高考文科数学全国III卷含答案.docx

1、高考文科数学全国III卷含答案绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。3i1设 z 3 i ，则 z=( )12iA 2 B 3 C 2 D12已知集合 U 1,2,3,4,

2、5,6,7 ，A 2,3,4,5 ，B 2,3,6,7 ，则 B eU A ( )A 1,6 B 1,7 C 6,7 D 1,6,73已知 a log2 0.2,b 20.2,c 0.20.3 ，则( )Aa b c Ba c b Cc a b D b c a54古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 52( 5 1 0.618，称为黄金分割比例 )，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人251体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1 若某人满足上述两个黄金2分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是 (

3、)sin x x5函数 f(x)= 2 在 ， 的图像大致为 ( )cosx x26某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2， 1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验 .若 46 号学生被抽到，则下面 4名学生中被抽到的是 ( )A8 号学生 B200 号学生C616 号学生D 815 号学生7tan255 =( )A 2 3 B 2+ 3C 2 3D 2+ 38已知非零向量 a，b满足 a =2b，且(ab) b，则a与b的夹角为 ( ) A6B312 C35 D69如图是求12 1 的程序框图，212图中空白框中应填入 ( )

4、则 b =( ) c|AF2| 2|F2B|，|AB| |BF1|，则 C的方程为 ( )2A x2 y2 122B x2 y2 13222C x2 y2 1432D x y2 154二、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分。13曲线 y 3(x2 x)ex在点(0,0) 处的切线方程为14记 Sn为等比数列 an的前 n项和.若a1 1，S3 3，则 S4=415函数 f (x) sin(2 x 3) 3cos x的最小值为216已知 ACB= 90， P为平面 ABC外一点， PC=2，点 P到 ACB两边 AC，BC的距离均为 3，那么 P到平面 ABC 的距离为 三、解答

5、题：共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第 1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题： 60 分。17（ 12 分） 某商场为提高服务质量， 随机调查了 50名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的 服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（ 2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附： K2 n（ad bc）2 （a b）（c d）（a c）（b d）2P（K2k）0.0500.0100.

6、001k3.8416.63510.82818（ 12 分）记 Sn为等差数列 an 的前 n 项和，已知 S9=a5（1）若 a3=4，求 an的通项公式；（2）若 a10，求使得 Snan的 n的取值范围19（ 12 分） 如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形， AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M， N 分别是 BC， BB1， A1D 的中点 .（ 1）证明： MN平面 C1DE ；（2）求点 C到平面 C1DE 的距离20（ 12 分）已知函数 f（ x） =2sinx xcosx x，f （x）为 f （ x）的导数（1）证明： f （x）在区间（ 0，）存在

7、唯一零点；（2）若 x 0， 时， f（x）ax，求 a 的取值范围21.（12 分）已知点 A，B关于坐标原点 O对称， AB =4， M过点 A，B且与直线 x+2=0相切（ 1）若 A 在直线 x+y=0 上，求 M 的半径；（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时， MA MP 为定值？并说明理由（二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。22 选修 4- 4：坐标系与参数方程 （10 分）为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ，直线 l 的极 坐标方程为2cos 3 sin 11 0 1）求 C 和 l 的直角坐标方程；

8、2）求 C 上的点到 l 距离的最小值23 选修 4- 5：不等式选讲 (10分)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1 证明：1 1 1 2 2 2(1) a2 b2 c2 ；abcII 卷)(2) (a b)3 (b c)3 (c a)3 242019 年普通高等学校招生全国统一考试(全国文科数学1.设集合 A x|x -1 ， B x|x 2 ，则 A B ( )A.( 1, )B. ( ,2)C. ( 1,2)D.2. 设 z i(2 i) ，则 z ( )A. 1 2iB. 1 2iC. 1 2iD. 1 2i3. 已知向量 a (2,3) ， b (3,2) ，则 a b (

9、 )A. 2B. 2C. 5 2D. 504.生物实验室有 5只兔子， 其中只有 3只测量过某项指标 .若从这 5只兔子中随机取出 3只， 则恰有 2 只测量过该指标的概率为( )2A.33B.52C.51D.55.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测 . ( ) 甲：我的成绩比乙高 .乙：丙的成绩比我和甲的都高 . 丙：我的成绩比乙高 .成绩公布后， 三人成绩互不相同且只有一个人预测正确， 那么三人按成绩由高到低的次序为 ()A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲D甲、丙、乙6.f (x) ( )设 f ( x)为奇函数，且当 x 0时， f (x) ex 1，则当 x 0时

