a,a）.
因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为r|a2|.
由已知得|AO|=2，又MOAO，故可得2a24（a2）2，解得a=0或a=4.故M的半径r=2或r=6.
（2）存在定点P（1,0），使得|MA||MP|为定值.
理由如下：
设M（x,y），由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
因为曲线C:
y24x是以点P（1,0）为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以
|MP|=x+1.
因为|MA||MP|=r|MP|=x+2（x+1）=1，所以存在满足条件的定点P.
2
坐标方程为x2y1（x1）.
4
l的直角坐标方程为2x3y110.
23．解：
（1）因为a2b22ab,b2c22bc,c2a22ac，又abc1，故有
a2b2c2abbcca
abbcca
abc
abc
所以111a2b2c2.abc
（2）因为a,b,c为正数且abc1，故有
（ab）3（bc）3（ca）333（ab）3（bc）3（ac）3
=3（a+b）（b+c）（a+c）
3（2ab）（2bc）（2ac）
=24.
所以（ab）3（bc）3（ca）324.
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷）
文科数学答案
1.答案：
C
解析：
Ax|x-1，Bx|x2，∴AB（1,2）.
2.答案：
D
解析：
因为zi（2i）12i，所以z12i.
3.答案：
A
解答：
由题意知ab（1,1），所以ab2.
4.答案：
B
解答：
计测量过的3只兔子为1、2、3，设测量过的2只兔子为A、B则3只兔子的种类有（1,2,3）（1,2,A）（1,2,B）（1,3,A）（1,3,B）（1,A,B）2,3,A2,3,B2,A,B3,A,B,则恰好有两只测量过的有6种，所以其概率为3
5.
5.
答案：
A
解答：
根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果.
6.答案：
D
解答：
当x0时，x0，f（x）ex1，又f（x）为奇函数，
有f（x）f（x）ex1.
7.答案：
B
解析:
根据面面平行的判定定理易得答案
8.
答案：
A
解答：
3
T=
442即
9.答案：
D
解析：
22
抛物线y22px（p0）的焦点是（2p,0），椭圆3xpyp1的焦点是（2p,0），
∴p2p，∴p8.
2
10.答案：
C
解析：
因为y2cosxsinx，所以曲线y2sinxcosx在点（,1）处的切线斜率为2，
故曲线y2sinxcosx在点（,1）处的切线方程为2xy210.
11.答案：
B
解答：
2
（0,），2sin2cos214sincos2cos2，
12.答案：
A
二、填空题
13.答案：
9
解答：
14.答案：
0.98
解答：
平均正点率的估计值
0.97100.98200.99100.98.
40
15.答案：
4
解析：
根据正弦定理可得sinBsinAsiAncoBs,即sinAsinBcosB0，显然sinA0，所以
3sinBcosB，0故B.
4
16.答案：
2621
解析：
由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解.
三、解答题
17.
17.答案：
1）看解析
2）看解析
解答：
1）证明：
因为
B1C1C面A1B1BA，BE面A1B1BA
2）设AA12a则BE29a2，C1E218+a2，C1B294a2
222因为C1B2=BE2C1E2
∴a3，∴11
VEBB1C1C3SBB1C1Ch3363=18
18.答案：
（1）an22n1；
（2）n2
解答：
2
（1）已知a12,a32a216，故a1q22a1q16，求得q4或q2，又q0，故q4，则
n1n12n1
ana1q242.
（2）把an代入bn，求得bn2n1，故数列bn的前n项和为[1（2n1）]nn2.2
19.答案：
详见解析
解答:
0.1020.10240.30530.50140.7071000.30
这类企业产值增长率的方差是
0.100.30220.100.302240.300.302530.500.302140.700.30271000.0296所以这类企业
产值增长率的标准差是0.029627428.6020.172040.17.100100
20.答案：
详见解析
解答:
x2y2c23c2
（1）若POF2为等边三角形，则P的坐标为c,3c，代入方程x2y21，可得c23c21，
222a2b24a24b2
解得e2423，所以e31.
21.答案：
见解析
解答：
1）f（x）lnx1（x0），设g（x）lnx1，g（x）1120xxxx
11
则g（x）在（0,）上递增，g
（1）10，g
（2）ln2lne0，
所以存在唯一x0（1,2），使得f（x0）g（x0）0，
当0xx0时，g（x）g（x0）0，当xx0时，g（x）g（x0）0，
所以f（x）在（0,x0）上递减，在（x0,）上递增，所以f（x）存在唯一的极值点
1
2）由
（1）知存在唯一x0（1,2），使得f（x0）0，即lnx0，
x0
f（x0）（x01）lnx0x01（x01）1x01（x01）0，
11132222
f
（2）（21）
（2）21120，f（e2）2（e21）e21e230，
eeee
所以函数f（x）在（0,x0）上，（x0,）上分别有一个零点
设f（x1）f（x2）0，f
（1）20，则x11x0x2，
x11有（x11）lnx1x110lnx1
x11
x21
（x21）lnx2x210lnx2
x21
x11
设h（x）lnx，当0x,x1时，恒有h（x）h（）0，
x1x
则h（x1）h（x2）0时，有x1x21.
22.答案：
（1）023，l的极坐标方程：
sin（）2；
（2）P点轨迹的极坐标方程为=4cos（,）.
42
解析：
（1）当0时，0=4sin04sin23，
33
以O为原点，极轴为x轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有M（3,3），A（4,0），kOM3，则直线l的
33
斜率k，由点斜式可得直线l
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