10、， A. e x 1B. e x 1C. e x 1D. e x 17.设 , 为两个平面，则 / / 的充要条件是 ( )A.内有无数条直线与 平行B.内有两条相交直线与 平行C., 平行于同一条直线D., 垂直于同一平面AB.C.1D. 2A.2B.3C.4D.810.曲线 y 2sin x cos x在点 ( , 1) 处的切线方程为 ( )A.x y 1 0B.2x y 2 1 0C.2x y 2 1 0D. x y 1 011. 已知 (0, ) ， 2sin 2 cos2 1 ，则 sin ( )2A.B.C.22C : x2 y2 1(a 0,b 0)12. 设 F 为双曲线 a

11、 b 的右焦点， 0 为坐标原点， 与圆 x y a 交于 P,Q 两点，若 PQ OF , 则C的离心率为 :( )A.B. 3C. 2D. 5二、填空题2x 3y 6 013. 若变量 x, y满足约束条件 x y 3 0 z 3x y 的最大值是 y 2 0 则14. 我国高铁发展迅速，技术先进 . 经统计，在经停某站的高铁列车中，有以 OF 为直径的圆10个车次的正点，则经停该站的高率为 0.97 ，有 20 个车次的正点率为 0.98 ，有10 个车次的正点率为 0.99铁列车所有车次的平均正点率的估计值为15. ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知bsinA ac

12、osB 0，则 B16.中国有悠久的金石文化， 印信是金石文化的代表之一 . 印信的形状多为长方体、 正方体或 圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体” （图 1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体 . 半正多面体体现了数学的对称美 . 图 2 是一个棱 数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1. 则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .（ 本题第一空 2 分，第二空 3 分.）三、解答题17.如图，长方体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD是正方形，点E在棱 AA1上， BE EC1 .1）证明：BE

13、平面 EB1C12）若 AE AE1 , AB 3,求四棱锥 E BB1C1C的体积 .18. 已知 an 是各项均为正数的等比数列， a1 2,a3 2a2 16.（1） 求 an 的通项公式：（2）设bn log 2 an ，求数列 bn 的前 n项和.19. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况， 随机调查了 100 个企业，得到这些 企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表 .y 的分组0.20,00,0.200.20,0.400.40,0.600.60,0.80企业数224531471）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业

14、比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中 点值为代表） . （精确到 0.01 ）附： 74 8.602 .22xy20. 已知 F1,F2是椭圆 C ： 2 2 1（a 0,b 0）的两个焦点， P为C 上的点， O为坐 ab标原点 .（1）若 POF 2为等边三角形，求 C 的离心率；（2）如果存在点 P，使得 PF1 PF2，且 F1PF2的面积等于 16，求 b的值和 a的取值范 围.21. 已知函数 f （x） （x 1）ln x x 1.证明：（1） f（x） 存在唯一的极值点；（2） f（x） 0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数

15、 .四、选做题（ 2 选 1）22.在极坐标系中， O为极点，点 M（ 0, 0）（ 0 0）在曲线C : =4sin 上，直线 l过点A（4,0） 且与 OM 垂直，垂足为 P .（1）当 0 时，求 0及 l的极坐标方程；3（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程 .23. 选修 4-5 ：不等式选讲 已知 f （x） | x a |x |x 2|（x a）（1）当 a 1时，求不等式 f（x） 0的解集：2)若 x ( ,1)时， f (x) 0，求 a 得取值范围2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案、选择题二、填空题三、解答题

16、17解：场服务满意的概率的估计值为 0.830女顾客中对该商场服务满意的比率为 0.6 ，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.62) K 2100 (40 20 30 10)250 50 70 304.762 17，故 CH 41717由于 4.762 3.841，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异 18解：（1）设 an 的公差为 d由 S9 a5得 a1 4d 0 由a3=4得 a1 2d 4 于是 a1 8,d 2 因此 an 的通项公式为 an 10 2n （ 2）由（ 1）得 a1 4d ，故 an （n 5）d,Sn n（n 9）d .22由a1

17、0知d 0，故 Snan等价于 n2 11n 10, 0，解得1n10所以 n的取值范围是 n |1剟n 10,n N 19解：（1）连结 B1C,ME .因为M，E分别为BB1,BC 的中点，所以 ME B1C ，且11ME B1C .又因为 N为 A1D 的中点，所以 ND A1D .22由题设知 A1B1= DC ，可得 B1C= A1D ，故 ME= ND ，因此四边形 MNDE 为平行四边形， MNED .又 MN 平面 C1DE ，所以 MN 平面 C1DE .（2）过 C作C1E的垂线，垂足为 H.由已知可得 DE BC，DE C1C ，所以DE平面 C1CE ，故DECH.从而

18、CH平面C1DE ，故CH的长即为 C到平面C1DE的距离，由已知可得 CE=1， C1C=4 ，所以 C1E20解：(1)设 g(x) f (x) ，则 g(x) cosx xsinx 1,g (x) xcosx.当x (0, )时， g (x) 0；当x ,时，g(x) 0，所以 g(x)在(0, )单调递22 2 增，在 , 单调递减 . 增，在 2 ,单调递减 .又g(0) 0,g 0,g() 2，故 g(x) 在(0, )存在唯一零点 .2所以 f (x)在(0, ) 存在唯一零点 .(2)由题设知 f( )a, f () 0 ，可得 a0.由( 1)知， f (x)在(0,) 只有

19、一个零点，设为 x0，且当 x 0,x0 时， f (x) 0；当x x0,时， f (x) 0，所以 f(x)在 0,x0 单调递增，在 x0 ,单调递减 .又 f(0) 0,f() 0 ，所以，当 x 0, 时， f ( x)0 .又当 a, 0,x 0, 时， ax0，故 f ( x)ax .因此， a的取值范围是 ( ,0 .21解：(1)因为 M 过点 A, B ，所以圆心 M在 AB的垂直平分线上 .由已知 A在直线 x+y=0上，且 A, B关于坐标原点 O对称，所以 M 在直线 y x上，故可设 M(a, a).因为 M 与直线 x+2=0相切，所以 M 的半径为 r |a 2

20、|.由已知得 |AO|=2 ，又 MO AO ，故可得 2a2 4 (a 2)2 ，解得 a=0或 a=4. 故 M 的半径 r=2 或 r=6.(2)存在定点 P(1,0) ，使得 |MA| |MP |为定值.理由如下：设M(x, y) ，由已知得 M 的半径为 r =|x+2|,|AO|=2 .因为曲线 C : y2 4x 是以点 P(1,0)为焦点，以直线 x 1 为准线的抛物线，所以|MP|=x+1 .因为 |MA| |MP|=r |MP|=x+2 (x+1)=1 ，所以存在满足条件的定点 P.2坐标方程为 x2 y 1(x 1).4l的直角坐标方程为 2x 3y 11 0 .23解：

21、( 1)因为 a2 b2 2ab,b2 c2 2bc,c2 a2 2ac ，又 abc 1，故有a2 b2 c2 ab bc caab bc caabcabc所以 1 1 1 a2 b2 c2 . abc(2)因为 a, b, c 为正数且 abc 1，故有(a b)3 (b c)3 (c a)3 33 (a b)3(b c)3(a c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3(2 ab) (2 bc) (2 ac)=24.所以 (a b)3 (b c)3 (c a)3 24 .2019 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 II 卷 )文科数学答案1.答案： C解析：A x|x -1，B x|

22、x 2， A B ( 1,2).2.答案： D解析：因为 z i(2 i) 1 2i ，所以 z 1 2i.3.答案： A解答：由题意知 a b ( 1,1)，所以 a b 2.4.答案： B解答：计测量过的 3只兔子为 1、2 、3 ，设测量过的 2只兔子为 A 、B则3只兔子的种类有 (1,2,3) (1,2, A) (1,2, B) (1,3,A) (1,3,B) (1,A,B) 2,3,A 2,3,B 2,A,B 3,A,B ,则恰好有两只测量过的有 6种，所以其概率为 35.5.答案： A解答：根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果 .6. 答案： D解答：

23、当 x 0时， x 0， f ( x) e x 1，又 f (x) 为奇函数，有 f (x) f( x) e x 1.7. 答案： B解析 :根据面面平行的判定定理易得答案8.答案： A解答：3T=44 2 即9. 答案： D解析：22抛物线 y2 2px(p 0)的焦点是 ( 2p ,0) ，椭圆3xp yp 1的焦点是 ( 2p,0)， p 2p ， p 8.210. 答案： C解析： 因为 y 2cos x sin x ，所以曲线 y 2sin x cosx 在点 ( , 1)处的切线斜率为 2，故曲线 y 2sin x cosx 在点 ( , 1)处的切线方程为 2x y 2 1 0.

24、11.答案： B解答：2 (0, ) ， 2sin 2 cos2 1 4sin cos 2cos 2 ，12.答案： A二、填空题13.答案： 9解答：14. 答案： 0.98解答：平均正点率的估计值0.97 10 0.98 20 0.99 10 0.98.4015. 答案：4解析：根据正弦定理可得sinB sinA siAn coBs ,即sinA sinB cosB 0，显然sinA 0，所以3 sinB cosB ，0故 B .416. 答案： 26 21解析：由图 2 结合空间想象即可得到该正多面体有 26 个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求 解.三、解答题17.17

25、. 答案：1）看解析2）看解析解答：1）证明：因为B1C1C 面 A1B1BA ， BE 面 A1B1BA2)设 AA1 2a则 BE2 9 a2， C1E2 18+a2，C1B2 9 4a22 2 2 因为 C1B2=BE2 C1E2 a 3， 1 1VE BB1C1C 3 SBB1C1Ch 3 3 6 3=1818.答案： (1)an 22n 1； (2)n2解答：2(1) 已知 a1 2,a3 2a2 16，故 a1q2 2a1q 16，求得 q 4或 q 2 ，又 q 0 ，故 q 4，则n 1 n 1 2n 1an a1q 2 4 2 .(2)把an代入bn，求得bn 2n 1，故数

26、列 bn 的前n项和为 1 (2n 1)n n2. 219.答案： 详见解析解答 :0.10 2 0.10 24 0.30 53 0.50 14 0.70 7 100 0.30这类企业产值增长率的方差是0.10 0.30 2 2 0.10 0.30 2 24 0.30 0.30 2 53 0.50 0.30 2 14 0.70 0.30 2 7 100 0.0296 所以这类企业产值增长率的标准差是 0.0296 2 74 2 8.602 0.17204 0.17 . 100 10020.答案： 详见解析解答 :x2 y2 c2 3c2（1）若 POF2为等边三角形，则 P的坐标为 c, 3c

27、 ，代入方程 x2 y2 1，可得 c 2 3c2 1，2 2 2 a2 b2 4a2 4b2解得 e2 4 2 3 ，所以 e 3 1.21.答案： 见解析解答：1) f (x) lnx 1(x 0)，设 g(x) lnx 1 ， g(x) 1 12 0 x x x x11则 g(x)在(0, )上递增， g(1) 1 0， g(2) ln2 ln e 0，所以存在唯一 x0 (1,2) ，使得 f (x0) g(x0) 0 ，当 0 x x0 时， g(x) g(x0) 0，当 x x0 时， g(x) g(x0) 0，所以 f (x)在(0, x0 )上递减，在 (x0, )上递增，所以

28、 f(x) 存在唯一的极值点12)由( 1)知存在唯一 x0 (1,2) ，使得 f (x0) 0，即 ln x0 ，x0f(x0) (x0 1)ln x0 x0 1 (x0 1) 1 x0 1 (x0 1 ) 0，1 1 1 3 2 2 2 2f( 2 ) ( 2 1)( 2) 2 1 1 2 0 ， f (e2) 2(e2 1) e2 1 e2 3 0 ，e e e e所以函数 f (x)在(0, x0 )上， (x0, )上分别有一个零点设 f (x1) f (x2) 0， f(1) 2 0，则 x1 1 x0 x2，x1 1 有 (x1 1)ln x1 x1 1 0 ln x1x1 1x2 1(x2 1)ln x2 x2 1 0 ln x2x2 1x 1 1设 h(x) ln x ，当 0 x,x 1时，恒有 h(x) h( ) 0，x 1 x则 h(x1) h(x2 ) 0 时，有 x1x2 1.22.答案：(1) 0 2 3， l的极坐标方程： sin( ) 2；( 2) P 点轨迹的极坐标方程为 =4cos ( , ) .42解析：( 1)当 0 时， 0=4sin 0 4sin 2 3 ，33以O为原点，极轴为 x轴建立直角坐标系， 在直角坐标系中有 M( 3,3) ，A(4,0) ，kOM 3，则直线 l的33斜率 k ，由点斜式可得直线 l